14.3 角的平分线-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 14.3 角日 自基础进阶 1.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD 平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边 形ABCD的面积是 A.24 B.30 C.36 D.42 B (第1题) (第2题) 2.如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相 交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P 到AB的距离为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025·无锡江阴段考)如 图，BD平分∠ABC,AD= CD,DE⊥AB于点E,DF⊥ BC于点F,BC=12cm, (第3题) AB=6cm,那么AE的长为 cm. 4.如图，在△ABC中，O是∠ABC,∠ACB平 分线的交点，AB+BC+AC=20,过点O作 OD⊥BC于点D,且OD=3,求△ABC的 面积. B (第4题) 36 的平分线 幻素能攀升 5.如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC 和∠BCD,AD过点E,且DA⊥AB于点A, P为线段BC上一动点，连接PE.若AD= 8,则PE长的最小值为 () (第5题) A.8 B.5 C.4 D.2 6.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是 20,30,40,三条角平分线将△ABC分为三个 三角形.若SAA0=30,则S△ABC等于( (第6题) A.180 B.155 C.150 D.135 7.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与 内角∠ABC的平分线BP交于点P,连接 AP.若∠BPC=36°，则∠CAP的度数为 D 0 W B (第7题) (第8题) 8.如图，在∠AOB的边OA,OB上取 点M,N,连接MN,MP平分 ∠AMN,NP平分∠MNB.若 MN=4,△PMN的面积是6，△OMN的面 积是9，则OM+ON的值是 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AC,∠D一 90°，BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接 EA,EA平分∠DEF, (1)求证：AF=AD. (2)若BF=7,DE=3,求CE的长， (第9题) 10.如图，在四边形ABCD中，AC平 分∠BAD,CE⊥AB于点E. (1)若∠ADC+∠ABC=180°，求 证：AB+AD=2AE (2)若AB十AD=2AE,求证：CD=CB, D E B (第10题) 第十四章全等三角形 思维拓展 11.(2024·朔州应县期末)如图，在△ABC中， AD⊥BC交BC于点D,AE平分∠BAC 交BC于点E,F为BC的延长线上一点， FG⊥AE交AE的延长线于点M,交AD 的延长线于点G,AC的延长线交FG于 点H,连接BG.有下列结论：①∠DAE= ∠F;②2∠DAE=∠ABD-∠ACE; ③S△ABB:S△Ax=AB：AC;④∠AGH= ∠BAE十∠ACB.其中，正确的有() →F (第11题) A.1个B.2个C.3个D.4个 12.如图，在△ABC中，点D在边BC上， ∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于 点E,过点E作EF⊥AB,交BA的延长线 于点F,且∠AEF=50°，连接DE. (1)求∠CAD的度数， (2)求证：DE平分∠ADC, (3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△AcD= 15,求△ABE的面积. (第12题) 37BD=CP, ∠B=∠C, BP=CQ, .△BPD≌△CQP(SAS). (2)设点Q的运动速度为xcm/s (x≠3)，经过ts,△BPD与△CQP 全等，则PB=3tcm,PC=(8-3t)cm, CQ=xt cm. 由(1)知，∠B=∠C 根据“SAS”判定三角形全等可知，分 两种情况讨论： ①当BD=PC且BP=CQ时，8 3t=5且3t=xt,解得t=1,x=3. x≠3， ∴.此种情况不符合题意，舍去. ②当BD=CQ且BP=CP时，5=xt 且=8-81，解得1-青-里 故若点Q的运动速度与点P的运动 速度不相等，当点Q的运动速度为 1 4cm/s时，能使△BPD与△CQP 全等 3.(1)①∠ACB=90°，AD⊥ MN,BE⊥MN, .∠ACD+∠ECB=90°，∠ADC= ∠CEB=90° '.∠DAC+∠ACD=90. ∴.∠DAC=∠ECB. 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS). ②△ADC≌△CEB, ∴CD=BE,AD=CE. ∴.DE=CE+CD=AD+BE. (2)△ADC≌△CEB成立，DE= AD+BE不成立， 理由：，∠ACB=90°，AD⊥MN, BE⊥MN, '.∠ACD+∠ECB=90°，∠ADC= ∠CEB=90. .∴.∠DAC+∠ACD=90° ∴.∠DAC=∠ECB. 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS) .CD=BE,AD=CE. ∴.DE=CE-CD=AD-BE. ∴.△ADC≌△CEB成立，DE AD+BE不成立. 4.(1)①如图①，连接BF. :易知△ABC≌△DBE, ∴.BC=BE,AC=DE. ∠ACB=∠DEB=90, ∴.∠BCF=∠BEF=90°. 在Rt△BFC和Rt△BFE中， (BF=BF, BC=BE, '.Rt△BFC≌Rt△BFE(HL). .CF=EF. ②.'CF=EF,AF+CF=AC, .AF+EF=AC=DE. (2)(1)中的两个结论成立. 理由：如图②，连接BF ,△ABC≌△DBE, .BC=BE,AC=DE,∠ACB ∠DEB=90°」 ∴.∠BEF=90°. 在Rt△BCF和Rt△BEF中， BF=BE BC=BE .Rt△BCF≌Rt△BEF(HI). .CF=EF. .AF+EF=AF+CF=AC=DE .(1)中的两个结论成立. (3)AF=DE+EF」 如图③，连接BF. ,△ABC≌△DBE, ∴.BC=BE,AC=DE. ∠ACB=∠DEB=90°， .∠BCF=∠BEF=90°. 在Rt△BCF和Rt△BEF中， BE=BE, BC=BE, '.Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). 14 .CF=EF. ∴.AF=AC+CF=DE+EF. ② ③ (第4题) 14.3角的平分线 1.B2.C3.3 4.如图，过点O作OE⊥AB于点E, OF⊥AC于点F,连接OA :O是∠ABC,∠ACB平分线的 交点， ∴.OE=OD,OF=OD,即OE= OF=OD=3. '.S△Ax=S△A0+S△xO十S△ACD= AB,0E+BC0D+2AC· OF=号X3X(AB+BC+AC)自 2×3×20=30. 1 B C D (第4题) 5.C6.D 7.54°解析：如图，过点P作PF⊥ BA,交BA的延长线于点F,PN⊥ BD于点N,PM⊥AC于点M.设 ∠PCD=x°.：CP平分∠ACD, ∴.∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN. ∴.∠ACD=∠ACP+∠PCD=2x. BP平分∠ABC,∴.∠ABP= ∠PBC,PF=PN..PF=PM.又 PF⊥BA,PM⊥AC,∴.AP平分 ∠FAC..∠FAP=∠CAP. ∠BPC=36,∴.∠ABP ∠PBC=x°-36°.∴.∠BAC= ∠ACD-∠ABC=2.x°-(.x° 36)-(x°-36)=72°..∠CAF 180°-72°=108°.∴.∠FAP= ∠CAP= F2∠CAF=54. M (第7题) 8.10解析：如图，过点P作PH⊥ MN于点H,PC⊥OA于点C,PD⊥ OB于点D,连接PO.:MP平分 ∠AMN,NP平分∠MNB,∴.PC PH,PD PH..PC PD. :△PMN的面积=MN·PH 6,MN=4,.PH=3..PC PD=3.:△PMN的面积是6， △OMN的面积是9，∴.S△M+ S%w=6+9=15.20M·PC+ zON·PD=15.(OM+ON)× 3=15×2.∴.OM+ON=10,即 OM+ON的值是10. A M C 0 N D B (第8题) 9.(1).∠D=90°， .AD⊥DE. ,'EA平分∠DEF,AF⊥EF, .'EF=ED 在Rt△AFE和Rt△ADE中， EF-ED. AE=AE, ∴.Rt△AFE≌Rt△ADE(HI). .AF-AD. (2)BE⊥AC, .∴.∠AFB=90. 在Rt△ABF和Rt△ACD中， AB=AC, AF-AD. .'.Rt△ABF≌Rt△ACD(HL). ∴.BF=CD=7 DE=3, ..CE=CD-DE=7-3=4. 10.(1)延长AB至点M,使AE= ME,连接CM. ,CE⊥AB, .∠AEC=∠MEC=90° 在△ACE和△MCE中， AE=ME, ∠AEC=∠MEC, CE=CE, ∴.△ACE≌△MCE(SAS). .∴.AC=MC,∠CAE=∠CME :AC平分∠BAD, ∴.∠DAC=∠CAE. ∴.∠DAC=∠BMC. .∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+ ∠CBM=180°， ∴.∠ADC=∠CBM. 在△ADC和△MBC中， ∠ADC=∠MBC, ∠DAC=∠BMC, AC=MC, .△ADC≌△MBC(AAS). ∴.AD=MB ∴.AM=2AE=AB+BM=AB+ AD,即AB+AD=2AE (2)延长AB至点N,使BN=AD 连接CN. AB+AD=2AE=AB+BN= AN, ∴.易得AE=NE, 又CE⊥AN, .同理(1)，得AC=NC,∠CAE= ∠CNE. AC平分∠BAD, ∴.∠DAC=∠CAE. ∴.∠DAC=∠BNC. 在△ADC和△NBC中， (AD-NB. ∠DAC=∠BNC, AC=NC, 15 ,'.△ADC≌△NBC(SAS). .'CD=CB 11.D解析：①AD⊥BC,FG⊥ AE,.'.∠ADE=∠AMF=90° :∠AED=∠MEF,∴.∠DAE=∠F. 故①正确.②AE平分∠BAC交 BC于点E,∠EAC=3∠BAC ∴.∠DAE=90°-∠AED=90° (∠ACE+∠EAC)=90°-（∠ACE+ 7∠BAC)=2(180-2∠ACE ∠BAC)= E(∠ABD-∠ACE),即 2∠DAE=∠ABD-∠ACE.故②正 确.③：AE平分∠BAC交BC于 点E,'.点E到AB和AC的距离相 等.∴.S△Am:S△Ax=AB:CA.故 ③正确.④.∠DAE=∠F,∠FDG= ∠FME=90°，.'.∠AGH=∠MEF. ,∠MEF=∠CAE+∠ACB, '.∠AGH=∠CAE+∠ACB :'AE平分∠BAC,∴.∠CAE= ∠BAE.∴.∠AGH=∠BAE+ ∠ACB.故④正确.综上所述，正确的 有①②③④，共4个. 12.(1)EF⊥AB,∠AEF=50°， .∠FAE=90°-50°=40°. ∠BAD=100°， ∴.∠CAD=180°-∠BAD- ∠FAE=180°-100°-40°=40°. (2)如图，过点E作EG⊥AD于点 G,EH⊥BC于点H. ,∠FAE=∠DAE=40°，EF⊥BF, EG⊥AD, ∴.AE平分∠FAG,EF=EG. ,BE平分∠ABC,EF⊥BF, EH⊥BC, .EF=EH. .'EG=EH. ,EG⊥AD,EH⊥BC, ∴.DE平分∠ADC. (3):S△AD=15,S△ACD=S△ADE+ S△cDE,EG=EH, ÷2AD·G+2CD·EH=15, 即×4BG+2×8BG=15,解得 1 EG=EH=号 六BF=m=号 ·.△ABE的面积=号AB·EF= 1 G DH (第12题) 第十四章整合拔尖 [高频考点突破] 典例165 [变式]409 典例2(1)，四边形ABCD是长 方形， .AB=DC,∠B=∠C=90° E是BC的中点， .'BE=CE 在△ABE和△DCE中， (AB=DC, ∠B=∠C, BE=CE, ∴.△ABE≌△DCE(SAS). (2)由(1)，得△ABE≌△DCE, ∴.∠BAE=∠CDE. 又由长方形ABCD可知，∠BAD= ∠CDA=90°， .'.∠BAD-∠BAE=∠CDA- ∠CDE,即∠EAD=∠EDA. [变式](1)·∠BAC=∠FAG, .∠BAC-∠CAD=∠FAG ∠CAD,即∠BAF=∠CAG. 在△ABF和△ACG中， ∠BAF=∠CAG, AB=AC, ∠ABF=∠ACG, ∴.△ABF≌△ACG(ASA). (2).'△ABF2△ACG, ∴.AF=AG,BF=CG. .AB=AC,AD⊥BC, ∴.易得∠BAF=∠CAD. ∠BAF=∠CAG, ∴.∠CAD=∠CAG. 在△AEF和△AEG中， (AF=AG, ∠FAE=∠GAE, AE-AE, .'.△AEF≌△AEG(SAS) ∴.EF=EG. ∴.BE=BF+EF=CG+EG. 典例3(1)如图，延长DC至点F, 使CF=AD,连接BF ∠ABE=60°， .∠A+∠E=120. ∠ADB=∠BDC=6O, ∴∠CDE=60°. .∴.∠DCE+∠E=120° ∴.∠A=∠DCE=∠BCF. 又：AB=CB,AD=CF, .∴.△ABD≌△CBF(SAS). ,'.BD=BF,∠ABD=∠CBF :∠ABC=∠ABD+∠DBC=60, ∴.∠DBF=∠DBC+∠CBF=6O. 又：∠BDF=60, ∴.易得BF=DF. ∴.BD=DF. CF+CD=DF, ∴.AD+CD=BD (2).'BD=AD+CD,CD-=2DH, .BD-AD+2DH-AH+DH. .7=6+DH. .DH=1. (典例3图) [变式](1)如图，BE,CE分别 是∠ABC和∠BCD的平分线， .∠1=∠2，∠3=∠4. 又：ABCD, ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180°. .∴.∠2+∠3=90. .'.∠BEC=180°-∠2-∠3=90. 16 .BE⊥CE (2)如图，在BC上取点F,使BF= BA,连接EF. (BA=BF, 在△ABE和△FBE中，∠1=∠2， BE=BE, ∴.△ABE≌△FBE(SAS). .∠A=∠5. AB//CD, ∴.∠A+∠D=180°. ∴.∠5+∠D=180. :∠5+∠6=180°， .∠6=∠D. ∠6=∠D, 在△CFE和△CDE中，∠3=∠4， CE=CE, .△CFE≌△CDE(AAS). .CF=CD. BC=BF+CF, ∴.BC=BA+CD D E 5△6 B 典例4如图，过点P作PE⊥OA于 点E,PF⊥OB于点F .∠PEC=∠PFD=90 ,OM是∠AOB的平分线， .PE=PF. .∠AOB=90°，∠CPD=90°， ∴.易得∠PCE+∠PDO=360°- 90°-90°=180. ∠PDO+∠PDF=180°， ∴.∠PCE=∠PDF. 在△PCE和△PDF中， ∠PCE=∠PDF, ∠PEC=∠PFD, PE=PE. ∴.△PCE≌△PDF(AAS). .'PC=PD. A EP O DF B (典例4图)