16.1 幂的运算-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

∠EMN的大小是90°. E A E D N衣 D (第4题) 5.7006.3 7.60°解析：如图，作点M关于OB 的对称点M,点N关于OA的对称 点N,连接M'N',交OA于点Q,交 OB于点P,此时MP+PQ+QN的 值最小，即为M'N的长.易得 ∠OPM=∠OPM'=∠QPN= 2∠M'PM,∠OQP=∠AQN'= ∠AQN=g∠NQN.·∠QPN 3∠MrPM=2(Is0-∠MPQ) gX(180-a.:∠QPN- ∠AOB+∠OQP=∠AOB+ 2∠NQN=∠A0B+3(180 ∠PQN)=30°+7×(180°-B, ×(180-a)=30+号× (180°一3).整理，得3-a=60°. 水 0 P 2 M' (第7题)》 8.如图，作点P关于OX的对称点 A,关于OY的对称点B,连接AB,交 OX,OY于点M,N,则M,N两点即 为所求. M P N B (第8题) 9.如图，A→C→D·B是他走的最 短路线，点C,D分别为羊吃草、羊饮 水处 E C 草地 (吃草) (饮水)八4B 小河DF (第9题) 10.如图，过点C作CM⊥AB,交AB 于点M,交AD于点P,过点P作 PQ⊥AC于点Q. ,AD是∠BAC的平分线， ∴.PQ=PM,此时PC十PQ有最小 值，即为CM的长 :∠ACB=90°，CM⊥AB, AB·CM=AC·BC 又.'AC=6,BC=8,AB=10, CM-AC-华，即PC+Q AB 的最小值为酷 M (第10题) 11.存在. 如图，作点A关于x轴的对称点A', 连接A'C,则A'C与x轴的交点即 为D B(2,4) 2 1A(1,2) 1 D,℃(4,1) 0 了234x -1 -2 A (第11题) 12.如图，分别过点A,B作河岸的一 边CM,CN的垂线，并截取AF= BG=河宽，连接FG分别与河岸的另 一边CM',C'N'相交于点D',E',过 点D'作D'D⊥C'M交CM于点D, 34 过点E'作E'E⊥C'N'交CN于点E, 连接AD,BE 此时从点A到点B的路径中，路径 A→D→D'>E'→E→B最短. .桥架在DD',EE的位置 北 F D -M C D -M E (第12题) 第十六章 整式的乘法 16.1幂的运算 第1课时同底数幂的乘法 1.C2.A3.2 4.(1)原式=a5+a7-a7=a5. (2）)原式=2+1-2+1+4=4. (3)原式=(b-a)2·(b-a)3+(b a)4·(b-a)=(b-a)5+(b-a)5= 2(b-a)5. 方法归纳 运用同底数幂的乘法法则 时的两个注意点 (1)当幂的指数为1时，“1”常 省略不写，不要误认为没有指数或 指数为0. (2)当计算同底数幂的乘法 时，必须注意判断各个因式的底数 是否相同，当底数互为相反数时， 必须先转化为同底数幂的形式，再 运用法则进行计算， 5.原式=23×2”+1X23×2”-1= 23+n+D+3+n-D=22+6. 6.C7.C8.a+b=c9.(1)3 (2)125(3)4 10.40解析：x·xm·x”= x1+m+"=x4,∴.1十m十n=14,即 m+n=13.又.m-n=3, m+n=13, m=8, 解得 .= m-n=3, n=5. 8×5=40. 11.(1)23x+1=128=22, .3x+1=7,解得x=2. (2):x2a+b·x-b.x4= T2a+b+a-bta=26a=Z12, ∴.6a=12,解得a=2. 、-a224+22=-2224+22025= 22024 12.(1)3. (2)(3,5)=a,(3,6)=b,(3, 30)=c, ∴.34=5,3=6,3=30. .34×3=30 ∴.3×3=3. '.a+b=c. 13.(1)令S=2+22+23+…+ 2100①. 将等式两边同时乘2，得2S=22+ 23+…+2101②. ②-①，得S=211-2. (2)4+12+36+…+4×340=4× (1十3+32+33+…+30). 令S=4×(1+3+32+33+…+ 340)①. 将等式两边同时乘3，得3S=4× (3+32+33++31)②. ②-①，得2S=4X(31-1). .S=2×(31-1). 4.)号 解标：么1=号 h(m+n)=h(m)·h(n),'.h(2) n1+1)=2x2=4 339 (2)k”+205解析：：h(1)=k(k≠ 0),h(m+n）=h(m)·h(n), .h(n)·h(2025)=k”·k2025= k”+2025 15.(1)2:4:6. (2)log24+log216=log264. (3)log.(MN). (4)am=M,a”=N, .∴.logM=m,logN=n MN=am·a”=am+", .∴.m+n=log(MN). .'log M++log N=log (MN) 第2课时幂的乘方与积的乘方 1.A2.D3.B4.12 5.(1)原式=x9·x4-x4· (-x9)=x13+x13=2.x13 (2)原式=x8十x8-x8-x8=0. 一易错警示 计算幂的乘方时易因符号 问题而出错 运用幂的乘方公式进行计算 时，要特别注意符号问题，负数的奇 次幂为负数，负数的偶次幂为正数 60原式=-，-名， (2)原式=64a6-9a5+(-4a2)3= 64a6-9a6-64a6=-9a. 7.B解析：a=25=(25)1= 321,b=34=(34)1=81”,c=433 (43)11=64,d=52=(52)1=251, 而251<3211<641<81”，.d< a<c<b 8.D 9.(1)20 (2)25 解析：：a=5,b=- 51 .a2m+2·b2m·b=(ab)2m+2·b2 [5x(】”×()广=云 10.2x+y=3x解析：4=6， 2=8,8=48,∴.4X2'=8. 22X2=23..24+y=23. ,.2x+y=3z. 11.10解析：274×9=81， .(33)×(32)=34.∴.3X30= 3..33a+w=34..3a十2b=4. ∴.2b=4-3a.a≥2b,.a≥4- 3a,解得a≥1.∴.8a十4b=2a+2· (3a+2b)=2a+8.'.当a=1时， 8a+4b的最小值为2+8=10. 12.(1)原式=a6m十b3m-am· b=(a3m)2+b3m-(a3m)2·b3. 当a3m=3,b3”=2时，原式=9十2 9×2=-7 (2).(16a3)2× ()=5, .256a×25 =5. 35 .ai=5. .a12=(a5)2=52=25. 13.当n为大于2的奇数时，原 式=-a2-4·(-an+3)·a十a”· (-a2m十a2m)=a2-4+3m+3+1=a. 当n为大于2的偶数时，原式= a2m-4·(-a3m+3)·a十a3m·(a如+ a2m）=-a2-4+3m+3+1十2a5m= -a"+2an=a". 综上所述，原式=a". 14.设2=5=10=k,则10 2地X5=(2“)X(5)4=k·k“= ka+b,10r+=(10)a+b=ka+b. .10=104+」 .∴.ab=ac+bc. 15.(1)1:4. (2)①D(a3)=D(a2·a)= D(a2)+D(a)=D(a·a)+D(a)= D(a)+D(a)+D(a)=1+1+1=3. ②D(15)=D(3X5)=D(3)+ D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a- b+c. D(停)=D(5)-D3)=(a+c) (2a-b)=-a+b+c. D(108)=D(3×3X3×2×2)= D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+ D(2)=3×D(3)+2×D(2)=3× (2a-b)+2×1=6a-3b+2. D(3)=D(27)-D(20)=D(3× \20/ 3×3)-D(5×2×2)=D(3)+ D(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+ D(2)]=3×D(3)-[D(5)+ 2D(2)]=3×(2a-b)-(a+c+2× 1)=6a-3b-a-c-2=5a-3b c-2. 16.2整式的乘法 第1课时单项式与单项式相乘 1.B2.B3.C4.81x1"y6 5.3.6×1013 6.-2x3m+1y如·4x”6y3m= -8x3n+n-5y2m-3-m,一2.x3m+1y2如与 4x”6y3”的积和一4xy是同第十六章 整式的乘法 16.1幂的运算 第1课时 同底数幂的乘法 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.计算(-2)×(-2)2×(-2)3的结果是( 6.(2025·厦门思明期中)若2+1=16，则a的 A.-64 B.-32 值为 () C.64 D.32 A.7 B.4 C.3 D.2 2.当a<0,n为正整数时，（一a)5·(一a)2m的 7.(2024·邢台期末)若2”·2”=2”+2”十2”十 值为 () 2”,则n的值为 () A.正数 B.负数 A.0 B.1 C.2 D.4 C.非正数 D.非负数 8.已知24=3,2=6,2=18，则a,b,c之间满 3.已知xm+”·xm-"=x4,则m= 足的等量关系是 4.*计算： 9.(1)若4=16,4'=4，则x+y= (1)a2·a3-(-a3)·a4+a6·(-a). (2)若3x十y=3,则53xX5= (3)若2a+b=112,2=7,则b= 10.(2024·聊城冠县期中)若x·x"·x"=x1 (x≠1)，且m比n大3，则m的值为 (2)22m+1-2X22m+4. 11.(1)已知2x+1=128,求x的值. (2)已知x2a+b·xa-b·x=x2 求-a2021+22025的值. (3)(a-b)2·(b-a)3+(a-b)4·(b-a). 5.计算：(8X2+1)×(8X2”-1). 68 第十六章整式的乘法 12.(2024·盐城东台期中)如果a=b,那么我 罚思维拓展 们规定(a,b)=c,例如：，23=8，∴.(2， 14.我们知道，同底数幂的乘法法则为am· 8)=3. a"=am+"(其中a≠0，m,n为正整数)，类 (1)根据上述规定，填空：(3,27)= 似地，我们规定关于任意正整数m,n的一 (2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求 种新运算：h(m十n)=h(m)·h(n).请根 证：a十b=c. 据这种新运算填空： 若D-号则A2 (2)如果h(1)=k(k≠0)，那么h(n)· h(2025)= (用含n和k的代数式 表示，其中n为正整数) 15.一般地，若a”=b(a>0且a≠1， b>0),则n叫作以a为底b的对 数，记为logb(即logb=n).如 34=81,则4叫作以3为底81的对数，记为 1og381(即log381=4) 13.阅读材料： (1)计算以下各对数的值：1og4= 求5十52+53+…十5100的值 1og216= ;log264= 解：令S=5+52+53+…+51①. (2)写出(1)中1og24,1og216,1og264之间满 将等式两边同时乘5，得5S=5+53+ 足的关系式： 54+…+5101②. (3)由(2)的结果，请你归纳出一个一般性 ②-①，得4S=511-5. 的结论：logM+logN= (a>0且 S=5-5 a≠1，M>0,N>0) 4 (4)设am=M,a”=N,请根据幂的运算法 根据材料，求： 则以及对数的定义说明(3)中结论的正 (1)2+22+23+…+210的值， 确性。 (2)4+12+36+…+4×30的值. 69 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时幂的乘方与积的乘方 自基础进阶 (2)(-2a)5-(-3a3)2+[-(2a)2]3. 1.下列各式中，结果等于xm+3的是 A.(x3)m+1 B.x·(xm)3 C.(x3)m·x D.(x2m+1)2 2计-号) 的结果是 8 A.-2x6y3 B.27ty 幻素能攀升 7.已知a=25,b=34,c=433,d=52,则这四 Cy y D. 个数按从小到大的顺序排列是 () 3.已知2m=5,3m=2,则6m的值为（ A.a<b<c<d B.d<a<c< A.7B.10 C.25D.32 C.a<d<c<b D.b<c<a<d 4.已知9”=3,27"=4，则32m+3m= 8.如果(am·b·a·b")5=a1b5,那 5.易错题计算： 么3m(n2+1)的值为 () (1)-(-x3)3·(-x2)2-x4·(-x3)3. A.0 B.8 C.12 D.15 9.（1)已知a2"=2,则(2a)2一3(a2)2的值为 (2)已知a=5,b=- 5,n为正整数，则 (2)(x4)2+(x2)4-x(x2)2·x3-(-x)3· a2m+2·b2·b4的值为 (-x2)2·（-x). 10.已知4=6,2=8,8=48，则x,y,2之间 满足的等量关系是 11.已知27×9=81，且a≥2b,则 8a+4b的最小值为 12.（1)已知a3m=3,b3"=2,求(a2m)3十 (b")3一a2m·b”·am·b2的值. 6.计算： 70 第十六章整式的乘法 (2)已知(16a3)×()=5,求a的值 思维拓展 15.(2025·沈阳期中)定义：如果2m=n(m,n 为正数)，那么我们把m叫作n的D数，记 作m=D(n). (1)填空：D(2)= ,D(16)= (2)已知D数有如下运算性质：D(s·t)= D)+D):D(号） =D(g)-D(p),其中 q>p.根据运算性质，解决下列问题： ①若D(a)=1,求D(a3). ②若D(3)=2a-b,D(5)=a+c,试求 13.化简：(-a2)”-2·(-a+1)3·a十am· [(-a2)”+(-a”)2](n为大于2的正 D15).D(),D(10s).D贸的值（用含 整数). a,b,c的代数式表示). 14.已知2=5=10，求证：ab=ac十bc. 7列