17.1 用提公因式法分解因式-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十七章 因式分解 17.1用提公因 自基础进阶 1.(2025·武汉黄陂期末)下列等式，从左到右 的变形，属于因式分解的是 () A.a(a+1)=a2+a B.(a+1)(a-1)=a2-1 C.a2-2a+1=(a-1)2 D.(a+1)(a-2)=a2-a-2 2.将多项式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a b)提公因式后，得到的另一个因式为（) A.x2-x+1 B.x2+x+1 C.x2-x-1 D.x2+x-1 3.(2023·黄石)分解因式：x(y-1)+4(1-y)= 4.(2025·绵阳安州期末)若长方形的长为a, 宽为b,周长为16，面积为15，则ab+ab2的 值为 5.易错题把下列各式分解因式： (1)10a4b3-15a4b2+20a3b4. (2)-8x4y+6.x3y2-2x3y. )素能攀升 6.(2023·烟台期末)将多项式m(a一3)+ m(3一a)分解因式的结果为 () A.(a-3)(m2+m)B.(a-3)(m2-m) C.m(a-3)(m-1)D.m(a-3)(m+1) 90 式法分解因式 7.已知a-b=3,b-c=-4,则a2-ac-b(a- c)的值为 () A.4B.-4C.3 D.-3 8.已知x2+x=1,则x+2x3一x2一2x的 值为 () A.-2 B.-1 C.0 D.1 9.利用因式分解计算：（一2）11十（一2）10十29= 10.设P=a2(-a+b-c),Q=-a(a2-ab+ ac),则P Q(填“>”“<”或“=”). 11.利用因式分解简便计算： (1)2025+20252-2025×2026. (2)56.2×2025-462×202.5. 12.把下列各式分解因式： (1)(9x+y)(2y-x)-(3x+2y)(x- 2y). (2)(2m+3m)(2m-n)-n(2m-n). (3)(x-2y)(x+3y)-(x-2y)2. 13.不解方程组工一3y=1 |2x+y=6, 求7y(x-3y)2 2(3y-x)3的值 14.求证：32026一4X32025十10X32024 一定能被7整除。 出思维拓展 15.新考向·数学文化(2024·张掖甘州期末) 《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时 期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化 算法.在现代，利用计算机解决多项式的求 值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法. 第十七章因式分解 例如：计算当x=8时，多项式3x3一4x2 35x十8的值，按照秦九韶算法，可先将多项 式3x3-4x2-35.x+8一步步地进行改写： 3.x3-4x2-35.x+8=x(3.x2-4x-35)+ 8=x[x(3x一4)一35]+8.按改写后的方式 计算与直接计算相比节省了乘法次数，使计 算量减少.根据上述方法，当x=一8时，多 项式x4一4x3十4x2+1的值为 () A.6401 B.6399 C.-6399 D.-6401 16.阅读因式分解的过程，再解答下列 问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1十x)3. (1)上述因式分解的方法是 ,共用 了 次 (2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x十1)2025分解因式的结果是 (3)按照上述方法分解因式：1十x+x(x+ 1)+x(x+1)2十…十x(x十1)”(n为正 整数). 912)×(1+2)×(+)×(1 )+=2×(1-)+克=2 [变式](5+1)×(5+1)×(54 1Dx6+1x6+1)+=子× (5-1)×(5+1)×(52+1)×(54+ 1Dx6+1Dx6+1D+子-× s-D+翠 典例4(1)a-b:4ab. (2)①m十n=8,mn=12, ∴.(m-n)2=(m+n)2-42=82 4×12=16. ∴.m-n=士4. ②(2m+n)2=13,(2m-n)2=5, .∴.(2m+n)2-(2m-n)2=4X2m· 2=8mn=13-5=8. .mm=1. [变式](1)(b+a)2-(b-a)2=4kb. (2)根据(1)中的结论，得(3.x+ 4y)2-(3.x-4y)2=48.xy. 3.x+4y=10,xy=2, .102-(3.x-4y)2=48X2. ∴.3x-4y=士2. (3),四边形ABCD和四边形 AEFG为正方形，且边长分别为x,y, .CD=AB=AD=BC=x,AG= AE=EF=GF=y. BE=x-y,DG=x-y. BE=4, .BE=DG=x-y=4. .(x-y)2=16,即x2-2xy+ y2=16. x2+y2=58, .2xy=42. ∴.x2+2xy+y2=42+58=100. ∴.(x+y)2=100. x>0,y>0, .x+y>0. .x+y=10. :Sam=2DG:CD= -X41= 2x,Sam=2BE·EF=× 4y=2y, ∴.S色=S△r十S△BF=2x+2y= 2(x+y)=20. [综合素能提升] 1.A2.A3.B4.A 5.A解析：.a=x一2024，b=x 2026,c=x-2025,∴.a=c+1,b c-1.a2+b2=56,∴.(c+1)2+ (c-1)2=56...c2=27. 6.-1或2或37.-128.2025 或2023 9.D解析：.b=275=(33)5=35, c=9=(32)7=34,.214<3435. ..b>c>a. 10.x+1x+7x+8(x+1)· (x+7)-x(x+8)7 11.(1)根据题意，得2(x一a)(x+ b)=2x2+2bx-2a.x-2ab=2x2+ (2b-2a).x-2ab=2.x2+6.x-36, (x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab= x2+(a+b)x+ab=x2+9x+18. '.2b-2a=6,a+b=9,解得a=3, b=6. (2)把a=3,b=6代人，得2(x十 3)(x+6)=2.x2+12.x+6.x+36= 2.x2+18.x+36. 12.(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+ 5ab+2b2. (2)答案不唯一，如图①所示. (3)恒等式为(a+2b)(a+b)=a2+ 3ab+2b2,如图②所示（答案不唯一）. b ab b2 b2 b2 a ababab a bbb ① abab a a B2B ab b bb a ② (第12题) 第十七章 因式分解 17.1用提公因式法分解因式 1.C2.B3.(y-1)(x-4) 41 4.120 5.(1)原式=5a3b2(2ab-3a+4b2). (2)原式=-2x3y(4x-3y+1). 易错警示 分解因式时漏项或弄错符号 (1)当多项式的第一项的系数 为负数时，一般先提出负号，提出 负号后，括号内的各项都要变号. (2)分解因式时不要漏项」 6.C7.D 8.B解析：x2十x=1,.x4十 2x3-x2-2x=x4+x3+x3-x2- 2x=x2(x2+x)+x3-x2-2x= x2+x3-x2-2.x=x(x2+x)-x2 2x=x-x2-2x=-x2-x=-(x2+ x)=-1. 9.-29解析：(-2)11+(-2)10+ 299=-210+2100+299=29(一22+ 2+1)=-299. 10.=解析：P=a2（一a十b c)=-a2(a-b+c),Q=-a(a2 ab+ac)=-a2(a-b+c),..P=Q. 11.(1)原式=2025×(1+2025 2026)=2025×0=0. (2)原式=562×202.5-462×202.5= 202.5×(562一462)=202.5×100= 20250. 12.(1)原式=3(4x+y)(2y-x. (2)原式=2(m+n)(2m一n). (3)原式=5y(x-2y). 13.原式=(x-3y)2[7y+2(x 3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)= (x-3y)2(2x+y). 2.x+y=6, 把 代人，得原式=1× x-3y=1 6=6. 14.3226-4X3225+10X3224= 3224×(32-4X3+10)=3224X7,且 32吧4为整数， ∴.32026-4X3225+10X32024一定能 被7整除。 15A解析：x=一8，∴.x4 4x3+4x2+1=x2(x2-4x+4)+1= x2(x-2)2+1=[x(x-2)]2+1= [(-8)×(-8-2)]2+1=802+1= 6401. 16.(1)提公因式法：2. (2)(1+x)2026 (3)1+x+x(x+1)+x(x+ 1)2+…+x(x+1)”=(1+x)[1+ x+x(x+1)+·+x(x+1)”-] (1+x)[1+x+x(x+1)+…+ x(x+1)”2]=…=(1十x)1 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式 分解因式 1.D2.D3.x(x+y)(x-y) 4号 5.(1)原式=(m+2m+3)(m 2m-3)=(3m+3)(-m-3) -3(m+1)(m+3). (2)原式=m2-8m-9+8m=m2- 9=(m+3)(m-3). (3)原式=x2(x一y)一y2(x-y)= (x2-y2)(.x-y)=(x+y)(x y)(x-y)=(x-y)2(x+y. 6.A解析：设较小的奇数为2m 1,则与之相邻的较大的奇数为2m+ 1.∴.这两个相邻奇数的平方差为 (2m+1)2-(2m-1)2=8m.∴.两个 相邻奇数的平方差能被8整除 520÷8=65,502÷8=62…6, 250÷8=31…2,205÷8=25…5, ∴.可以写成两个相邻奇数的平方差 形式的是520. 7.B8.129.10 10.17解析：：(n十17)2-n2 (n+17+n)(n+17-n)=17(2+ 17),∴.(n十17)2-n2的值总可以被 17整除.∴.k的值为17. 11.(1)原式= (321+123)×(321-123) (543-345)×(543+345) 444×1981 198×8882 (2)原式=1+2)1-2 1+2 (2+3)(2-3) 十…十 2+3 (999+1000)(999-10002=-1+ 999+1000 (-1)++(-1)=-999. 12.(m+2)2-(3m-n)2=(m+ 2n+3m-n)(m+2-3m+n)= (4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)· (2m-3m). 当4m+n=40,2m-31=5时，原 式=-40×5=-200. 13.(1)涂色部分的面积为(R2 4xr2)m2. (2).R=6.8,r=1.6, .'.涂色部分的面积为π×6.82一π× 4X1.62=π×(6.82-3.22)=π× (6.8+3.2)×(6.8-3.2)=36π(m). 14.D解析：根据题意，得第⑧个式 子为5555555552-4444444452= (555555555+444444445)× (555555555-444444445)=1.1111111× 1032 15.(1)28是“神秘数”. 28=82-62, .28是“神秘数” (2)由这两个连续偶数构造而成的 “神秘数”是4的倍数 :(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4- 4k2=8k+4=4(2k+1), 又k为非负整数， ∴.2k+1为非负整数 ∴.由这两个连续偶数构造而成的“神 秘数”是4的倍数， (3)设长方形的相邻两边长分别为 2k+2,2k,则其周长为2(2+2十 2k)=8k+4=(2k+2)2-(2k)2. .该长方形的周长一定为“神秘数” (4)由(2)，得8k+4是“神秘数” 由8k+41000,得k<124.5. ,.k的最大整数值为124 .a=8×124+4=996. 由8k+4<100,得k12. ∴.k的最大整数值为11. ∴.b=8×11+4=92. ∴.a+b=996+92=1088. 42 第2课时运用完全平方公式 分解因式 1.D2.C3.(1)2b(b-1) (2)x(x-3)24.36 5.1)原式=号a2-6ab+96) 3a-3b). (2)原式=(x一y-3)2. (3)原式=(x2-9y2)2=(x+ 3y)2(x-3y)2. 6.C7.C8.A 9-(任y-2x)月 10.40000解析：原式=1212+2× 121×79+792=(121+79)2=2002= 40000. 11.(1)原式=-[(x2+y2)2- (2xy)2]=-(x2+y2+2xy)(.x2+ y2-2xy)=-(x+y)2(x-y)2. (2)原式=9[(a-b)2-4b(a-b)+ 4b2]=9(a-b-2b)2=9(a-3b)2. 12.设x2-2x=y,则原式=y(y+ 2)+1=y2+2y+1=(y+1)2= (x2-2x十1)2=(x-1)4. 13.(1)原式=(x-y-1)2. (2)原式=(a十b)2-4(a十b)+4= (a+b-2)2. 14.(1)x2+2.xy+2y2-4y+ 4=0, .(x2+2xy+y2)+(y2-4y+ 4)=0. .(x+y)2+(y-2)2=0. ∴.x十y=0,y-2=0. ∴.x=-2,y=2. ∴.xy=-4. (2)a2+b2=10a+8b-41, .(a2-10a+25)+(b2-8b+ 16)=0. ∴.(a-5)2+(b-4)2=0. ∴.a-5=0,b-4=0. ∴.a=5,b=4. .5-4<c5+4,即1<c<9. 又c是偶数，且c是△ABC中最长