2.1直线与圆的位置关系 同步课堂讲义2024-2025学年浙教版九年级数学下册

本讲义聚焦初中数学“直线与圆的位置关系”这一核心知识点，系统构建从基本概念到判定性质、再到实际应用的完整知识链，前后衔接紧密，如通过“点到直线距离d与半径r的关系”自然过渡到切线判定与性质的综合运用，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如题型14中借助坐标系与圆的动态位置变化，引导学生用几何直观观察规律，再以逻辑推理证明结论，实现从现象到本质的认知跃迁。课中可辅助教师精准讲解难点，课后学生能通过典型例题与举一反三训练查漏补缺，强化对切线定义、公共点个数判断等易错点的理解与掌握。

2.1直线与圆的位置关系 讲解目录 【知识点1】切线的判定与性质 1 【知识点2】切线的判定 2 【知识点3】切线的性质 2 【知识点4】直线与圆的位置关系 2 【题型1】切线的判定和性质的综合应用 3 【题型2】直线与圆的位置关系的实际应用 11 【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 14 【题型4】切线的定义及证明 17 【题型5】直线与圆的公共点个数问题 21 【题型6】根据直线与圆的位置关系求半径 26 【题型7】切线的性质的实际应用 29 【题型8】判断直线与圆的位置关系 34 【题型9】应用切线的性质求角度 37 【题型10】切线的判定 44 【题型11】应用切线的性质求面积 47 【题型12】应用切线的性质求弧长及线段长度 53 【题型13】应用切线的性质求半（直）径 60 【题型14】应用切线的性质证明 64 知识讲解 【知识点1】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点2】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【知识点3】切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【知识点4】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d=r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 题型专练 【题型1】切线的判定和性质的综合应用 【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点为点D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是（　　） A.∠BOD＝2∠BAD B.如果AD平分∠ODC，AD＝OD C.如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC D.如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线 【答案】B 【解析】A．由圆周角定理可得∠BOD＝2∠BAD，便可判断正误； B．由角平分线与等腰三角形的性质可知△AOD为等腰直角三角形，可得AD与OD的数量关系，便可判断正误； C．由角平分线与等腰三角形的性质得AC∥OD，便可判断正误； D．证明△OAC≌△ODC，得∠OAC＝∠ODC＝90°，便可判断正误． A．∵∠BOD、∠BAD是所对的圆心角、圆周角， ∴∠BOD＝2∠BAD；故选项正确，不合题意； B．∵AD平分∠ODC，DC是⊙O的切线， ∴， ∵OA＝OD，则∠OAD＝∠ODA＝45°， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴， 故选项错误，符合题意； C．∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠OAD， ∵OA＝OD，则∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AC∥OD， ∵DC是⊙O的切线，OD为半径， ∴OD⊥CD， ∴AC⊥DC， 故选项正确，不合题意； D．∵CO⊥AD， ∴， ∴∠AOC＝∠DOC， ∵OC＝OC，OC＝OC， ∴△OAC≌△ODC（SAS）， ∴∠OAC＝∠ODC＝90°， ∴AC也是⊙O的切线， 故选项正确，不合题意； 故选：B． 【举一反三1】在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，AB＝2，点C在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉：若给出∠DCB＝∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线； 淇淇：若给出直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，则可求出△ADC的面积． A.只有嘉嘉的正确 B.只有淇淇的正确 C.嘉嘉和淇淇的都不正确 D.嘉嘉和淇淇的都正确 【答案】D 【解析】根据切线的求证方法，如图所示（见详解），连接OC，证明OC⊥CD即可求解；根据切线的性质，BC＝BD，可求出等腰三角形，等边三角形，根据含特殊角的直角三角形的直线可求出各边的长度，由此即可求解． ∵AB是半圆O所在圆的直径， ∴∠ACB＝90°， 如图所示，连接OC， ∵OA，OC是半径， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OCA+∠OCB＝90°， ∴∠OAC+∠OCB＝90°， 嘉嘉给出的条件是：∠DCB＝∠BAC， ∴∠DCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CD，且点C在圆上， ∴直线CD是半圆O的切线，故嘉嘉给出的条件正确； 淇淇给出的条件：直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，如图所示， ∴OC⊥CD，且△BCD是等腰三角形， ∴∠DCB+∠BCO＝∠ACO+∠BCO＝90°， ∴∠ACO＝∠DCB， ∵∠COB＝2∠ACO，∠CBO＝2∠DCB， ∴CO＝CB，且CO＝BO， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠ACB＝∠BCD＝∠D＝30°， ∵AB＝2， ∴OA＝OC＝OB＝BC＝BD＝1， ∴AD＝3， 如图所示，过点C作CE⊥OB于E， 在△OBC是等边三角形，， ∴，故淇淇给出的条件正确， 故选：D． 【举一反三2】如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在　 　秒时相切． 【答案】3或4 【解析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 设⊙O运动的时间为t秒， 当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切， ∵开始时O点到AB的距离为7， ∴当圆向右移动7﹣1或7+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切， ∴t＝＝3或t＝＝4， 即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切． 故答案为：3或4． 【举一反三3】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　 　s后⊙P与直线CD相切． 【答案】4 【解析】分⊙P移动到⊙P1位置、⊙P移动到⊙P2位置两种情况，根据等腰直角三角形的性质、切线的性质计算即可． 【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长． 【答案】（1）证明：∵CO平分∠BCD， ∴∠OCD＝∠OCB， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠AOC＝∠OBC+∠OCB＝2∠B，∠DAB＝∠DCB＝2∠OCB＝2∠B， ∴∠AOC＝∠DAB， ∴OC∥DE， ∵CE⊥AD， ∴CE⊥OC， ∵OC是半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， 即∠OCA+∠ACE＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠ACE＝∠B， ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴△ACE∽△ABC， ∴＝＝sinB＝， ∵AB＝5×2＝10， ∴AC＝6，AE＝． 【举一反三5】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠OAD＝∠ABD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BC＝5，，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于点E， ∵AD⊥BO， ∴∠ADB＝90°， ∴∠AOD+∠OAD＝90°， ∵BC是⊙O的切线， ∴AC⊥BC， ∴∠BCO＝90°， ∴∠BOC+∠OBC＝90°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠OBC＝∠OAD， ∵∠OAD＝∠ABD， ∴∠OBC＝∠ABD，即∠OBC＝∠OBE， ∵OE⊥AB， ∴∠OEB＝90°， 在△OBC和△OBE中， ， ∴△OBC≌△OBE（AAS）， ∴OC＝OE， ∵OE⊥AB， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵BC＝5，， ∴， ∴， ∵△OBC≌△OBE， ∴BE＝BC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝13﹣5＝8， ∵OE⊥AB， ∴， ∴， 即⊙O的半径为． 【题型2】直线与圆的位置关系的实际应用 【典型例题】卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球（如图）射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据VAR图判定该球并未出界，VAR图中的圆与直线a的位置关系为（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 【答案】A 【解析】通过观察发现，足球所在的圆与直线a只有一个公共点，可知VAR图中的圆与直线a相切，于是得到问题的答案． ∵足球所在的圆与直线a只有一个公共点， ∴VAR图中的圆与直线a相切， 故选：A． 【举一反三1】“生活处处皆学问”．如图，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳在升起离开地平线后，太阳和地平线的位置关系是（　　） A.内含 B.相切 C.相交 D.相离 【答案】D 【解析】根据直线与圆的公共点数量与直线的圆的位置关系的性质进行解答便可． 根据直线和圆没有公共点，则直线和圆相离， 故选：D． 【举一反三2】同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（　　） A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 【答案】C 【解析】根据题意画出相应的图形，由三角形ABC的三边，利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，根据垂直定义得到AC与BC垂直，再利用切线的定义：过半径外端点且与半径垂直的直线为圆的切线，得到AC为圆B的切线，可得出此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切． 根据题意画出图形，如图所示： 由已知得：BC＝30cm，AC＝40cm，AB＝50cm， ∵BC2+AC2＝302+402＝900+1600＝2500，AB2＝502＝2500， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC， ∴AC为圆B的切线， 则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切． 故选：C． 【举一反三3】“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　　． 【答案】相交 【解析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点， 所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交． 故答案为：相交． 【举一反三4】如图，定滑轮⊙O静止时，半径OA在水平位置．链条AB所在的直线与⊙O有什么位置关系？请说明理由． 【答案】解：链条AB所在的直线与⊙O相切， 理由：由题意得，OA⊥AB，OA为⊙O的直径， ∴AB是⊙O的切线． 【举一反三5】如图，东海中某小岛上有一灯塔A，灯塔附近方圆25海里范围内有暗礁．一艘渔船在O处测得灯塔在其北偏西60°方向，距离灯塔60海里．若渔船一直向正西方向航行，是否有触礁的危险？ 【答案】解：如图，过A作AD⊥OB于D， 则∠ADO＝90°，∠AOD＝90°﹣60°＝30°，OA＝60海里， ∴AD＝OA×sin30°＝30海里， ∵30＞25， ∴渔船一直向正西方向航行，没有触礁的危险． 【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 【典型例题】如果直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d满足（　　） A.d＝13cm B.d＝6.5cm C.0cm≤d＜6.5cm D.d＞6.5cm 【答案】C 【解析】直线和圆的三种位置关系：相离，相切，相交，设⊙O的半径为r，圆心O到直线L距离为d，直线L和⊙O相交，则d＜r；直线L和⊙O相切，则d＝r；直线L和⊙O相离，则d＞r，即可求解． 直线和圆的三种位置关系：相离，相切，相交， 设⊙O的半径为r，圆心O到直线L距离为d， 直线L和⊙O相交，则d＜r； 直线L和⊙O相切，则d＝r； 直线L和⊙O相离，则d＞r． ∵圆的直径为13cm， ∴圆的半径为6.5cm， ∵直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点， ∴d的取值范围是0cm≤d＜6.5cm． 故选：C． 【举一反三1】平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】根据直线l与⊙O相离得到直线l与圆心的距离大于半径，于是得到结论． ∵⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离， ∴圆心O到直线l的距离＞5， 故选：A． 【举一反三2】在平面中，已知⊙O的半径OP等于5，点P在直线l上，则圆心O到直线l的距离（　　） A.等于5 B.最小值为5 C.最大值为5 D.不等于5 【答案】C 【解析】作OQ⊥l于点Q，由OP＝5，且OQ≤OP，得OQ≤5，则OQ的最大值为5，于是得到问题的答案． 如图，作OQ⊥l于点Q， ∵OP＝5，且OQ≤OP， ∴OQ≤5， ∴OQ的最大值为5， ∴圆心O到直线l的距离最大是为5， 故选：C． 【举一反三3】已知⊙O的弦AB＝1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为 　   　． 【答案】0≤d＜0.6 【解析】过点O作DO⊥AB交于点D，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2＝（1.6﹣OA）2+0.82，求出AO＝1，再由题意可得0≤d＜0.6． 过点O作DO⊥AB交于点D， ∵AB＝1.6， ∴AD＝0.8， ∵优弧上的点到AB的最大距离为1.6， ∴OD＝1.6﹣AO， 在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2， ∴AO2＝（1.6﹣OA）2+0.82， 解得AO＝1， ∵⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4， ∴0≤d＜0.6， 故答案为：0≤d＜0.6． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，5个单位为半径画圆．直线MN经过x轴上一动点P（m，0）且垂直于x轴，当P点在x轴上移动时，直线MN也随着平行移动．按下面条件求m的值或范围． （1）如果⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3； （2）如果⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3； （3）如果⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3； （4）随着m的变化，⊙O上到直线MN距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应的m值或范围． 【答案】解：（1）m＜﹣8或m＞8时⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3； （2）m＝﹣8或m＝8时⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3； （3）﹣8＜m＜﹣2或2＜m＜8时⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3； （4）当m＝﹣2或m＝2时⊙O上有且只有三个点到直线MN的距离等于3； 当﹣2＜m＜2时⊙O上有且只有四个点到直线MN的距离等于3． 【举一反三5】已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有几 个点到直线AB的距离为3． 【答案】解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图， ∴OC＝2， 而OA＝5， ∴PC＝3，即点P到直线AB的距离为3； 在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为7，而圆为对称图形， ∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为3． 【题型4】切线的定义及证明 【典型例题】已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点A（点E，F在点A的两旁），下列条件： （1）OA＝5； （2）OE＝OF； （3）OA⊥EF； （4）O到直线EF的距离是5． 能判定直线EF与⊙O相切的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 如图， （1）OA＝5，不能判定直线EF与⊙O相切，不符合题意； （2）OE＝OF，不能判定直线EF与⊙O相切，不符合题意； （3）OA⊥EF且点A在⊙O上，能判定直线EF与⊙O相切，符合题意； （4）O到直线EF的距离是5，等于半径，能判定直线EF与⊙O相切，符合题意． 故选：B． 【举一反三1】如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝11，CD＝6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 【答案】C 【解析】延长CO交⊙O于点，先根据OD＝11，CD＝6得出OC＝5，故CE＝6，再根据△ABC是等边三角形可知BC＝AC，BC＞CD，根据直线与圆的位置关系即可得出结论． 延长CO交⊙O于点， ∵OD＝11，CD＝6， ∴OC＝5， ∴CE＝6． ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，BC＞CD， ∴在旋转过程中⊙O与BC边只有一个公共点时有两次，与AB边有一次，与AC边有2次． ∴⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现5次． 故选：C． 【举一反三2】下列说法中，正确的是（　　） A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 【答案】D 【解析】由①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线；③与圆有1个公共点的直线是圆的切线，即可求得答案． A、与圆有且只有1个公共点的直线是圆的切线，故A选项不符合题意； B、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故B选项不符合题意； C、经过切点且垂直于过切点半径的直线是圆的切线，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故D选项符合题意； 故选：D． 【举一反三3】如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD向下平移 　  　cm时，直线l与⊙O相切． 【答案】5 【解析】根据直线和圆相切，需要满足OD＝5．又此时OD＝0，则需要沿射线OD方向平移5cm． ∵直线l与⊙O相切， ∴OD＝5， 又∵此时l过圆心，故需平移5cm． 故答案为：5． 【举一反三4】如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD． （1）若∠ABC＝40°，则∠OCA的度数为　　°； （2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）连接OA， ∵∠ABC＝40°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝80°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝； 故答案为：50； （2）相切． 理由如下：法一：连接OA， 则∠ABC＝∠AOC， 在等腰△AOC中，∠OAC＝90°﹣∠AOC， ∴∠OAC＝90°﹣∠ABC． ∵∠ABC＝∠CAD， ∴∠OAD＝∠OAC+∠CAD＝90°﹣∠ABC+∠ABC＝90°， 即OA⊥AD，而点A在⊙O上， ∴直线AD与⊙O相切． 法二：连接OA，并延长AO与⊙O相交于点E，连接EC． ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ECA＝90°， ∴∠EAC+∠AEC＝90°． 又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD， ∴∠EAC+∠CAD＝90°． 即OA⊥AD，而点A在⊙O上， ∴直线AD与⊙O相切． 【题型5】直线与圆的公共点个数问题 【典型例题】在△ABC中∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心以2.4cm长为半径作⊙C，则⊙C与△ABC的三边的交点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，再和⊙C的半径比较即可得出结果． 过C作CD⊥AB于D，如图所示： 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5（cm）， 由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD， 解得：CD＝2.4cm， 即C到AB的距离等于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相相切， ∴⊙C与△ABC的三边的交点个数为3个， 故选：D． 【举一反三1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ 　） A.0 B.1或0 C.0或2 D.1或2 【答案】D 【解析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． ∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为8cm， 即圆心O到直线l的距离小于或等于圆的半径， ∴直线l和⊙O相切或相交， ∴直线l与⊙O公共点的个数为1或2． 故选：D． 【举一反三2】设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为（　　） A.d≤4 B.d＜4 C.d≥4 D.d＝4 【答案】C 【解析】当d＝r时，直线与圆相切，直线L与圆有一个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，直线L与圆有两个公共点；当d＞r时，直线与圆相离，直线L与圆没有公共点． 因为直线L与⊙O至多只有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和没有公共点两种情况， 因此d≥r． 故选：C． 【举一反三3】已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 　 　． 【答案】4或5 【解析】由以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，可得⊙P与x轴相切或⊙P过原点，然后分别解析求解即可求得答案． ∵以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点， ∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2）， 当⊙P与x轴相切时，r＝4， 当⊙P过原点时，r＝OP＝＝5． ∴r＝4或5． 故答案为：4或5． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，1），若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为　  　． 【答案】或3 【解析】由已知A（3，1），可以知道圆心A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，到原点的距离为，由此可以确定，⊙A与坐标轴共有三个公共点时圆的半径是和3． 设⊙A的半径为r， 当1＜r＜3时，⊙A与坐标轴共有2个公共点， 当半径等于3时，如图1，⊙A与y轴相切且与x轴有2个交点，共有3个公共点， 当半径r等于A到原点的距离＝时，如图2，共有3个公共点， 当半径r大于时，⊙A与坐标轴共有4个公共点． 即⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为或3． 故答案为：或3． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径画圆，如果⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围． 【答案】解：由勾股定理得：AB＝10cm， 分为两种情况：①如图1，当⊙C与AB相切时，只有一个公共点，则CD⊥AB， 由三角形的面积公式得：S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD， 故6×8＝10×CD， 所以CD＝4.8cm，即r＝4.8cm． ②如图2，当R的范围是6cm＜r≤8cm时，⊙C和AB只有一个公共点． 综上所述，r＝4.8cm或6cm＜r≤8cm． 【举一反三6】已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径画圆．若C是OA上一点，OC等于5cm，讨论OC与⊙M的公共点个数，并写出r相应的取值范围． 【答案】解：作MN⊥OA于N，如图， ∵∠AOB＝30°， ∴MN＝OM＝×5＝， ∴当r＝时，⊙M与射线OC只有一个公共点； 当0＜r＜时，⊙M与射线OC没有公共点； 当＜r≤5时，⊙M与射线OC有两个公共点； 当r＞5时，⊙M与射线OC只有一个公共点． 所以当0＜r＜时，⊙M与射线OC没有公共点；当r＝或r＞5时，⊙M与射线OC只有一个公共点；当＜r≤5时，⊙M与射线OC有两个公共点． 【题型6】根据直线与圆的位置关系求半径 【典型例题】已知圆O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的一个根，若圆O与直线l相离，圆O的半径可取的值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】先解一元二次方程可得出d＝3，再根据直线与圆的位置关系可得出r＜3，即可得到答案． x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x﹣3＝0或x+2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， ∵⊙O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的一个根， ∴d＝3， ∵⊙O与直线l相离， ∴⊙O的半径r＜d，即r＜3， ∴A符合题意； 故选：A． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，以AB中点为圆心的同心圆中与BC，AC都相离的圆的半径应符合条件（　　） A.r＞2 B.r＜2 C.r＜1.5 D.r＜1 【答案】C 【解析】根据三角形的中位线定理求得圆心到直线的距离，再根据直线和圆的位置关系进一步得到数量关系． 根据三角形的中位线定理，求得圆心到直线BC，AC的距离分别是1.5，2； 又直线和圆相离，则需要圆心到直线的距离小于半径，所以r＜1.5． 故选：C． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，，如果以AC为直径的圆O与以B为圆心、r为半径的圆B相交，那么r的取值范围是 　   　． 【答案】2＜r＜8 【解析】如图，连接BO，交⊙O于H，延长BO交⊙O于D．在Rt△ABC中，解直角三角形求出BC，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BO，根据圆与圆的位置关系即可得的答案． 如图，连接BO，交⊙O于H，延长BO交⊙O于D， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠AHC＝∠BHC＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tan∠B＝＝， ∴BC＝4， 在Rt△BCO中，BC＝4，OC＝3， ∴BO＝＝5， ∴BH＝5﹣3＝2，BD＝5+3＝8， ∴当2＜r＜8时，以AC为直径的圆O与以B为圆心、r为半径的圆B相交， 故答案为：2＜r＜8． 【举一反三3】如图，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，若以M为圆心，r为半径作圆，那么： （1）当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是　　； （2）当直线OA与⊙M相切时，r的取值范围是　　； （3）当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是　　． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】作MN⊥OA于N，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MN＝OM＝，然后根据直线与圆的关系得到当r＝时，⊙M与射线OA相切，只有一个公共点；当0＜r＜时，⊙M与射线OA相离，没有公共点；当＜r≤5时，⊙M与射线OA有两个公共点，而当r＞5时，⊙M与射线OA只有一个公共点． 作MN⊥OA于N，如图， ∵∠AOB＝30°， ∴MN＝OM＝×5＝， ∴（1）当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是； （2）当直线OA与⊙M相切时，r的取值范围是； （3）当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，以点C为圆心，以r为半径作圆，若⊙C与线段AB相交，求r的取值范围． 【答案】解：∵BC＞AC， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC， ∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理知，， ∴CD＝＝2.4， ∴CD＝2.4， 即r的取值范围是2.4＜r≤4． 【题型7】切线的性质的实际应用 【典型例题】如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】设钟表的中心为点O，连接BC，OD，根据题意可得：点O在BC上，∠DOC＝60°，然后利用圆周角定理可得∠DBC＝30°，再利用切线的性质可得∠BCP＝90°，最后在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 设钟表的中心为点O，连接BC，OD， 由题意得：点O在BC上，∠DOC＝2×30°＝60°， ∴， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠BCP＝90°， ∵， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°，则∠AOB的度数为（　　） A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】C 【解析】首先求出∠ACB，然后根据切线的性质可得∠CAO＝∠CBO＝90°，再根据四边形的内角和定理计算即可． ∵∠α＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵AC、BC是切线， ∴∠CAO＝∠CBO＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣∠ACB﹣∠CAB﹣∠CBA＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°， 故选：C． 【举一反三2】不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是3cm，tanP＝，则的长是（　　） A.6πcm B.4πcm C.3πcm D.2πcm 【答案】B 【解析】先利用切线的性质可得∠PAO＝∠PBO＝90°，再根据特殊角的三角函数值可得∠P＝60°，从而利用四边形内角和是360°可得∠AOB＝120°，然后利用周角定义可得所对的圆心角度数＝240°，从而利用弧长公式进行计算即可解答． ∵帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵tanP＝， ∴∠P＝60°， ∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝120°， ∴所对的圆心角度数＝360°﹣120°＝240°， ∴的长＝＝4π（cm）， 故选：B． 【举一反三3】如图所示是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA＝OB＝OC，且∠AOB＝120°．折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．如图2，若点H在线段OB时，则的值是　　． 【答案】 【解析】如图，作OK⊥GH，BT⊥HE垂足分别为K、T，设圆的半径都是r，分别求出OH、HB即可解决问题． 如图，作OK⊥GH，BT⊥HE垂足分别为K、T，设圆的半径都是r， 在Rt△OKH中，∵∠OKH＝90°，OK＝r，∠OHK＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴cos60°＝， ∴OH＝r， 在Rt△HTB中，∵∠HTB＝90°，BT＝r，∠THB＝30°， ∴BH＝2BT＝2r， ∴＝＝． 故答案为． 【举一反三4】把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为 　   　． 【答案】（8﹣π）cm2 【解析】连接OE，由切线的性质得到∠BEO＝90°，∠DOE＝60°，，由∠BOF＝120°，得到∠OFC＝30°，求出OF的长，即可求出BE的长，从而求出△BOE的面积，扇形DOE的面积，即可得到阴影的面积． 连接OE， ∵AB与半圆相切于E， ∴半径OE⊥AB， ∴∠BEO＝90°， ∵∠BOF＝120°， ∴∠FOC＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OFC＝90°﹣60°＝30°， ∴OF＝2OC＝2×2＝4cm， ∵∠B＝30°， ∴BE＝OE＝4cm， ∴△BOE的面积＝BE•OE＝×4×4＝8cm2， ∵∠EOD＝90°﹣∠B＝60°， ∴扇形DOE的面积＝＝π（ cm2）， ∴阴影的面积＝△BOE的面积﹣扇形DOE的面积＝（8﹣π）cm2． 故答案为：（8﹣π）cm2． 【举一反三5】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如图所示为正视图．已知EF＝CD＝16厘米，求出这个球的半径． 【答案】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF， 在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC， ∴IG⊥AD， ∴在⊙O中，FH＝EF＝8， 设求半径为r，则OH＝16﹣r， 在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2＝82， 解得r＝10， ∴这个球的半径是10厘米． 【题型8】判断直线与圆的位置关系 【典型例题】在直角坐标系中，点P的坐标是，圆P的半径为3，下列说法正确的是（　　） A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 【答案】D 【解析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为3，圆P的半径是3，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可． ∵P（3，），圆P的半径为3， ∴以P为圆心，以3为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切， ∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个． 故选：D． 【举一反三1】如图，PB⊥AB于点B，若以点P为圆心，PA的长为半径作圆，所得的圆与直线l的位置关系是（　　） A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 【答案】B 【解析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断． ∵PB⊥l于B， ∴PA＞PB， ∴以点P为圆心，PA为半径的圆与直线l相离． 故选：B． 【举一反三2】直线和圆的位置关系：设⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r （1）直线l和圆O没有公共点⇔直线l和圆　 　⇔d　 　r； （2）直线l和圆O有唯一公共点⇔直线l和圆　 　⇔d　  　r； （3）直线l和圆O有两个公共点⇔直线l和圆　  　⇔d　  　r． 【答案】（1）相离，＞；（2）相切，＝；（3）相交，＜． 【解析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点⇔d＞r．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点⇔d＝r．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线⇔d＜r． （1）直线l和圆O没有公共点⇔直线l和圆相离⇔d＞r； （2）直线l和圆O有唯一公共点⇔直线l和圆相切⇔d＝r； （3）直线l和圆O有两个公共点⇔直线l和圆相交⇔d＜r． 故答案为：（1）相离，＞；（2）相切，＝；（3）相交，＜． 【举一反三3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝a，BC＝b，AB＝c，以AB为直径作⊙O．试探究： （1）当a，b，c满足什么关系时，⊙O与DC相离？ （2）当a，b，c满足什么关系时，⊙O与DC相切？ （3）当a，b，c满足什么关系时，⊙O与DC相交？ 【答案】解：当⊙O与DC相切，设切点为P，连OP，则OP⊥CD， ∵AO＝BO，AD‖BC ∴OP是中位线， ∴AD+BC＝2OP， 即a+b＝c， 所以（1）当a，b，c满足a+b＞c时，⊙O与DC相离； （2）当a，b，c满足a+b＝c时，⊙O与DC相切； （3）当a，b，c满足a+b＜c时，⊙O与DC相交； 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离？ 【答案】解：∵∠A＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝30°， ∵BO＝x， ∴OD＝BO＝x， （1）若圆O与AB相离，则有OD大于r，即x＞2，解得：x＞4； （2）若圆O与AB相切，则有OD等于r，即x＝2，解得：x＝4； （3）若圆O与AB相交，则有OD小于r，即x＜2，解得：0＜x＜4； 综上可知：当x＞4时，AB与⊙O相离；x＝4时，AB与⊙O相切；0＜x＜4时，AB与⊙O相交． 【题型9】应用切线的性质求角度 【典型例题】如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A.50° B.45° C.40° D.35° 【答案】A 【解析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝40°，根据三角形内角和定理即可得到结论． 连接OC， ∵DC与圆O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ABC＝20°， ∴∠COD＝2∠ABC＝40°， ∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠ADC＝50°，则∠CAD的度数为（　　） A.20° B.25° C.30° D.15° 【答案】A 【解析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，进而得出∠COD＝90°﹣∠ADC＝40°，根据等腰三角形的性质即可求解． 连接OC， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ADC＝50°， ∴∠COD＝90°﹣∠ADC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠OAC+∠OCA＝∠COD＝40°， ∵OA＝OC， ∴， 故选：A． 【举一反三2】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上的一点，连接AC，BC，若∠ACB＝110°，则∠P的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【解析】先根据内接四边形的性质，对角互补，得出∠C1＝70°，由圆周角定理，得出∠AOB＝140°，结合切线性质，得出∠PAO＝∠PBO＝90°，再根据四边形内角和为360°列式，进行计算，即可作答． 在⊙O取一点为C1，连接AC1，BC1，OA，OB， ∴四边形ACBC1是圆内接四边形， ∴∠C1+∠ACB＝180°， ∴∠C1＝180°﹣110°＝70°， ∵， ∴∠AOB＝2∠C1＝140°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴在四边形APBO中， 则∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°， 故选：B． 【举一反三3】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，过点C的切线交BO的延长线于点P．若∠P＝28°，则∠BAC的度数为 　　 【答案】121° 【解析】连接OC，CE，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据直角三角形的性质求出∠OEC，根据圆内接四边形的性质计算即可． 如图，设⊙O与OP交于点E，连接OC，CE． ∵CP为⊙O的切线， ∴OC⊥CP． ∴∠OCP＝90°． ∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°． ∵OC＝OE， ∴． ∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形， ∴∠BAC+∠OEC＝180°． ∴∠BAC＝180°﹣∠OEC＝121°． 故答案为：121°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，O是边BC上的一点，以点O为圆心的⊙O与边AC相切于点A，E是半圆BED上的一点，连接AE，DE，若∠C＝32°，则∠AED的度数为 　  　． 【答案】29° 【解析】连接OA，如图，先根据切线的性质得到∠OAC＝90°，则利用互余计算出∠AOC＝58°，然后根据圆周角定理求解． 连接OA，如图， ∵⊙O与边AC相切于点A， ∴OA⊥CA， ∴∠OAC＝90°， ∵∠C＝32°， ∠AOC＝90°﹣∠C＝58°， ∴∠B＝∠AOC＝29°， ∴∠AED＝∠B＝29°． 故答案为：29°． 【举一反三5】在⊙O中，半径OA⊥OB，点D在OA或OA的延长线上（不与点O，A重合），直线BD交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交直线OA于点P． （Ⅰ）如图（1），点D在线段OA上，若∠OBC＝15°，求∠OPC的大小； （Ⅱ）如图（2），点D在OA的延长线上，若∠OBC＝65°，求∠OPC的大小． 【答案】解：（Ⅰ）如图（1），连接OC． ∵PC是⊙O的切线，OC为⊙O的半径， ∴OC⊥PC， ∴∠OCP＝90°． ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝15°． ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝150°． ∵OB⊥OA， ∴∠BOA＝90°． ∴∠AOC＝∠BOC﹣∠BOA＝60°． ∴∠OPC＝90°﹣∠AOC＝30°． （Ⅱ）如图（2），连接OC． ∵CP是⊙O的切线，OC为⊙O的半径， ∴OC⊥PC． ∴∠OCP＝90°． ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝50°． ∵OB⊥OA， ∴∠BOA＝90°． ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°． ∴∠OPC＝90°﹣∠AOC＝50°． 【举一反三6】已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F． （Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小； （Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小． 【答案】解：（Ⅰ）如图①，连接AD． ∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°． ∵∠ABC＝52°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°． ∵＝， ∴∠DFB＝∠DAB＝38°． （Ⅱ）如图②，连接OD． 在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°， ∴∠BED＝∠B＝52°， ∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°． 又在△BOD中，OB＝OD， ∴∠BDO＝∠B＝52°， ∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°． ∵OD＝OF， ∴∠F＝∠ODF＝24°． 【题型10】切线的判定 【典型例题】下列四个选项中的表述，正确的是（　　） A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】根据切线的判定对各个选项进行解析，从而得到答案． 由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线， 故A，B，D选项不正确，C选项正确， 故选：C． 【举一反三1】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ 　） A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60° 【答案】C 【解析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠B，推出∠OCB+∠ECF＝90°，于是得到结论． 连接OC，∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∵DE⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠B+∠DFB＝90°， ∵∠EFC＝∠BFD， ∴∠B+∠EFC＝90°， ∵∠ECF＝∠EFC， ∴∠OCB+∠ECF＝90°， ∴CE是⊙O的切线． 故选：C． 【举一反三2】如图，半圆O的直径DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的右侧，OC＝6cm，那么，当t为　     　s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切． 【答案】1或6或11或26 【解析】分四种情形分别求解即可解决问题． 如图，∵OC＝6，DE＝10， ∴OD＝OE＝5，CD＝1，EC＝11， ∴t＝1或11s时，⊙O与直线AC相切； 当⊙O′与AB相切时，设切点为M，连接O′M， 在Rt△BMO′中，BO′＝2MO′＝10， ∴OO′＝6， 当⊙O″与AB相切时，设切点为N，连接O′N，同法可得BO″＝10，OO″＝26， ∴当t＝6或26s时，⊙O与AB相切． 故答案为1或6或11或26 【举一反三3】如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D＝∠BAC． （1）求证：AD是半圆O的切线； （2）若BC＝2，CE＝，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵AB为半圆O的直径， ∴∠BCA＝90°． 又∵BC∥OD， ∴OE⊥AC． ∴∠D+∠DAE＝90°． ∵∠D＝∠BAC， ∴∠BAC+∠DAE＝90°． ∴AD是半圆O的切线． （2）解：∵BC∥OD， ∴△AOE∽△ABC， ∵BA＝2AO， ∴＝＝，又CE＝， ∴AC＝2CE＝． 在Rt△ABC中， AB＝＝， ∵∠D＝∠BAC，∠ACB＝∠DAO＝90°， ∴△DOA∽△ABC． ∴即． ∴． 【题型11】应用切线的性质求面积 【典型例题】如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO 与⊙O 交于点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB＝60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积＝扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积，列式计算即可求解 如图，过O点作OE⊥CD于E， ∵AB为⊙O的切线， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°， ∵OA＝2， ∴⊙O的半径为1， ∴OE＝，CE＝DE＝， ∴CD＝2CE＝2×＝， ∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣××＝﹣， 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（　　） A.1﹣π B.﹣ C.2﹣ D.2﹣π 【答案】B 【解析】根据切线，可得∠ADO＝90°，根据AB的长，求出AO的长度；解直角三角形，求出半径OD的长度；根据阴影部分的面积＝2×（三角形的面积减扇形的面积），计算即可． 如图，连接OD， ∵AC与⊙O相切， ∴∠ADO＝90°， ∵∠C＝90°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠AOD＝45°， ∵O是AB的中点，AB＝2， ∴OA＝， ∴OD＝cos45°•OA＝， ∴S阴影＝2（××﹣）＝﹣． 故选：B． 【举一反三2】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，则图中AD，AE与所围成的封闭图形的面积为　  　． 【答案】见试题解答内容 【解析】首先连接OE，OD，由以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，易得四边形OEAD是正方形，然后由S阴影＝S正方形OEAD﹣S扇形OED，求得答案． 连接OE，OD， ∵以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E， ∴OE⊥AC，OD⊥AB， ∴∠OEA＝∠ODA＝∠A＝90°， ∴四边形OEAD是矩形， ∵OE＝OD， ∴四边形OEAD是正方形， ∵在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，O为BC的中点， ∴OE＝AB＝1， ∴S阴影＝S正方形OEAD﹣S扇形OED＝1﹣＝1﹣． 故答案为：1﹣． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点F． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BE＝AE＝2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， 即∠ODB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠DAC＝∠ODA， ∵OD＝OA， ∴∠BAD＝∠ODA， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：设OD与EF交于M，连接OF， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠AFE＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OME＝∠AFE＝90°，即OD⊥EF， ∵OE＝OF， ∴∠DOE＝∠DOF，ME＝MF， ∵BE＝AE＝2， ∴OD＝OA＝OE＝AE＝2， ∴OB＝BE+OE＝4， 在Rt△OBD中，cos∠DOE＝＝， ∴∠DOE＝∠DOF＝60°， ∴ME＝MF＝OE•sin60°＝2×＝， OM＝OE•cos60°＝2×＝1，∠EOF＝∠DOE+∠DOF＝120°， ∴EF+ME+MF＝2， ∴S扇形OEF＝＝π，S△OEF＝EF•OM＝1＝， ∴S阴影＝S扇形OEF﹣S△OEF＝π﹣． 【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．已知DC＝4cm，DE＝2cm． （1）求BF的长；（2）求⊙O的面积． 【答案】解：（1）∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠AEB＝∠OFB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠OFB＝90°， ∴OF⊥BE且平分BE， ∴EF＝BF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵∠OCD＝∠CFE＝90°， ∴四边形EFCD是矩形， ∴EF＝CD，DE＝CF， ∵DC＝4，DE＝2， ∴EF＝4， ∴BF＝EF＝4cm； （2）∵DE＝CF＝2， 设⊙O的为r， ∵∠OFB＝90°， ∴OB2＝OF2+BF2， 即r2＝（r﹣2）2+42， 解得，r＝5， ∴AB＝2r＝10， ∴⊙O的面积＝（）2π＝25π． 【题型12】应用切线的性质求弧长及线段长度 【典型例题】如图，AB是⊙O的切线，P为切点，连接OA，OB，分别与⊙O相交于点C，点D，若∠A＝30°，AP＝2，BP＝2，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接OP，根据切线的性质可得OP⊥AB，从而可得∠APO＝∠BPO＝90°，再在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出OP的长，从而可得OP＝BP＝2，进而可得∠B＝∠BOP＝45°，然后利用三角形内角和定理可得∠AOB＝105°，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 连接OP， ∵AB是⊙O的切线，P为切点， ∴OP⊥AB， ∴∠APO＝∠BPO＝90°， 在Rt△AOP中，∠A＝30°，AP＝2， ∴OP＝AP•tan30°＝2×＝2， ∵BP＝2， ∴OP＝BP＝2， ∴∠B＝∠BOP＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°， ∴的长＝＝π， 故选：C． 【举一反三1】如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，PO与AB交于点D，与交于点E，AC为⊙O的直径．若PA＝AB，BC＝6，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C. D. 【答案】B 【解析】连接AE，由切线长定理得PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，则PO⊥AB，AD＝BD，由AC为⊙O的直径，得PA⊥AC，AO＝CO，则∠OAP＝90°，DO＝BC＝3，再证明△PAB是等边三角形，得∠APB＝60°，求得∠OPA＝30°，则∠AOE＝60°，可证明△AOE是等边三角形，则DE＝DO＝3，于是得到问题的答案． 连接AE， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB， ∴PO⊥AB，AD＝BD， ∵AC为⊙O的直径，BC＝6， ∴PA⊥AC，AO＝CO， ∴∠OAP＝90°，DO＝BC＝3， ∵PA＝PB＝AB， ∴△PAB是等边三角形， ∴∠APB＝60°， ∴∠OPA＝∠APB＝30°， ∵OA＝OE，∠AOE＝90°﹣∠OPA＝60°， ∴△AOE是等边三角形， ∴DE＝DO＝3， 故选：B． 【举一反三2】如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1＝60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于　　． 【答案】或 【解析】当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠1，在Rt△OAM中可求得AM；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的长，可求得答案． 当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图1， ∵MA、MN是⊙O的切线， ∴OM平分∠AMN，OA⊥MA， ∴∠AMO＝30°， ∴OM＝2OA＝2， 在Rt△OAM中，MA＝＝； 当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图2， ∵∠1＝60°， ∴∠AMN＝120°， 同上可知∠AMO＝∠AMN＝60°， ∴OM＝2AM， 在Rt△OAM中，MA2＝OM2﹣OA2，即MA2＝4MA2﹣1，解得MA＝； 综上可知MA的长度为或， 故答案为：或． 【举一反三3】如图，四边形OAPB为菱形，且顶点A，P，B都在⊙O上，过点P作⊙O的切线，与OB的延长线相交于点Q．若⊙O的半径为2，则PQ的长为 　　． 【答案】2 【解析】先根据菱形的性质求出∠POQ的值，再根据三角函数求解． 连接OP， ∵四边形OAPB为菱形， ∴OB＝BP， ∵OB＝OP， ∴OB＝OP＝PB， ∴△OPB是等边三角形， ∴∠POQ＝60°， ∵PQ是⊙O的切线， ∴OP⊥PQ， ∴tan60°＝， ∴PQ＝2， 故答案为：2． 【举一反三4】如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC． （1）求证：OC⊥OB； （2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长． 【答案】（1）证明：∵AB＝BP， ∴∠BAP＝∠BPA， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥BA， ∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠PAO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠PAO＝∠C， ∵∠BPA＝∠CPO， ∴∠C+∠CPO＝90°， ∴∠COP＝90°， 即CO⊥BO； （2）解：如图，作BD⊥AP于点D， 在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4， 则BO＝5，OP＝2， 在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4， 则CP＝2， ∵BA＝BP， ∴AD＝PD， 由（1）知∠COP＝90°， ∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO， ∴△BPD∽△CPO， ∴，即， ∴PD＝， ∴AP＝2PD＝． 【举一反三5】如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF． （1）求证：AC＝CF； （2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的切线， ∴∠DAB＝90°， ∴∠CAD+∠CAB＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴∠CAD＝∠B， ∵CE＝CD， ∴AE＝AD， ∴∠CAE＝∠CAD＝∠B， ∵∠B＝∠F， ∴∠CAE＝∠F， ∴AC＝CF； （2）解：由（1）可知，sin∠CAE＝sin∠CAD＝sinB＝． ∵AB＝4， ∴在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝5， ∴在Rt△ACD中，CD＝， ∴DE＝，BE＝， ∵∠CEF＝∠AEB，∠B＝∠F， ∴△CEF∽△AEB． ∴． ∴EF＝． 【题型13】应用切线的性质求半（直）径 【典型例题】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（　 　） A.8 B.4 C.9.6 D.4.8 【答案】D 【解析】作CD⊥AB于D，先根据勾股定理计算出BC，再利用等积法计算出CD，然后根据切线的性质即可得到⊙C的半径长． 作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝＝8， ∵AC•BC＝AB•CD， ∴CD＝＝， ∵⊙C与AB相切， ∴CD为⊙的半径， 即⊙C的半径长为． 故选：D． 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上一点，CD是⊙O的切线，点D是切点，过点B作⊙O的切线，交CD于点E，若CD＝8，BE＝3，则⊙O的半径为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】连接OD，利用切线的性质和相似三角形△CBE∽△CDO的对应边成比例进行解答． 如图，连接OD． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°． 又∵BE作⊙O的切线， ∴∠CBE＝90°且BE＝ED， ∴∠CBE＝∠CDO． 又∵∠BCE＝∠DCO， ∴△CBE∽△CDO， ∴＝，即＝． 又∵CD＝8，BE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝CD﹣BE＝5， ∴在直角△CBE中，利用勾股定理求得CB＝4， ∴＝，则OB＝6，即该圆的半径为6． 故选：D． 【举一反三2】如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 　　． 【答案】 【解析】连接EO并延长交AD于H点，连接OA，如图，先根据切线的性质得到OE⊥BC，根据正方形的性质得到AD∥BC，AB＝AD＝4，则EH⊥AD，再根据垂径定理得到AH＝DH＝2，接着证明四边形ABEH为矩形得到BE＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OAH中利用勾股定理得到22+（4﹣r）2＝r2，然后解方程求出r即可． 连接EO并延长交AD于H点，连接OA，如图， ∵BC边与⊙O相切，切点为E， ∴OE⊥BC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，AB＝AD＝4， ∴EH⊥AD， ∴AH＝DH＝AD＝2， ∵∠B＝∠BAH＝∠AHE＝90°， ∴四边形ABEH为矩形， ∴BE＝AB＝4， 设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，OH＝4﹣r， 在Rt△OAH中，22+（4﹣r）2＝r2， 解得r＝， 即⊙O的半径为． 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径． 【答案】解：连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA， ∵BC是切线， ∴OE⊥BC， ∴∠OEC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDFE是矩形， ∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD， ∴AF＝AD＝×12＝6， 设⊙O的半径为x，则OE＝EF﹣OE＝8﹣x， 在Rt△OAF中，OF2+AF2＝OA2， 则（8﹣x）2+36＝x2， 解得：x＝6.25， ∴⊙O的半径为：6.25． 【题型14】应用切线的性质证明 【典型例题】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2…，半径为n+1的圆与1n在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为（　　）（n为正整数） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果． 连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示： 在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2， ∴A1P1＝＝＝， 同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……， ∴P1的坐标为（ 1，），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，），……， …按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，） 故选：B． 【举一反三1】如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC，则下列选项错误的是（　　） A.∠P+2∠D＝180° B.∠COB＝∠DAB C.∠DBA＝∠ABP D.∠DBO＝∠ABP 【答案】D 【解析】由圆周角定理，切线的性质，垂径定理可得出答案． A．∠OAP＝∠OBP＝90°，则∠P+∠AOB＝180°，又因为∠D＝∠AOB，故A正确； B．因为弦BD⊥AC，根据垂径定理以及圆周角定理即可得出∠COB＝∠DAB； C．根据垂径定理，得弧AD＝弧AB，则∠ADB＝∠ABD，再根据弦切角定理，得∠ABP＝∠D，正确； D．证出∠ABP＝∠D，故D符合题意． 故选：D． 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°．下列结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC．其中正确结论的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A＝30°，可以得出∠ABD＝60°，△ODB是等边三角形，∠C＝∠BDC＝30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立． 如图，连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴CD⊥OD， ∴∠ODC＝90°， 又∵∠A＝30°， ∴∠ABD＝60°， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD． ∴∠C＝∠BDC＝30°， ∴BD＝BC，②成立； ∴AB＝2BC，③成立； ∴∠A＝∠C， ∴DA＝DC，①成立； 综上所述，①②③均成立， 故选：D． 【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 　   　（将正确序号填入） ①OC∥AE ②EC＝BC ③∠DAE＝∠ABE ④AC⊥OE． 【答案】①②③ 【解析】由C为弧EB中点，利用垂径定理的逆定理得到OC垂直于BE，根据等弧对等弦得到BC＝EC，再由AB为直角，利用圆周角定理得到AE垂直于BE，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AE平行，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到AB与DA垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE＝∠ABE，根据E不一定为弧AC中点，可得出AC与OE不一定垂直，即可确定出结论成立的序号． ∵C为的中点，即＝， ∴OC⊥BE，BC＝EC，选项②正确； ∴∠BFO＝90°， ∵AB为圆O的直径， ∴AE⊥BE，即∠BEA＝90°， ∴∠BFO＝∠BEA， ∴OC∥AE，选项①正确； ∵AD为圆的切线， ∴∠DAB＝90°，即∠DAE+∠EAB＝90°， ∵∠EAB+∠ABE＝90°， ∴∠DAE＝∠ABE，选项③正确； 点E不一定为中点，选项④错误， 则结论成立的是①②③， 故答案为：①②③ 【举一反三4】如图，过⊙O外一点P作圆的切线PA，PB，点A，B为切点，AC为直径，设∠P＝m°，∠C＝n°，则m，n的等量关系为 　　． 【答案】m+2n＝180° 【解析】连接OB，由切线的性质得到∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和为360°得到∠P+∠AOB＝180°，又根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，代入上式即可得到结论． 连接OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠PAO+∠PBO+∠P+∠AOB＝360°， ∴∠P+∠AOB＝180°， ∵∠AOB＝2∠C， ∴∠P+2∠C＝180°， ∴m+2n＝180°． 故答案为：m+2n＝180°． 【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且OD⊥BC，垂足为H，连接DC． （1）求证：∠BCD＝∠BAC； （2）延长AB到点E，使EB＝AC，连接DE．若DE与⊙O相切，试判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 【答案】证明：如图，连接OB，OC， ∵OD⊥BC， ∴＝＝， ∴∠BCD＝BAC； （2）四边形BCDE是平行四边形，理由如下： 如图，连接BD，AD， ∵DE与⊙O相切， ∴OD⊥DE， ∵OD⊥BC， ∴BC∥DE， 根据圆内接四边形性质可知：∠DBE＝∠DCA， 在△DBE和△ACD中， ， ∴△DBE≌△ACD（SAS）， ∴∠BED＝∠DAC， ∵BC∥DE， ∴∠BED＝∠ABC＝∠DAC， ∴＝， ∵＝， ∴∠BCD＝∠CBD＝∠ABC， ∴EB∥CD， ∵BC∥DE， ∴四边形BCDE是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1直线与圆的位置关系 讲解目录 【知识点1】切线的判定与性质 1 【知识点2】切线的判定 2 【知识点3】切线的性质 2 【知识点4】直线与圆的位置关系 2 【题型1】切线的判定和性质的综合应用 3 【题型2】直线与圆的位置关系的实际应用 5 【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 6 【题型4】切线的定义及证明 8 【题型5】直线与圆的公共点个数问题 9 【题型6】根据直线与圆的位置关系求半径 10 【题型7】切线的性质的实际应用 11 【题型8】判断直线与圆的位置关系 13 【题型9】应用切线的性质求角度 14 【题型10】切线的判定 16 【题型11】应用切线的性质求面积 17 【题型12】应用切线的性质求弧长及线段长度 18 【题型13】应用切线的性质求半（直）径 20 【题型14】应用切线的性质证明 21 知识讲解 【知识点1】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点2】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【知识点3】切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【知识点4】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d=r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 题型专练 【题型1】切线的判定和性质的综合应用 【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点为点D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是（　　） A.∠BOD＝2∠BAD B.如果AD平分∠ODC，AD＝OD C.如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC D.如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线 【举一反三1】在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，AB＝2，点C在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉：若给出∠DCB＝∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线； 淇淇：若给出直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，则可求出△ADC的面积． A.只有嘉嘉的正确 B.只有淇淇的正确 C.嘉嘉和淇淇的都不正确 D.嘉嘉和淇淇的都正确 【举一反三2】如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在　 　秒时相切． 【举一反三3】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　 　s后⊙P与直线CD相切． 【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长． 【举一反三5】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠OAD＝∠ABD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BC＝5，，求⊙O的半径． 【题型2】直线与圆的位置关系的实际应用 【典型例题】卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球（如图）射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据VAR图判定该球并未出界，VAR图中的圆与直线a的位置关系为（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 【举一反三1】“生活处处皆学问”．如图，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳在升起离开地平线后，太阳和地平线的位置关系是（　　） A.内含 B.相切 C.相交 D.相离 【举一反三2】同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（　　） A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 【举一反三3】“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　　． 【举一反三4】如图，定滑轮⊙O静止时，半径OA在水平位置．链条AB所在的直线与⊙O有什么位置关系？请说明理由． 【举一反三5】如图，东海中某小岛上有一灯塔A，灯塔附近方圆25海里范围内有暗礁．一艘渔船在O处测得灯塔在其北偏西60°方向，距离灯塔60海里．若渔船一直向正西方向航行，是否有触礁的危险？ 【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 【典型例题】如果直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离d满足（　　） A.d＝13cm B.d＝6.5cm C.0cm≤d＜6.5cm D.d＞6.5cm 【举一反三1】平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 【举一反三2】在平面中，已知⊙O的半径OP等于5，点P在直线l上，则圆心O到直线l的距离（　　） A.等于5 B.最小值为5 C.最大值为5 D.不等于5 【举一反三3】已知⊙O的弦AB＝1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为 　   　． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，5个单位为半径画圆．直线MN经过x轴上一动点P（m，0）且垂直于x轴，当P点在x轴上移动时，直线MN也随着平行移动．按下面条件求m的值或范围． （1）如果⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3； （2）如果⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3； （3）如果⊙O上有且只有二点到直线MN的距离等于3； （4）随着m的变化，⊙O上到直线MN距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应的m值或范围． 【举一反三5】已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有几 个点到直线AB的距离为3． 【题型4】切线的定义及证明 【典型例题】已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点A（点E，F在点A的两旁），下列条件： （1）OA＝5； （2）OE＝OF； （3）OA⊥EF； （4）O到直线EF的距离是5． 能判定直线EF与⊙O相切的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝11，CD＝6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 【举一反三2】下列说法中，正确的是（　　） A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 【举一反三3】如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD向下平移 　  　cm时，直线l与⊙O相切． 【举一反三4】如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD． （1）若∠ABC＝40°，则∠OCA的度数为　　°； （2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 【题型5】直线与圆的公共点个数问题 【典型例题】在△ABC中∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心以2.4cm长为半径作⊙C，则⊙C与△ABC的三边的交点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ 　） A.0 B.1或0 C.0或2 D.1或2 【举一反三2】设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为（　　） A.d≤4 B.d＜4 C.d≥4 D.d＝4 【举一反三3】已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 　 　． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，1），若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为　  　． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径画圆，如果⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围． 【举一反三6】已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径画圆．若C是OA上一点，OC等于5cm，讨论OC与⊙M的公共点个数，并写出r相应的取值范围． 【题型6】根据直线与圆的位置关系求半径 【典型例题】已知圆O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的一个根，若圆O与直线l相离，圆O的半径可取的值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，以AB中点为圆心的同心圆中与BC，AC都相离的圆的半径应符合条件（　　） A.r＞2 B.r＜2 C.r＜1.5 D.r＜1 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，，如果以AC为直径的圆O与以B为圆心、r为半径的圆B相交，那么r的取值范围是 　   　． 【举一反三3】如图，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，若以M为圆心，r为半径作圆，那么： （1）当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是　　； （2）当直线OA与⊙M相切时，r的取值范围是　　； （3）当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是　　． 【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，以点C为圆心，以r为半径作圆，若⊙C与线段AB相交，求r的取值范围． 【题型7】切线的性质的实际应用 【典型例题】如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A.3 B.2 C. D. 【举一反三1】如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°，则∠AOB的度数为（　　） A.40° B.50° C.60° D.70° 【举一反三2】不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是3cm，tanP＝，则的长是（　　） A.6πcm B.4πcm C.3πcm D.2πcm 【举一反三3】如图所示是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA＝OB＝OC，且∠AOB＝120°．折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．如图2，若点H在线段OB时，则的值是　　． 【举一反三4】把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为 　   　． 【举一反三5】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如图所示为正视图．已知EF＝CD＝16厘米，求出这个球的半径． 【题型8】判断直线与圆的位置关系 【典型例题】在直角坐标系中，点P的坐标是，圆P的半径为3，下列说法正确的是（　　） A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 【举一反三1】如图，PB⊥AB于点B，若以点P为圆心，PA的长为半径作圆，所得的圆与直线l的位置关系是（　　） A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 【举一反三2】直线和圆的位置关系：设⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r （1）直线l和圆O没有公共点⇔直线l和圆　 　⇔d　 　r； （2）直线l和圆O有唯一公共点⇔直线l和圆　 　⇔d　  　r； （3）直线l和圆O有两个公共点⇔直线l和圆　  　⇔d　  　r． 【举一反三3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝a，BC＝b，AB＝c，以AB为直径作⊙O．试探究： （1）当a，b，c满足什么关系时，⊙O与DC相离？ （2）当a，b，c满足什么关系时，⊙O与DC相切？ （3）当a，b，c满足什么关系时，⊙O与DC相交？ 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离？ 【题型9】应用切线的性质求角度 【典型例题】如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（　　） A.50° B.45° C.40° D.35° 【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠ADC＝50°，则∠CAD的度数为（　　） A.20° B.25° C.30° D.15° 【举一反三2】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上的一点，连接AC，BC，若∠ACB＝110°，则∠P的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【举一反三3】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，过点C的切线交BO的延长线于点P．若∠P＝28°，则∠BAC的度数为 　　 【举一反三4】如图，在△ABC中，O是边BC上的一点，以点O为圆心的⊙O与边AC相切于点A，E是半圆BED上的一点，连接AE，DE，若∠C＝32°，则∠AED的度数为 　  　． 【举一反三5】在⊙O中，半径OA⊥OB，点D在OA或OA的延长线上（不与点O，A重合），直线BD交⊙O于点C，过C作⊙O的切线交直线OA于点P． （Ⅰ）如图（1），点D在线段OA上，若∠OBC＝15°，求∠OPC的大小； （Ⅱ）如图（2），点D在OA的延长线上，若∠OBC＝65°，求∠OPC的大小． 【举一反三6】已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F． （Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小； （Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小． 【题型10】切线的判定 【典型例题】下列四个选项中的表述，正确的是（　　） A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【举一反三1】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ 　） A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60° 【举一反三2】如图，半圆O的直径DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的右侧，OC＝6cm，那么，当t为　     　s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切． 【举一反三3】如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D＝∠BAC． （1）求证：AD是半圆O的切线； （2）若BC＝2，CE＝，求AD的长． 【题型11】应用切线的性质求面积 【典型例题】如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO 与⊙O 交于点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（　　） A.1﹣π B.﹣ C.2﹣ D.2﹣π 【举一反三2】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，则图中AD，AE与所围成的封闭图形的面积为　  　． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点F． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BE＝AE＝2，求图中阴影部分的面积． 【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．已知DC＝4cm，DE＝2cm． （1）求BF的长；（2）求⊙O的面积． 【题型12】应用切线的性质求弧长及线段长度 【典型例题】如图，AB是⊙O的切线，P为切点，连接OA，OB，分别与⊙O相交于点C，点D，若∠A＝30°，AP＝2，BP＝2，则的长为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，PO与AB交于点D，与交于点E，AC为⊙O的直径．若PA＝AB，BC＝6，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C. D. 【举一反三2】如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1＝60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于　　． 【举一反三3】如图，四边形OAPB为菱形，且顶点A，P，B都在⊙O上，过点P作⊙O的切线，与OB的延长线相交于点Q．若⊙O的半径为2，则PQ的长为 　　． 【举一反三4】如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC． （1）求证：OC⊥OB； （2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长． 【举一反三5】如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF． （1）求证：AC＝CF； （2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长． 【题型13】应用切线的性质求半（直）径 【典型例题】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（　 　） A.8 B.4 C.9.6 D.4.8 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上一点，CD是⊙O的切线，点D是切点，过点B作⊙O的切线，交CD于点E，若CD＝8，BE＝3，则⊙O的半径为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三2】如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 　　． 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径． 【题型14】应用切线的性质证明 【典型例题】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2…，半径为n+1的圆与1n在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为（　　）（n为正整数） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC，则下列选项错误的是（　　） A.∠P+2∠D＝180° B.∠COB＝∠DAB C.∠DBA＝∠ABP D.∠DBO＝∠ABP 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°．下列结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC．其中正确结论的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 　   　（将正确序号填入） ①OC∥AE ②EC＝BC ③∠DAE＝∠ABE ④AC⊥OE． 【举一反三4】如图，过⊙O外一点P作圆的切线PA，PB，点A，B为切点，AC为直径，设∠P＝m°，∠C＝n°，则m，n的等量关系为 　　． 【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且OD⊥BC，垂足为H，连接DC． （1）求证：∠BCD＝∠BAC； （2）延长AB到点E，使EB＝AC，连接DE．若DE与⊙O相切，试判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $