1.5 等腰三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

.'ME=MC. M是BC的中点， .∴.MB=MC. ∴.ME=MB. 又ME⊥AD,∠B=90°， ∴.AM平分∠BAD (2)DM⊥AM. 理由：，DM平分∠ADC,AM平 分∠BAD, ·∠ADM=2∠ADC,∠DAM= Z∠BAD :∠B+∠C=90°+90°=180°， .CD//AB. ∴.∠ADC+∠BAD=180. ∴.∠ADM+∠DAM=90. ∴.∠DMA=180°-（∠ADM+ ∠DAM)=90°，即DM⊥AM. (3)CD+AB=AD. 理由：：ME⊥AD, ∴.∠DEM=90°=∠C. 在Rt△DCM和Rt△DEM中， DM=DM, MC-ME, ,'.Rt△DCM≌Rt△DEM. ∴.CD=ED. 同理，可得AE=AB. .ED+AE=AD, .CD+AB=AD. 1.5等腰三角形 第1课时等腰三角形及其性质 1.D2.A3.60°4.25 5.(1)如图，连接AE .·EF垂直平分AB, .'AE=BE BE=AC, ..AE=AC. D是EC的中点， .AD⊥BC (2)设∠B=x, ·AE=BE, ∴.∠BAE=∠B=x 由三角形的外角的性质，得∠AEC= 2x. AE=AC, (2)·AE=BE, ∴.∠AEC=∠C=2x. ∴.∠A=∠ABE. 在△ABC中，x+2.x+75°=180°，解 ,∠BEC=∠A+∠ABE, 得x=35. ∴.∠BEC=2∠A. .∠B=35 .·BE=BC, ∴.∠C=∠BEC ∴.∠C=2∠A. 设∠A=x,则∠C=2x. E D .'AB=AC, (第5题) ∴.∠ABC=∠C=2.x°. 6.B7.D .∠A+∠ABC+∠C=180°， 8.22解析：如图，在AC上截取 AE=AB,连接DE.:AD平分 .x+2x+2x=180,解得x=36. ∠BAC,∠BAD=57°，∴.∠BAD= .∠A=36°. ∠DAE=57°，∠BAC=2∠BAD= 11.(1)AB=AC,∠BAC=100, 114°.又：AD=AD,.△ABD≌ ∴.∠ABC=∠ACB=40°. △AED.∴.∠B=∠AED,BD= BD平分∠ABC, DE.又AB+BD=AC,AE+ '.∠ABD=∠DBC=20° CE AC,.CE BD=DE. BD=AB, ∴.∠C=∠EDC.∴.∠B=∠AED= '.∠ADB=∠DAB=80. 2∠C.∴∠B:∠C=2:1.∠B+ .∠CAD=20°. ∠C=180°-114°=66°，∴.∠C=22° ∴.∠CAD=∠DBC (2)如图，延长AD到点E,使得 E AE=BC,连接EC. D .·AB=AC,BD=AB, (第8题) .BD=AC. 9.100°解析：如图，连接OB.11 又，BC=AE,∠CAD=∠DBC, 垂直平分AB,∴OA=OB.∴.∠A= ∴.△DBC≌△CAE. ∠ABO.,.∠AOB=180°-2∠ABO. '.CD=EC,∠BDC=∠ACE. :12垂直平分BC,∴.OC=OB. ∴.∠CDE=∠CED. ∴.∠C=∠CBO.∴.∠COB=180° 设∠CDE=∠CED=a. 2∠CBO.,∠AOB+∠BOC+ ∠ADB=80, ∠AOC=360°，.∴.∠AOC=360° .∠BDE=100. (180°-2∠CBO+180°-2∠ABO)= 2(∠CBO+∠ABO)=2∠ABC=2X ∴.∠BDC=∠ACE=100°+a. 50°=100°. 在△ACE中，20°+100°+a+ a=180°， .a=30°. ∴.∠BDC=130°. (第9题) D 10.(1)DE垂直平分AB, B .AE=BE. ,BF垂直平分CE, .'BE=BC. .'AE=BC. (第11题) 16 12.36°或45°解析：如图①，在 △ABC中，.AB=AC,BD=AD, AC=CD,∴.∠B=∠C=∠BAD, ∠CAD=∠CDA.:∠CDA ∠B+∠BAD=2∠B,∴.∠BAC= 3∠B.∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴.5∠B=180°.∴.∠B=36.如图 ②，在△ABC中，AB=AC,AD= BD=CD,∴.∠B=∠C=∠DAC= ∠DAB.∴.∠BAC=2∠B. ∠BAC+∠B+∠C=180, ∴.4∠B=180°.∴.∠B=45°.综上所 述，原等腰三角形的底角度数为36 或45. D ① ② (第12题) 13.(1):CD⊥AD, ∴.∠ADC=90°. .∠ACD+∠A=90°. CE平分∠BCD, .∠BCE=∠DCE. .AB=BC, .∠A=∠ACB, ∴.∠ACD+∠A=2∠ACB+ 2∠BCE=90°. .∠ACE=∠ACB+∠BCE=45. (2).FH⊥AC, .∠AHE=∠FHC=90 由(1)，得∠ACE=45°， ∴.∠HEC=45°=∠ACE. .HE=HC. :CD⊥AB, ∴.∠EDF=90° .∠AHE=∠EDF. :∠AEH=∠FED, .∠A=∠F 在△AHE和△FHC中， ∠A=∠F ∠AHE=∠FHC, HE=HC, .'.△AHE≌△FHC .AE=FC. 第2课时等腰三角形的判定 1.B2.D3.44.2 5.BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD. ED//BC, .∠EDB=∠CBD ∴.∠ABD=∠EDB, ∴BE=ED. .CD平分∠ACG, ,'.∠ACD=∠GCD .ED∥BC, ∴.∠FDC=∠GCD. ∴.∠ACD=∠FDC. .FC=FD. EF ED FD,EB ED, FC=FD, .EF=EB-FC. 6.C 7.A解析：DE∥BC, ∴.∠DFB=∠FBC,∠EFC= ∠FCB.BF是∠ABC的平分线， CF是∠ACB的平分线，∴.∠FBC= ∠DBF,∠FCE= ∠FCB ∴.∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF. ∴.△BDF和△CEF都是等腰三角形， 即BD=DF,FE=CE.∴①正确. ∴.DE=DF+FE=BD+CE.∴.② 正确.∴.△ADE的周长=AD十 AE+DE=AD+AE+BD+CE= AB十AC.∴.③正确.现有条件无 法证明BF=CF,.④不一定正确. 综上所述，一定正确的是①②③. 8.9解析：BO平分∠ABC, ∴.∠ABO=∠CBO.MN∥BC, ∴.∠MOB=∠CBO.∴.∠MOB= ∠ABO.∴.OM=BM.同理，可得 ON=NC.'.△AMN的周长= AM+AN+OM+ON=AM+AN+ BM+CN=AB+AC=15..AABC 17 的周长为24，∴.BC=9. 9.4解析：设运动的时间为xs。 .'AP=(20-3x)cm,AQ=2x cm. 当△APQ是以PQ为底边的等腰三 角形时，AP=AQ,∴20-3x=2x, 解得x=4..运动的时间是4s 10.过点D作DM∥AC,交BC于 点M ∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E 在△DMF和△ECF中， ∠FDM=∠E, DF=EF, ∠DFM=∠EFC, ∴.△DMF≌△ECF. .DM=EC. .'EC=BD, .DM=BD '.∠DMB=∠B. ∴.∠B=∠ACB. ∴.AB=AC. ∴.△ABC为等腰三角形 11.(1)∠C=3∠B,∠C=75, ∴.∠B=25 ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=80. .·AD平分∠BAC, 六∠BAD=3∠BAC=40 .∠ADE=∠BAD+∠B=65. AE⊥BC, ∴.∠AED=90°， ∴.∠DAE=90°-∠ADE=90°- 65°=25°. (2)设∠B=a,则∠C=3a,∠BAC= 180°-∠B-∠C=180°-4a. AD平分∠BAC, 1 .∠BAD=z∠BAC=90°-2a. DF⊥AD, .∠ADF=90°. '.∠AFD=90°-∠BAD=2a. :∠AFD=∠B+∠BDF, ∴∠BDF=a=∠B. .BF=DF. 12.7解析：如图，在AC上截取 CE=CB,连接DE.'∠ACB的平 分线CD交AB于点D,∴.∠BCD= ∠ECD.在△CBD和△CED中， CB=CE, ∠BCD=∠ECD,∴.△CBD≌ CD=CD, △CED.∴.BD=ED,∠B=∠CED. ∠B=2∠A,.∠CED=2∠A ∠A+∠ADE.∴.∠A=∠ADE .AE=ED..AE=BD..BD= AC-CE=AC-BC=16-9=7. o B D (第12题) 13.(1)角平分线上的点到角两边的 距离相等. (2)如图①，过点D作DE⊥BA,交 BA的延长线于点E,DF⊥BC于 点F :BD平分∠EBF,DE⊥BE, DF⊥BF, ∴.DE=DF,∠DEA=∠DFC=90°. :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+ ∠DAE=180°， .∠DAE=∠C 在△DEA和△DFC中， ∠DAE=∠C, ∠DEA=∠DFC, DE=DF, .△DEA≌△DFC. .'AD=CD. (3)如图②，在BC上截取BK=BD, 连接DK :AB=AC,∠A=100°， ∴.∠ABC=∠C=40°. ,BD平分∠ABC, :∠DBK=2∠ABC=20 BK=BD, .∠BKD=∠BDK=80. .∠A+∠BKD=180°. 同(2)，易得AD=DK. :'∠BKD=∠C+∠KDC, .∠KDC=40°=∠C .DK=CK ∴.AD=DK=CK ∴.BD+AD=BK+CK=BC. ① ② (第13题) 第3课时等边三角形 1.D2.A3.60°4.等边三角形 5.:△ABC为等边三角形， .∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60. .'.∠EAB=∠DCA=120. 在△EAB和△DCA中， AE=CD ∠EAB=∠DCA, AB-CA, ∴.△EAB2△DCA. .BE=AD 6.B7.B 8.15解析：如图，分别作边AB、 CD、EF的延长线和反向延长线，使 它们交于点G、H、P.六边形 ABCDEF的六个角的度数都是120°， ∴.六边形ABCDEF的每一个外角的 度数都是60.∴.易得△AP℉、 △BGC、△DHE、△GHP都是等边 三角形..PA=AF=PF,BG= GC=BC=3 cm,DH=DE=EH= 2 cm,PG=GH=PH..'GH=3+ 3+2=8(cm).'.AF=PA=PF= PG-AB-BG=8-1-3=4(cm). ∴.EF=PH-PF-EH=8-4- 2=2(cm).∴.这个六边形的周长是 1+3+3+2+2+4=15(cm). (第8题) 9.2解析：如图，过点P作P℉∥ BC,交AC于点F.,△ABC是等边 18 三角形，∴.∠A=∠B=∠ACB= 60°.PF∥BC,∴.∠PFD= ∠QCD,∠APF=∠B=60°， ∠AFP=∠ACB=6O.∴.△APF是 等边三角形.∴.AP=PF=AF. PE⊥AC,AE=EF.AP= PF,AP=QC,.PF=QC.在 △PFD和△QCD中， ∠PDF=∠QDC, ∠PFD=∠QCD,∴.△PFD≌ PF=QC, △QCD..FD=CD.,AE=EF, .EF+FD=AE+CD.∴.DE= EF FD AE CD AC. 1 :AC=4,DE=2X4=2. C O (第9题) 10.如图，过点E作EF∥BC,交AC 于点F. △ABC为等边三角形，边长为6， .∠A=∠ABC=∠ACB=60°， BC=6. EF //BC, '.∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE= ∠ACB=60° .△AEF为等边三角形. .AE=EF ∠DBE=180°-∠ABC=120°， ∠EFC=180°-∠AFE=120°， ∴.∠DBE=∠EFC. ED=EC, .∠D=∠ECD. :∠DEB=60°-∠D,∠ECF= 60°-∠ECD, ∴.∠DEB=∠ECF. 在△DBE和△EFC中， ∠DBE=∠EFC, ∠DEB=∠ECF, DE=EC, '.△DBE2△EFC. .'DB=EF=AE=2. .∴.CD=BC+DB=6+2=8. D B (第10题) 11.(1):△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=∠ACB=60 DE∥AB, ∴.∠B=∠EDC=60°，∠A= ∠CED=60】 'EF⊥DE, .∠DEF=90. ∴.∠F=30°. (2)·:∠F+∠FEC=∠ECD=60°， .∠F=∠FEC=30. ∴.CE=CF. ,∠EDC=∠ECD=∠DEC=60, .△CED为等边三角形 ∴.CE=CD=2. .CF=2. .DF=CD+CF=2+2=4. 12.4 13.(1)△ABC是等边三角形， ∴.∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA. 又，点P、Q的运动速度相同， ∴.AP=BQ. 在△ABQ和△CAP中， AB=CA, ∠ABQ=∠CAP, BQ=AP, ∴.△ABQ≌△CAP. (2)不变 由(1)，知△ABQ≌△CAP. ∴.∠BAQ=∠ACP. :'∠QMC=∠ACP+∠MAC, .'.∠QMC=∠BAQ+∠MAC= ∠BAC=60°. (3)不变 由(1)，易得△ABQ≌△CAP. ∴.∠BAQ=∠ACP. .∠QMC=∠BAQ+∠APM, .'.∠QMC=∠ACP+∠APM= 180°-∠PAC=180°-60°=120. 第4课时直角三角形的 性质定理 1.C2.C3.84.3 5.(1)如图，连接DF」 :AD是△ABC的边BC上的高， .∠ADB=90. :F是AB的中点， DF=AB=BF. .DC=BF, .DC=DF. :E是C℉的中点， .DE⊥CF (2).DC=DF. .∠DCF=∠DFC. .∠FDB=∠DFC+∠DCF= 2∠DCF. DF=BF, .∠FDB=∠B. .∠B=2∠BCF. D (第5题) 6.B解析：如图，连接CM、CN. ∠ACB=90°，AB=10,DE=4, M、N分别是DE、AB的中点， CN-AB-5.CM-DE-2. 当点C、M、N在同一条直线上时， MN的长取最小值，∴.MN长的最小 值为5-2=3. (第6题) 7.D解析：在△ABC中，AD和 BE是高，.∠ADB=∠AEB= ∠CEB=90°.，F是AB的中点， FD-TAB,FE-7AB.'.FD- FE.故①正确..∠CBE=∠BAD, ∠CBE+∠ACB=90°，∠BAD+ 19 ∠ABC=90°，.∴.∠ABC=∠ACB AD⊥BC,.易得BC=2CD, ∠BAD=∠CAD=∠CBE. ∠ABE=45,∠AEB=90, ∴△ABE是等腰直角三角形. ∴.AE=BE.在△AEH和△BEC ∠AEH=∠BEC, 中，AE=BE， .∴.△AEH≌ ∠EAH=∠EBC, △BEC.∴.AH=BC=2CD.故②正 确.△AEH≌△BEC,∴.EH= EC.:∠CEB=90°，∴.△CEH是等 腰直角三角形.∴.∠EHC=45.故④ 正确.：F是AB的中点，BD=CD, ∴.S△AC=2S△Am=4S△ADF.故③正 确.综上所述，正确的有4个. 8.50°9.1410.4 11.(1).CF⊥AB,BE⊥AC, '.∠CFB=∠CEB=90°. ,M是BC的中点， BM-FM-7 BC.CM-EM- .FM=EM N是EF的中点， ∴MN⊥EF (2).·∠A=80° ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 100. .BM=FM,CM=EM, ∴.∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM. ∴.∠BFM+∠CEM=100. ∴.∠FMB+∠EMC=360° (∠ABC+∠ACB+∠BFM+ ∠CEM)=160°. ∴.∠EMF=180°-（∠FMB+ ∠EMC)=20° 12.(1).PM⊥OA, .∠OMP=90°. ,D是OP的中点， :.DM-TOP-10. ∴.∠DMO=∠DOM. ∴.∠MDP=2∠MOP. 同理，可得∠NDP=2∠NOP. .'.∠MDN=∠MDP+∠NDP= 2(∠MOP+∠NOP)=2∠MON. (2)∠MDN=2∠MON. 理由：PM⊥OA, ∴.∠OMP=90. D是OP的中点， DM-TOP-1O. .∠DMO=∠DOM. ∴.∠MDP=2∠MOP. 同理，可得∠NDP=2∠NOP. ∴.∠MDN=∠NDP-∠MDP= 2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON. 13.45°解析：如图，连接CM. :∠ACB=90°，M是AB的中点， CM-7AB,AM-BM-7AB. :CE=CF=号AB,iCE=CP MC.∴.∠1=∠E,∠2=∠F. ,∠1+∠E=∠4，∠2+∠F=∠3， ·∠1=∠4，∠2=2∠3 :1+∠2=2(24+∠3)=7× 90°=45°，即∠EMF=45. M。 C E (第13题) 14.(1)DE⊥AB, .∠DEB=90°. :F为BD的中点， .EF-BD-5. (2)△DEF、△BEF、△DCF、△BCF、 △CEF是等腰三角形 (3)∠A=∠CEF. ∠DEB=90°，∠ACB=90°，F为 BD的中点， .FE=FB=FC. ∴.∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE, ∠FCB=∠FBC. .∠EFD=2∠EBF,∠CFD= 2∠FBC. .∠CEF= 7×(180-∠CFPE)= 2X(180°-∠EFD-∠CFD)= 7X(I80°2∠EBF-2∠FBC) 90°-∠EBF-∠FBC .∠A=90°-∠ABC=90° ∠EBF-∠FBC, ∴.∠A=∠CEF 专题特训四等腰三角形 中的分类讨论 1.B 2.A解析：：AB=AC,∴.∠B ∠C=40°..∠BAC=180°-∠B ∠C=100°.∠BAD=20, ∴.∠CAD=∠BAC-∠BAD=8O. 分三种情况讨论：①当AD=AE时， ∠ADE=∠AED=180°-∠CAD 50°..∴.∠EDC=∠AED-∠C=10° ②当AD=DE时，∠DAE= ∠DEA=80°.∴.∠EDC=∠AED- ∠C=40.③当AE=DE时， ∠EAD=∠ADE=80°.，'.∠AED 180°-∠EAD-∠ADE=20°. :∠C=40°，∴.∠AED<∠C,不成 立.综上所述，当△ADE是等腰三角 形时，∠EDC的度数为10°或40°. 3.12或8解析：①当底边长是3 时，若两腰长的和是3的三倍，即为 9,满足三角形三边关系定理，则 △ABC的周长是9+3=12：若一腰 长与底边长的和是另一腰长的三倍， 则易得腰长是1.5，不满足三角形的 三边关系定理.②当腰长是3时，若 两腰长的和是底边长的三倍，则底边 长是2，满足三角形的三边关系定理， △ABC的周长是3+3+2=8；若一 腰长与底边长的和是另一腰长的三 倍，则易得底边长是6，不满足三角形 的三边关系定理.综上所述，△ABC 的周长为12或8. 4.D 5.分两种情况讨论： ①当底角和顶角的度数之比为1：4 20 时，设底角的度数为x,则顶角的度数 为4x. 根据题意，得x十x十4x=180°，解得 x=30° ∴.4x=4×30°=120°. ∴.这个三角形三个内角的度数分别 为120°、30°、30. ②当顶角和底角的度数之比为1：4 时，设顶角的度数为y,则底角的度数 为4y. 根据题意，得y十4y十4y=180°，解得 y=20°. ∴.4y=4X20°=80°. .这个三角形三个内角的度数分别 为20°、80°、80°， 综上所述，这个三角形三个内角的度 数分别为120°、30°、30°或20°、80°、80°. 6.75°或15°解析：在等腰三角形 ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的 高，∠ABD=60°.当△ABC为锐角三 角形，BD在△ABC的内部时，如 图①.BD为腰AC上的高， '.∠ADB=90°.'.∠BAD=90° 60°=30°.AB=AC,∴.∠ABC= ∠ACB=7×(180°-30)=75.当 △ABC为钝角三角形，BD在△ABC 的外部时，如图②.：BD为腰AC上 的高，∴.∠ADB=90°.∴.∠BAD= 90°-60°=30°.：AB=AC, 1 ·∠ABC=∠ACB=2∠BAD= 15°.当△ABC为直角三角形时，不符 合题意.综上所述，等腰三角形的底角 度数为75°或15. (① A ② (第6题)拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 1.5 等腰三角形 第1课时等腰三角形及其性质 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.若一个等腰三角形的一个外角为105°，则这 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC 个等腰三角形顶角的度数为 ( 上，点E在AC上，且DA=DE.如果 A.30° B.30°或70° ∠BAD=35°，∠EDC=25°，那么∠DAE的 C.30°或70°或75°D.30°或75 度数为 () 2.如图，AB=AC=AD,E、F分别为BC、CD 的中点.若∠EAF=40°，则∠BAD的度数为 ( D A.80°B.100° C.90° (第6题) D.75 A.80 B.659 C.60 D.50 7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 E B D AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别 (第2题) (第3题) 交AC、BC于点F、G.若∠EAG=40°，则 3.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交 ∠BAC的度数为 () BC于点D,交AB于点E.若CE平分 ∠ACB,∠B=40°，则∠A的度数为 4.定义：一个三角形的一边长是另一边长的 E 2倍，这样的三角形被称为“倍长三角形”.若 (第7题) 等腰三角形ABC为“倍长三角形”，底边BC A.140° B.130° 的长为5，则等腰三角形ABC的周长为 C.120° D.110° 8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,且 5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交 AB+BD=AC.若∠BAD=57°，则∠C= BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的 中点，BE=AC (1)求证：AD⊥BC (2)若∠BAC=75°，求∠B的度数， (第8题) 9.如图，线段AB、BC的垂直平分线L1、L2相交 于点O.若∠B=50°，则∠AOC= B E D C (第5题) (第9题) 30 第1章三角形 10.如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分思维拓展 AB,交边AB于点D,交边AC于点E,BF 12.过等腰三角形顶角顶点的一条直 垂直平分CE,交AC于点F,连接BE 线，将该等腰三角形分成两个三角 (1)求证：AE=BC. 形，且这两个三角形均为等腰三角 (2)求∠A的度数. 形.原等腰三角形的底角度数为 13.如图，在△ABC中，AB=BC ∠ABC>90°，CD与直线AB垂 直，垂足为D,∠BCD的平分线 R≤ (第10题) CE交BD于点E,点H在线段AC上，HE 的延长线与CD的延长线相交于点F. (1)求证：∠ACE=45°. (2)若FH⊥AC,求证：AE=FC. H (第13题) 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 100°，BD平分∠ABC,且BD=AB,连接 AD、DC (1)求证：∠CAD=∠DBC. (2)求∠BDC的度数. D (第11题) 31 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2课时 等腰三角形的判定 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形 6.如图，点D在射线BC上运动 的是 ( ∠ABC=40°，当△ABD为等腰三 A.a=3,b=3,c=4 角形时，∠A的度数为 () B.a:b:c=2:3:4 A.20°或40°或70° C.∠B=50°，∠C=80° B.40°或100° D.∠A:∠B:∠C=1:1:2 C.40°或70°或100° 2.如图，∠A=36°，∠DBC=36°， D.100°或70°或40°或20° ∠C=72°，则图中等腰三角形有 ( A.0个 B.1个 (第2题) D (第6题) (第7题) C.2个 D.3个 7.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平 3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC 分线交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于 于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若 点D,交AC于点E.有下列结论：①△BDF AB=4,则DC的长是 和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD十 CE;③△ADE的周长=AB+AC;④BF= CF.其中，一定正确的是 () A A.①②③ B.①②③④ (第3题) (第4题) 4.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, C.①② D.① BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A 8.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平 ∠ABE.若AC=10,BC=6,则BD的长为 分线交于点O,过点O作MN∥BC交AB于 点M,交AC于点N.若△ANM的周长为 15,△ABC的周长为24，则BC= 5.如图，有△ABC,G是BC延长线上一点， ∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于点 D,过点D作BC的平行线，交AB于点E, B 交AC于点F.求证：EF=EB一FC. (第8题) (第9题) 9.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm, 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的 (第5题) 速度向点C运动，若其中一个动点到达端 点，则另一个动点也随之停止.当△APQ是 以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 S. 32 第1章三角形 10.如图，在△ABC中，D是边AB上一点，在的思维拓展 AC的延长线上取点E,使EC=BD,连接 12.如图，在△ABC中，∠B=2∠A,∠ACB的 DE交BC于点F.若DF=EF,求证： 平分线CD交AB于点D.若AC=16, △ABC为等腰三角形 CB=9,则BD的长为 (第12题) 13.在四边形ABCD中，∠BAD=a, (第10题)》 ∠C=180°-a,BD平分∠ABC. (1)如图①，若α=90°，则根据教材 中的一条重要性质可直接得到AD=CD. 这条性质是 (2)如图②，求证：AD=CD. 11.在△ABC中，∠C=3∠B,AD平分∠BAC (3)如图③，在等腰三角形ABC中，∠A= 交BC于点D 100°，BD平分∠ABC,交AC于点D,求证： (1)如图①，若AE⊥BC于点E,∠C=75°， BD十AD=BC. 求∠DAE的度数. (2)如图②，若DF⊥AD交AB于点F,求 证：BF=DF. ② (第13题) 1 (第11题) 33 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第3课时等边三角形 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，直线Lhm,等边三角形ABC的两个顶 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D、 点B、C分别落在直线l、m上.若∠ACD= E在BC上，AD=BD,AE=CE.△ADE是 39°，则∠ABE的度数是 () A.45°B.39°C.29° D.21° A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 -m D (第1题) (第2题) 2.如图，△ABC是等边三角形，AD为△ABC 的中线，E为AB上一点，且AD=AE,则 B D (第6题) (第7题) ∠EDB的度数为 () 7.如图，△ABD是等边三角形，BC=DC,点E A.15°B.20° C.25°D.30° 在AD上，CE交BD于点F,AE=EC.若 3.如图，O是等边三角形ABC内一点，D是线段 ∠CBD=2∠DCE,则∠DCE的度数为 BO的延长线上一点，且OD=OA,连接AD, ( 若∠AOB=120°，则∠BDC= A.40° B.20 C.30° D.15 8.如图，六边形ABCDEF的六个角的 (第3题) (第4题) 度数都是120°，边长AB=1cm, 4.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是 BC=3 cm,CD=3 cm,DE=2 cm, AB、BC、CA上一点，且AD=BE=CF,则 则这个六边形的周长是 cm. △DEF的形状是 5.如图，在等边三角形ABC中，D为BC的延 长线上一点，E为CA的延长线上一点，且 D AE=CD.求证：BE=AD. (第8题) 9.如图，等边三角形ABC的边长为4，P为边 AB上一点，PE⊥AC于点E,Q为BC的延 长线上一点，PA=QC,PQ交AC于点D,则 DE的长为 (第5题) (第9题) 34 第1章三角形 10.如图，在等边三角形ABC中，点E在AB 罚思维拓展 上，点D在线段CB的延长线上，且ED= 12.如图，等边三角形ABC的边长为6，∠ABC、 EC.若△ABC的边长为6，AE=2,求CD ∠ACB的平分线交于点D,过点D作EF∥ 的长 BC,分别交AB、AC于点E、F,则EF的长 为 D B (第10题) B (第12题) 13.如图①，P、Q分别是等边三角形 ABC的边AB、BC上的动点（端点 除外)，点P从顶点A出发，运动 到终点B,点Q从顶点B同时出发，运动到 终点C,且它们的运动速度相同，连接AQ、 CP交于点M, (1)求证：△ABQ≌△CAP (2)当点P、Q分别在边AB、BC上运动时， 11.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别 ∠QMC的度数变化吗？若变化，请说明理 在边BC、AC上，且DE∥AB,过点E作 由；若不变，请求出它的度数 EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (3)如图②，若点P、Q在运动到终点后继 (1)求∠F的度数， 续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交 (2)若CD=2,求DF的长 于点M,则∠QMC的度数变化吗？若变 化，请说明理由；若不变，请求出它的度数. B D (第11题) ① ② (第13题) 35 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第4课时直角三角形的性质定理 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10, 的中点，点E在AC上，且AE=BE,连接 AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D、E CD交BE于点F.若∠A=25°，则∠DFE的 分别在边AC、BC上滑动，且DE=4.若M、 度数为 ( N分别是DE、AB的中点，则MN长的最小 A.65° B.70° C.759 D.80° 值为 () A.2 B.3 C.3.5 D.4 E (第1题) (第2题)》 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与 CE分别是斜边AB上的高与中线，有下列判 (第6题) (第7题) 断：①∠DCB=∠A;②∠DCB=∠ACE; 7.如图，在△ABC中，AD和BE是高， ③∠ACD=∠BCE;④∠BCE=∠BEC.其 ∠ABE=45°，F是AB的中点，AD与FE、 中，正确的个数为 BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有 A.1 B.2 C.3 D.4 下列结论：①FD=FE;②AH=2CD; 3.如图，在△ABC中，∠ACB= ③S△ABC=4 SAADF;④连接HC,则 90°，CD是边AB上的中线， ∠EHC=45°.其中，正确的有 () 且CD+AB=12,则AB的A D (第3题) A.1个B.2个C.3个D.4个 长为 A 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C= 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 20°，D为斜边BC的中点，连接AD,AE ∠ABC=60°，BD平分∠ABC,P P BC于点E,则∠DAE的度数为 是BD的中点.若AD=6,则CP 的长为 (第4题) 5.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，CF D 是边AB上的中线，DC=BF,E是CF的中 (第8题) 点.求证： 9.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=8, (1)DE⊥CF. AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,且D是 (2)∠B=2∠BCF. AB的中点，则△DEF的周长是 D B B F D (第5题) (第9题) (第10题) 10.如图，在△ABC中，D是BC上的一点， 36 第1章三角形 AB=AD,E、F分别是AC、BD的中点，思维拓展 金 EF=2,则AC的长是 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB 11.如图，在锐角三角形ABC中，CF⊥AB, 的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的 BE⊥AC,垂足分别为F、E,连接EF,M、 N分别是BC、EF的中点，连接MN、EM、 点，且CE=CF-名AB,则∠EMF的度数 FM. 为 (1)求证：MN⊥EF, (2)若∠A=80°，求∠EMF的度数. (第13题) B 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= (第11题) 90°，点D在边AC上（不与点A、C 重合)，DE⊥AB于点E,连接 BD,F为BD的中点，连接EF、CF、CE (1)若BD=10,求EF的长， (2)写出图中的所有等腰三角形 12.(1)如图①，P是∠AOB内部的任 (3)试猜想∠A与∠CEF的关系并证明. 意一点，PM⊥OA,PN⊥OB,垂足 分别是M、N,D是OP的中点，连 接DM、DN.求证：∠MDN=2∠MON. (2)如图②，P是∠AOB外部的任意一点， PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M、N,D (第14题) 是OP的中点，连接DM、DN,则∠MDN 与∠MON有何数量关系？请说明理由. ② (第12题) 37