17.2 用公式法分解因式&专题特训10 灵活选择方法分解因式-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

[(-8)×(-8-2)]2+1=802+1= 6401. 16.(1)提公因式法：2. (2)(1+x)2026 (3)1+x+x(x+1)+x(x+ 1)2+…+x(x+1)”=(1+x)[1+ x+x(x+1)+·+x(x+1)”-] (1+x)[1+x+x(x+1)+…+ x(x+1)”2]=…=(1十x)1 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式 分解因式 1.D2.D3.x(x+y)(x-y) 4号 5.(1)原式=(m+2m+3)(m 2m-3)=(3m+3)(-m-3) -3(m+1)(m+3). (2)原式=m2-8m-9+8m=m2- 9=(m+3)(m-3). (3)原式=x2(x一y)一y2(x-y)= (x2-y2)(.x-y)=(x+y)(x y)(x-y)=(x-y)2(x+y. 6.A解析：设较小的奇数为2m 1,则与之相邻的较大的奇数为2m+ 1.∴.这两个相邻奇数的平方差为 (2m+1)2-(2m-1)2=8m.∴.两个 相邻奇数的平方差能被8整除 520÷8=65,502÷8=62…6, 250÷8=31…2,205÷8=25…5, ∴.可以写成两个相邻奇数的平方差 形式的是520. 7.B8.129.10 10.17解析：：(n十17)2-n2 (n+17+n)(n+17-n)=17(2+ 17),∴.(n十17)2-n2的值总可以被 17整除.∴.k的值为17. 11.(1)原式= (321+123)×(321-123) (543-345)×(543+345) 444×1981 198×8882 (2)原式=1+2)1-2 1+2 (2+3)(2-3) 十…十 2+3 (999+1000)(999-10002=-1+ 999+1000 (-1)++(-1)=-999. 12.(m+2)2-(3m-n)2=(m+ 2n+3m-n)(m+2-3m+n)= (4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)· (2m-3m). 当4m+n=40,2m-31=5时，原 式=-40×5=-200. 13.(1)涂色部分的面积为(R2 4xr2)m2. (2).R=6.8,r=1.6, .'.涂色部分的面积为π×6.82一π× 4X1.62=π×(6.82-3.22)=π× (6.8+3.2)×(6.8-3.2)=36π(m). 14.D解析：根据题意，得第⑧个式 子为5555555552-4444444452= (555555555+444444445)× (555555555-444444445)=1.1111111× 1032 15.(1)28是“神秘数”. 28=82-62, .28是“神秘数” (2)由这两个连续偶数构造而成的 “神秘数”是4的倍数 :(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4- 4k2=8k+4=4(2k+1), 又k为非负整数， ∴.2k+1为非负整数 ∴.由这两个连续偶数构造而成的“神 秘数”是4的倍数， (3)设长方形的相邻两边长分别为 2k+2,2k,则其周长为2(2+2十 2k)=8k+4=(2k+2)2-(2k)2. .该长方形的周长一定为“神秘数” (4)由(2)，得8k+4是“神秘数” 由8k+41000,得k<124.5. ,.k的最大整数值为124 .a=8×124+4=996. 由8k+4<100,得k12. ∴.k的最大整数值为11. ∴.b=8×11+4=92. ∴.a+b=996+92=1088. 42 第2课时运用完全平方公式 分解因式 1.D2.C3.(1)2b(b-1) (2)x(x-3)24.36 5.1)原式=号a2-6ab+96) 3a-3b). (2)原式=(x一y-3)2. (3)原式=(x2-9y2)2=(x+ 3y)2(x-3y)2. 6.C7.C8.A 9-(任y-2x)月 10.40000解析：原式=1212+2× 121×79+792=(121+79)2=2002= 40000. 11.(1)原式=-[(x2+y2)2- (2xy)2]=-(x2+y2+2xy)(.x2+ y2-2xy)=-(x+y)2(x-y)2. (2)原式=9[(a-b)2-4b(a-b)+ 4b2]=9(a-b-2b)2=9(a-3b)2. 12.设x2-2x=y,则原式=y(y+ 2)+1=y2+2y+1=(y+1)2= (x2-2x十1)2=(x-1)4. 13.(1)原式=(x-y-1)2. (2)原式=(a十b)2-4(a十b)+4= (a+b-2)2. 14.(1)x2+2.xy+2y2-4y+ 4=0, .(x2+2xy+y2)+(y2-4y+ 4)=0. .(x+y)2+(y-2)2=0. ∴.x十y=0,y-2=0. ∴.x=-2,y=2. ∴.xy=-4. (2)a2+b2=10a+8b-41, .(a2-10a+25)+(b2-8b+ 16)=0. ∴.(a-5)2+(b-4)2=0. ∴.a-5=0,b-4=0. ∴.a=5,b=4. .5-4<c5+4,即1<c<9. 又c是偶数，且c是△ABC中最长 边的长， c的值为6或8. 第3课时综合运用提公因式法 与公式法分解因式 1.D2.D3.(1)3(m+1)(m 1)(2)x(y+1)(y-1)(3)a(b 1)2(4)-y(y-3x)24.-12 5.(1)原式=(2a+b+a+2b)(2a+ b-a-2b)=(3a+3b)(a-b)= 3(a+b)(a-b). (2)原式=a(x2-4x+4)=a(x一2)2 (3)原式=xy(y2-2xy+x2)= xy(y-x)2」 (4)原式=(x2十y2)2-(2xy)2 (x2+y2+2xy)(x2+y2-2.xy)= (x+y)2(x-y)2 6.C解析：a-b=3,b十c=-5, .a-b+b+c=3-5,即a+c= -2.:'ac-bc+a2-ab=c(a-b)+ a(a-b)=(a-b)(a+c)=3X (-2)=-6. 7.B解析：a2(a2一2)一2a2十4= a2(a2-2)-2(a2-2)=(a2-2)(a2- 2)=(a2-2)2≥0.a为有理数， .a2不等于2..整式≠0..整式 a2(a2-2)-2a2+4的值恒为正数. 8.C解析：(2m+3)2一1=(2n+3+ 1)(2+3-1)=(2+4)(2+2)= 4(n十2)(n+1).:n为任意整数， .(2n十3)-1既能被2整除又能被 4整除 9.(a+b+c)2 10.等腰三角形解析：b2+2ab= c&+2ac可变为b2-c2=2ac-2ab, ∴.(b+c)(b-c)=2a(c-b)..(b+ c+2a)(b-c)=0..a,b,c是 △ABC的三边长，∴.b+c+2a>0. .b-c=0..b=c.'.△ABC是等 腰三角形 11.32解析：S色=S△Ax S△=2a·a-2(a-b)·b= 2a-76+26=2a+b)2- ab.a+b=10,ab=12, 3 s48=号×10-是×12=0 1 18=32. 12.ab=-3,a+b=2, :ab+ab3=ab(a2+62)=ab[(a+ b)2-2ab]=(-3)×[2-2×(-3)]= (-3)×(4+6)=(-3)×10=-30. 13.(a2+b2-c2)2-4a2b2= (a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2 2ab)=[(a2+2ab+b2)-c2][(a2- 2ab+b2)-c2]=[(a+b)2-c2]· [(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b c)(a-b+c)(a-b-c), 又：a,b,c是△ABC的三边长， :a+b+c>0,a+b-c>0,a-6+ c>0,a-b-c<0. ∴.(a2+b2-c2)2-4a2b2=(a+b+ c)(a+b-c)(a-6+c)(a-b- c)<0. .(a2+b2-c2)2-4a2b2是负的. 14.D解析：N=5×32m+1X2” 3"X6”+8=25×3”+1×3”X2”-3”X 6"+2=25X3×3”×(3”×2”)-3”X 62×6”=3”×6”×(75一36)=39× 3”×6”.N中有一个因数是39= 3×13,∴.N是13的倍数，即13能整 除N 15.(1)设M=x+y,则原式=M· (M-4)+4=M2一4M+4=(M-2)2. 将M=x十y还原，得原式=(x十y 2)2」 (2)原式=(a-1)(a-4)(a-2)· (a-3)+1=(a2-5a+4)(a2-5a+ 6)+1. :a为正整数， ∴.(a-1)(a-4)=a2-5a+4是 整数. 设N=a2-5a+4,则N是整数. ,.原式=N(N+2)+1=N2+2N+ 1=(N+1)2. ,N为整数， .N+1为整数. ∴.(N+1)2为整数的平方. 43 '.当a为正整数时，(a一1)(a一2)· (a-3)(a一4)+1为整数的平方. 专题特训十灵活选择 方法分解因式 1.(1)原式=(5.x十y)(-x+7y). (2)原式=(m+n-3)2. 2.(1)原式=(x-1)-b2(x-1)= (x-1)(1-b2)=(x-1)(1+b)(1-b). (2)原式=-3.x3(x4-8x2+16)= -3x3(x2-4)2=-3x3(x+2)2(x-2)2. 3.原式=4xy-4x2-y2=-(4x2 4xy+y2)=-(2x-y)2. 4.(1)原式=(x2-a2)十(x+a)= (x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)· (x-a+1). (2)原式=(a.x-bx)+(a2一2ab+ b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)· (x+a-b). 5原式=+2+-= (e+2)》-2=(x+x+): (x2-x+2）月 6.设a2+2a=m,则原式=(m- 2)(m+4)+9=m2+4m-2m-8+ 9=m2+2m+1=(m+1)2=(a2+ 2a+1)2=(a+1). 第十七章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D [变式]B 典例2(x2-xy+y2)(x-y) [变式]原式=a(a-b)-2b(a b)=(a-b)(a-2b) 典例3(a-1)2 [变式](x+3y)(y-x) 典例4(1)原式=(x十7)(x-3). (2)7,-7,2,-2. [变式](1)原式=(m+7)(m-9). (2)原式=(x-3)(2x+5). 典例5.(n+1)(1+2)(n2+ 3)+1=(n2+31+2)(n2+3m)+1, .可令n2+3n=A.拔尖特训·数学（人教版）八年级上 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式分解因式 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.有下列多项式：①a2+b;②a2-b2;③一a2十 6.下列各数中，可以写成两个相邻奇数的平方 b2;④一a2-b2.其中，能用平方差公式进行 差形式的是 () 因式分解的是 () A.520B.502 C.250 D.205 A.①②B.①④C.③④D.②③ 7.已知a,b,c是三角形的三边长，则(a一b)2 2.x4一1分解因式的结果为 ( c2的值 () A.(x4+1)(x4-1) A.大于0 B.小于0 B.(x4+1)(x2-1) C.等于0 D.无法确定 C.(x2+1)(x2-1) 8.若a十b=4,a-b=1,则(a+1)2一(b一1)2 D.(x2+1)(x+1)(x-1) 的值为 3.(2023·内江)分解因式：x3-xy2= 9.已知a+b=1,则a2一b2+2b+9的值为 4若6x十3y=4,x-艺=1，则42-y= 10.若n为任意整数，且(n十17)2一n2的值总 可以被k(k为正整数，且k≠1)整除，则k 的值为 5.把下列各式分解因式： 11.利用因式分解简便计算： (1)m2-(2m+3)2. 3212-1232 (1) 5432-3452 (2)(m+1)(m-9)+8m. a++ 9992-10002 +…+999+1000 (3)x2(x-y)+y(y-x). 92 第十七章因式分解 12.(2024·无锡梁溪期中)已知4m十n=40,15.(2023·扬州期末)如果一个正整数 2m-3n=5.求(m+2n)2-(3m-n)2 能表示为两个连续偶数的平方差 的值 那么称这个正整数为“神秘数”.如 4=22-02,12=42-22,20=62-4,因此4， 12,20这三个数都是“神秘数”. (1)28是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为2k十2和2k(其中k 为非负整数)，由这两个连续偶数构造而成 的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ 13.如图，工人从一块半径为Rm的圆形板材 (3)若长方形的相邻两边长为两个连续偶 上，裁下4个半径为rm的小圆， 数，试说明其周长一定为“神秘数”， (1)求涂色部分的面积. (4)若将三位数中最大的“神秘数”记为a, (2)若R=6.8,r=1.6,求涂色部分的面积 两位数中最大的“神秘数”记为b,请写出 (结果保留π). a十b的值. (第13题) 思维拓展 14.现有一列式子：①552-452；②5552一4452； ③55552一4445；…；则第⑧个式子的计算 结果用科学记数法可表示为 () A.1.1111111×106 B.1.1111111×102 C.1.111111×106 D.1.1111111×10 93 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时运用完全平方公式分解因式 自基础进阶 (3)x4-18x2y2+81y4 1.下列各式中，能运用完全平方公式分解因式 的是 A.4x2-1 B.4x2+4x-1 C.x2-xy+y2 D-xt日 幻素能攀升 2.若4x2一(k+1)x+9能用完全平方公式分 6.(2023·周口期末)将下列多项式分解因式， 解因式，则k的值为 结果中不含有因式x十2的是 () A.±6 B.±12 A.x2-4 C.-13或11 D.13或-11 B.(x-2)2+8(x-2)+16 3.分解因式： C.x3-4.x2+4x (1)（2023·呼和浩特)2b3一4b2+2b= D.x2+2x 7.下列分解因式正确的是 () (2)(2023·宜宾)x3-6.x2+9x= A.a3-a=a(a2-1) B.-x2+4xy-4y2=-(x+2y)2 4.已知xy=2,x-3y=3,则2x3y-12x2y2十 C.x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2 18xy3= D.16x2+16.x+4=(4x+2)2 5.把下列各式分解因式： 8.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)· （方a-2ab+36. (b2一2bc+c2)=0,则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 9.分解因式：xy2-4x2 1 164 10.利用因式分解计算：121+121×158+79 (2)(x-y)2-6(x-y)+9. 11.分解因式： (1)4x2y2-(x2+y2)2. 94 第十七章因式分解 (2)9(a-b)2+36(b2-ab)+36b2. 思维拓展 14.先阅读下面的材料，再解答问题， 例题：若m2十2mm+2n2一6n+ 9=0,求m和n的值 解：.'m2+2mn十2n2-6n十9=0， ∴.m2+2mm十n2+n2-6n+9=0. 12.(2024·泰安新泰期末)下面是某同学对多 ∴.(m+n)2+(n-3)2=0. 项式(x2一4x+2)(x2-4x+6)+4进行因 ∴.m+n=0,n-3=0. 式分解的过程： ∴.m=-3,n=3. 解：设x2-4x=y, (1)若x2+2xy+2y2-4y+4=0,求xy 原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16= 的值 (y+4)2=(x2-4x+4)2=(x-2)4 (2)若a,b,c分别是△ABC的三边长，a,b 请模仿以上方法对多项式(x2一2x)(x2一 满足a2+b=10a+8b-41,c是△ABC中 2x+2)+1进行因式分解. 最长边的长，且c是偶数，求c的值 13.阅读材料： 分解因式：(x+y)2+2(x十 y)+1. 解：将“x十y”看成整体，令x十y=A,则原 式=A2十2A十1=(A十1)2.再将“A”还原， 得原式=(x+y十1)， 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想” 是数学解题中常用的一种思想方法 请你用“整体思想”解决问题： (1)分解因式：(x-y)2-2(x-y)+1. (2)分解因式：(a+b)(a+b-4)+4. 95 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第3课时综合运用提公因式法与公式法分解因式 自基础进阶 (3)xy3-2x2y2+x3y. 1.下列因式分解错误的是 A.-a2+4b2=(2b-a)(2b+a) B.2x3y-2xy3=2xy(x-y)(x+y) C.x2+6.x+9=(x+3)2 D.2mx2-4m.x+2m=2m(x+1)2 (4)(x2+y2)2-4x2y2. 2.将一3am+12an2分解因式，结果正确的是 ( A.(m+2n)(6an-3am) B.(3am+6an)(2n-m) C.a(3m+6n)(2m-m) 幻素能攀升 D.-3a(m+2m)(m-2m) 6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac 3.分解因式： bc+a2一ab的值为 () (1)3m2-3= A.-15B.-2 C.-6D.6 (2)xy2-x= 7.若a是有理数，则整式a(a-2)-2a2+4 (3)ab2-2ab+a= 的值 () (4)6xy2-9x2y-y3= A.恒大于2 B.恒为正数 4.若a+b=2,ab=-3,则a3b+2a2b2+ab C.恒为负数 D.恒等于0 的值为 8.对任意整数n,(2m十3)2-1 ( 5.分解因式： A.能被2整除，不能被4整除 (1)(2a+b)2-(a+2b)2. B.能被3整除 C.既能被2整除，又能被4整除 D.能被5整除 9.分解因式：a2+2ab+2ac+(b+c)2= 10.已知a,b,c是△ABC的三边长，b2+2ab c2+2ac,则△ABC的形状是 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= (2)a.x2-4a.x+4a. BC=a,四边形CDEF是边长为b的正方 形.如果a十b=10,ab=12,那么涂色部分 的面积为 (第11题) 96 第十七章因式分解 12.已知ab=-3,a+b=2,求a3b十 再将a一b=M还原，得到原式=(a一b一1). ab3的值. 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数 学中常用的一种思想，请你用整体思想解决 下列问题： (1)分解因式：(x+y)(x+y-4)+4. (2)求证：当a为正整数时，(a一1)(a一 2)(a-3)(a-4)+1为整数的平方. 13.若a,b,c是△ABC的三边长，判断(a2+ b2一c2)2一4a2b2的正负. 份思维拓展 14.已知N=52X32m+1X2”一3”X6"+2,则下列 各数中，能整除N的是 () A.5B.7 C.8 D.13 15.(2024·邵阳期末)先阅读材料，再 解答问题： 分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1. 解：设a一b=M,则原式=M-2M+1 (M-1)2. 97 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训十灵活选择方法分解因式 类型一公式法分解因式的题型 类型二特殊的因式分解法 (一)直接运用公式 (一)分组分解法 1.把下列各式分解因式： 4.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如 (1)4(x+2y)2-9(x-y)2. 下问题：将2a-3ab-4+6b分解因式. 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如 下的解决方法： 原式=(2a-4)-(3ab-6b) =2(a-2)-3b(a-2) (2)(m+n)2-6(m+n)+9. =(a-2)(2-3b) 【类比】(1)请用分组分解法将x2一a2+x十 a分解因式. 【挑战】(2)请用分组分解法将ax十a2-2ab bx十b2分解因式. (二)先提公因式，再运用公式 2.把下列各式分解因式： (1)(x-1)+b2(1-x). (二)拆、添项法 5分解因式：x+ (2)-3x7+24x5-48.x3. (三)换元法 (三)先展开，再运用公式 6.分解因式：(a2+2a-2)(a2+2a+4)+9. 3.分解因式：4x(y-x)-y2. 98