第1章 专题特训3 线段的垂直平分线与角平分线-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 专题特训三线段的垂直平分线与角平分线 类型一 利用垂直平分线的性质求线段的长 类型二利用线段的垂直平分线的性质构造 1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE 全等三角形 分别与AB、AC交于点D、E,边BC的垂直 4.如图，若线段AB、DE的垂直平分线交于点 平分线FG分别与BC、AC交于点F、G.若 C,且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°， △BEG的周长为16，且GE=1,则AC的长为 求∠EBD的度数. ( A.16B.15 C.14 D.13 D (第4题) G E (第1题) (第2题) 2.如图，△ABC的面积为14，AB=AC,BC= 4,AC的垂直平分线EF分别交边AB、AC 于点E、F.若D为边BC的中点，P为线段 5.如图①，射线BD交△ABC的外角 EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 ∠ACF的平分线CE于点P,∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7,AB=4. 3.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，MP、NQ (1)求证：BD平分∠ABC. 分别垂直平分AB、AC. (2)如图②，AC的垂直平分线交BD于点 (1)求∠PAQ的度数. Q,交AC于点G,QM⊥BC于点M,求MC (2)若△APQ的周长为12，BC的长为8，求 的长 PQ的长. 1 (第3题) (第5题) 28 第1章三角形 类型三利用角平分线的性质探究线段之间的 8.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM 关系 平分∠ADC,连接AM. 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥ (1)求证：AM平分∠BAD, BC,DB平分∠ADC,CE平分 (2)线段DM与AM之间有怎样的位置关 ∠BCD,交AB于点E,交BD于点 系？请说明理由， O,连接ED.求证：点O到EB与ED的距离 (3)线段CD、AB、AD之间有怎样的数量关 相等。 系？请说明理由， B (第6题) (第8题) 7.*如图，AD∥BC,∠D=90°，AP平分∠DAB, BP平分∠ABC,点P恰好在DC上， (1)求证：P为DC的中点 (2)试探究线段AB、AD、BC的数量关系， (第7题) 29AF=, .FG=4. 专题特训三线段的垂直 平分线与角平分线 1.C解析：：DE是边AB的垂直 平分线，∴.EB=EA.FG是边BC 的垂直平分线，.GB=GC. △BEG的周长为16，∴.GB+ GE+EB=16...GC+GE+EA= 16...AC+GE+GE=16..'GE= 1,.AC=16-2=14. 2.9 3.(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y, ∠BAQ=. MP、NQ分别垂直平分AB、AC, .AP=PB,AQ-CQ. .∠B=∠BAP=x+x,∠C= ∠CAQ=x+y. ∠BAC=80, .∠B+∠C=100. .x+y+之=80°，x+之+x+y= 100°. .x=20° ..∠PAQ=20° (2)△APQ的周长为12， ∴.AQ+PQ+AP=12. .AQ=CQ,AP-PB ∴.CQ+PQ+PB=12,即BC+ 2PQ=12. ,BC=8, .PQ=2. 4.连接CE 线段AB、DE的垂直平分线交于 点C, .'CA=CB,CD=CE ..∠BAC=∠ABC=72°，∠DEC= ∠EDC=72. ∴.∠ACB=∠DCE. .∠ACE=∠BCD. 在△BCD和△ACE中， (CB=CA, ∠BCD=∠ACE, CD-CE ∴.△BCD≌△ACE. ∴.∠CBD=∠CAE=72°+∠BAE. :∠AEB=92, ∴.∠ABE=180°-∠AEB ∠BAE=180°-92°-∠BAE= 88°-∠BAE. .∴.∠EBD=360°-∠CBD ∠ABC-∠ABE=360°-(72°+ ∠BAE)-72°-(88°-∠BAE)= 128 5.(1).·∠ACF=∠A+∠ABF, ∠ECF=∠BPC+∠DBF, ∴.∠ABF=∠ACF-78,∠DBF= ∠ECF-39. :CE平分∠ACF, '.∠ACF=2∠ECF ∴.∠ABF=2∠ECF-78°= 2(∠ECF-39)=2∠DBF ∴.BD平分∠ABC (2)如图，连接AQ、CQ,过点Q作 QV⊥BA,交BA的延长线于点N. :QG垂直平分AC, ..AQ=CQ. :BD平分∠ABC,QM⊥BC, QN⊥BA, .∴.QM=QN .'.Rt△QNA≌Rt△QMC. .∴.NA=MC .'QN=QM,BQ=BQ, .'.Rt△QNB≌Rt△QMB. .BN=BM ∴.BC=BM+MC=BN+MC= AB+NA+MC ∴.7=4+2MC. .MC=1.5. E D N Q B M C (第5题) 15 6..AD∥BC, .∠ADC+∠BCD=180. DB平分∠ADC,CE平分∠BCD, 1 ·∠ODC=2∠ADC,∠OCD= 1 ∠OCB=2∠BCD. .∠ODC+∠OCD= (∠ADC+ 2 ∠BCD)=90°. ∴.∠DOC=90°. ∴.∠DOC=∠BOC=90. 又：CO=CO,∠OCD=∠OCB, .△DCO≌△BC0. .CD=CB 又：∠DCE=∠BCE,CE=CE, ∴.△DCE≌△BCE. .∠DEC=∠BEC. .EC平分∠BED .点O到EB与ED的距离相等. 7.(1)过点P作PE⊥AB于点E. ∠D=90°，AD∥BC, ∴.∠C=90. ,AP平分∠DAB,BP平分∠ABC, .PD=PE,PC=PE. .PC=PD. .P为DC的中点 (2)在Rt△ADP和Rt△AEP中， (AP=AP, PD=PE, .Rt△ADP≌Rt△AEP. .AD=AE. 同理可证，BC=BE AE+BE=AB, .AD+BC=AB. 方法归纳 探求以角平分线为背景的 线段的数量关系问题 探求这类问题时，往往需要运 用角平分线的性质构造全等三角 形，寻找问题条件下隐含的相等线 段，并且根据它们之间的相等关系， 确定考察对象之间的数量关系. 8.(1)过点M作ME⊥AD于点E. :∠C=90°，ME⊥AD,DM平分 ∠ADC, .'ME=MC. M是BC的中点， .∴.MB=MC. ∴.ME=MB. 又ME⊥AD,∠B=90°， ∴.AM平分∠BAD (2)DM⊥AM. 理由：，DM平分∠ADC,AM平 分∠BAD, ·∠ADM=2∠ADC,∠DAM= Z∠BAD :∠B+∠C=90°+90°=180°， .CD//AB. ∴.∠ADC+∠BAD=180. ∴.∠ADM+∠DAM=90. ∴.∠DMA=180°-（∠ADM+ ∠DAM)=90°，即DM⊥AM. (3)CD+AB=AD. 理由：：ME⊥AD, ∴.∠DEM=90°=∠C. 在Rt△DCM和Rt△DEM中， DM=DM, MC-ME, ,'.Rt△DCM≌Rt△DEM. ∴.CD=ED. 同理，可得AE=AB. .ED+AE=AD, .CD+AB=AD. 1.5等腰三角形 第1课时等腰三角形及其性质 1.D2.A3.60°4.25 5.(1)如图，连接AE .·EF垂直平分AB, .'AE=BE BE=AC, ..AE=AC. D是EC的中点， .AD⊥BC (2)设∠B=x, ·AE=BE, ∴.∠BAE=∠B=x 由三角形的外角的性质，得∠AEC= 2x. AE=AC, (2)·AE=BE, ∴.∠AEC=∠C=2x. ∴.∠A=∠ABE. 在△ABC中，x+2.x+75°=180°，解 ,∠BEC=∠A+∠ABE, 得x=35. ∴.∠BEC=2∠A. .∠B=35 .·BE=BC, ∴.∠C=∠BEC ∴.∠C=2∠A. 设∠A=x,则∠C=2x. E D .'AB=AC, (第5题) ∴.∠ABC=∠C=2.x°. 6.B7.D .∠A+∠ABC+∠C=180°， 8.22解析：如图，在AC上截取 AE=AB,连接DE.:AD平分 .x+2x+2x=180,解得x=36. ∠BAC,∠BAD=57°，∴.∠BAD= .∠A=36°. ∠DAE=57°，∠BAC=2∠BAD= 11.(1)AB=AC,∠BAC=100, 114°.又：AD=AD,.△ABD≌ ∴.∠ABC=∠ACB=40°. △AED.∴.∠B=∠AED,BD= BD平分∠ABC, DE.又AB+BD=AC,AE+ '.∠ABD=∠DBC=20° CE AC,.CE BD=DE. BD=AB, ∴.∠C=∠EDC.∴.∠B=∠AED= '.∠ADB=∠DAB=80. 2∠C.∴∠B:∠C=2:1.∠B+ .∠CAD=20°. ∠C=180°-114°=66°，∴.∠C=22° ∴.∠CAD=∠DBC (2)如图，延长AD到点E,使得 E AE=BC,连接EC. D .·AB=AC,BD=AB, (第8题) .BD=AC. 9.100°解析：如图，连接OB.11 又，BC=AE,∠CAD=∠DBC, 垂直平分AB,∴OA=OB.∴.∠A= ∴.△DBC≌△CAE. ∠ABO.,.∠AOB=180°-2∠ABO. '.CD=EC,∠BDC=∠ACE. :12垂直平分BC,∴.OC=OB. ∴.∠CDE=∠CED. ∴.∠C=∠CBO.∴.∠COB=180° 设∠CDE=∠CED=a. 2∠CBO.,∠AOB+∠BOC+ ∠ADB=80, ∠AOC=360°，.∴.∠AOC=360° .∠BDE=100. (180°-2∠CBO+180°-2∠ABO)= 2(∠CBO+∠ABO)=2∠ABC=2X ∴.∠BDC=∠ACE=100°+a. 50°=100°. 在△ACE中，20°+100°+a+ a=180°， .a=30°. ∴.∠BDC=130°. (第9题) D 10.(1)DE垂直平分AB, B .AE=BE. ,BF垂直平分CE, .'BE=BC. .'AE=BC. (第11题) 16