第15章 轴对称 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第十五章整合拔尖 知识体系构建 轴对称 相关概念 轴对称 轴对称图形 有关性质 成轴对称的两个图形全等 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分 成轴对称的两个图形的对称轴的画法 线段的垂直平分线定义 性质 判定 互逆命题与互逆定理 画轴对称的 方法 画出图形中的一些特殊点的对称点，连接这些对称点 图形 横坐标不变，纵坐标互为相反数 用坐标表示轴对称 关于x轴对称 轴对称 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标互为相反数 定义 等腰三角形 有两边相等的三角形 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 等腰三角形的判定，等角对等边 定义。三边都相等的三角形 等边三角形 等边三角形的性质三个内角都相等，每一个角都等于60° 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 含30°角的 那么它所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形 62 第十五章轴对称 [91高频考点突破 考点一轴对称的性质 考点三等腰三角形的性质与判定 典例1如图，△ACD和△ECB 典例3(2025·金华义鸟段考)如图，在△ABC 分别与△ACB成轴对称，对称轴 A、 中，∠B=∠C,点D在BC上，点E在AC上， 分别是直线AC,BC.如果AD1 连接AD,DE且∠ADE=∠AED.当点D在边 BE,那么∠DCE的度数为 (典例1图) BC(不与点B,C重合)上运动时，且点E在边 AC上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并 [变式]如图，分别以△ABC的边AB,AC所在 加以证明. 的直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD 和△AEC,∠BAC=150°，线段BD与CE相交 于点O,连接BE,ED,DC,OA.有下列结论： ①∠EAD=90°：②∠BOE=60°：③OA平分 B D (典例3图) ∠BOC;④BP=EQ.其中，正确的是 (填序号). 考点二线段垂直平分线的性质 典例2如图，M是线段AD,CD的垂直平分线 的交点，AB⊥BC,∠D=65°，则∠MAB+ ∠MCB的度数是 () B (典例2图) A.120° B.130° C.140 D.160° [变式]如图，在四边形ABCD中，AE,AF分别 是BC,CD的垂直平分线，∠EAF=75°， [变式](2025·鸟鲁木齐新市期中)如图，在 ∠CBD=35°，则∠ADC的度数为 ( △ABC中，AC=BC,∠ACB=120°，点D在边 AB上运动（不与点A,B重合），连接CD,作 ∠CDE=30°，DE交AC于点E. (1)当DEBC时，△ACD按角分类是 A.55°B.60°C.80° D.100° 63 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 (2)在点D运动的过程中，△ECD可以是等腰与AE交于点K.若AK=EK,求证：CG= 三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若 2CE. 不可以，请说明理由。 ① ② 考点五最值问题 考点四等边三角形的性质与判定 典例5(2025·盐城射阳段考)如图，在△ABC 典例4如图，△ABC是等边三角形，延长BC 中，AB=AC=8cm,AB的垂直平分线交AB 于点N,交AC于点M,连接MB,△MBC的周 到点E,使CE=BC,D是边AC的中点，连接 长是14cm. ED并延长，交AB于点F. (1)求BC的长. (1)若AF=3,求AD的长. (2)在直线MN上是否存在点P,使PB+CP (2)求证：DE=2DF. 的值最小？若存在，直接写出PB十CP的最小 值；若不存在，请说明理由. (典例4图) (典例5图) [变式]如图，在四边形ABCD [变式]如图①，△ABC是等边三角形，D为BC 的中点，连接AD,AE平分∠DAC,交BC于点 中，∠ABC=60°，BD平分 E,点F在△ABC外，连接FE,BF,AF,且 ∠ABC,∠BCD>∠CBD, BF∥AC,∠AFB=∠AEC. BC=24,P,Q分别是BD,BCBQ (1)求∠FAE的度数. 上的动点，则当CP+PQ取得最小值时，BQ的 (2)如图②，G是AC上一点，连接EG,GF,GF 长是 64 第十五章轴对称 综合素能提升 1.(2023·秦皇岛期末)如图所示为钝角三角形 2,则CF=4;④若∠CBD=40°，则∠EDC= ABC,按以下步骤进行尺规作图，并保留作图 10°.其中，正确的是 (填序号). 痕迹.步骤1：以点C为圆心，CB长为半径画 弧；步骤2：以点A为圆心，AB长为半径画弧， 两弧交于点D;步骤3：连接BD,交AC的延 长线于点E.下列叙述中，正确的是( A.BC平分∠ABD D (第5题) (第6题) B.AB=BD 6.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AE为边BC C.AE-BD 上的高.若BE=1,AB=4,则BC的长为 A D.BE=DE (第1题) 2.在等腰三角形ABC中，AD是△ABC的高. 7.(2024·眉山东坡期末)如图，在等边三角形 若AD-BC,则△ABC的底角的度数为 ABC中，AD为边BC上的高，点M,N分别 在AD,AC上，且AM=CN,连接BM,BN.当 BM+BN的值最小时，∠MBN= A.15°或45° B.30°或90° C.30°或60°或90°D.15°或45°或75 3.如图，△ABC的三条高相交于点G,CH是 △ABC的角平分线，CH与BE相交于点I, B AD与CH相交于点J,∠ABC=45°，∠ACD= (第7题) 8.如图，在△ABC中，点D,E在边 60°，则图中的等腰三角形共有 ( AB上，且分别在AC,BC的垂直平 A.5个B.6个C.7个D.8个 分线上 (1)若△CDE的周长为4，求AB的长 (2)若∠ACB=100°，求∠DCE的度数. (3)若∠ACB=x(90°<x<180°)，求∠DCE D E D (第3题) (第4题) 的度数 4.如图，在△ABC中，AC=BC,AB= 6,△ABC的面积为12，CD⊥AB于 点D,直线EF垂直平分BC,交AB D E 于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一 (第8题) 个动点，则△PBD的周长的最小值是() A.6B.7 C.10 D.12 5.如图，△ABC是等边三角形，BD=CD,E是边 AC上的点，DE∥AB,与BC交于点F.有下列 结论：①连接AD,则AD垂直平分线段BC; ②△CEF是等边三角形；③若AB=8,CE= 65cN=C+BN=1+号号. .CD=2CN=3. ① /B M E ② (第7题) 第十五章整合拔尖 [高频考点突破] 典例145°解析：如图，设AD与 BE的交点为O.△ACD和△ECB 分别与△ACB成轴对称，∴.∠BAC= ∠DAC,∠ABC=∠EBC.由三角形 内角和定理，得∠AOB+∠BAD+ ∠ABE=180°.，AD⊥BE,即 ∠AOB=90°，.∠BAD+∠ABE= 90.∴.∠BAC+∠ABC=45°. .∠ACB=180°-45°=135°.∴.易 得∠ACB=∠ACD=∠BCE=135. ∴.∠DCE=135°×3-360°=45. (典例1图) [变式]①②③ 典例2C解析：如图，过点M作射 线DN.,M是线段AD,CD的垂直 平分线的交点，.AM=DM,CM DM.'.∠DAM=∠ADM, ∠DCM=∠CDM.∴.∠MAD+ ∠MCD=∠ADM+∠CDM= ∠ADC=65°.∴.∠AMC= ∠AMN+∠CMN=∠MAD+ ∠ADM+∠MCD+∠CDM=65°+ 65°=130°.AB⊥BC,.∠B= 90°..'.∠MAB+∠MCB=360°- ∠B-∠AMC=360°-90°- 130°=140. (典例2图) [变式]A解析：连接AC.:AE, AF分别是BC,CD的垂直平分线 AB=AC=AD.:AF⊥DC, AE⊥BC,∴.∠CAF=∠DAF, ∠CAE=∠BAE.∴.易得∠DAB= 2∠EAF=150.∴.∠ABD=∠ADB= (180°-150)÷2=15..∠ABC= ∠ACB=∠CBD+∠ABD=35°+ 15°=50°.在四边形AECF中， ∠FCE=360°-90°-90°-75°= 105°，.∠ACD=105°-50°=55. .∠AIDC=∠ACD=55. 典例3∠BAD=2∠CDE. 设∠B=x,∠ADE=y, :∠B=∠C, .∠C=x. ∠AED=∠ADE, '.∠AED=y. ∴.∠CDE=∠AED-∠C=y-x, ∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 180°-2y. .∠BAD=180°-∠B-∠C ∠DAE=180°-x-x-(180° 2y)=2(y-x). ∴.∠BAD=2∠CDE. [变式](1)直角三角形. 解析：，在△ABC中，AC=BC, ·∠A=∠B=180°-∠ACB 2 180-120=30°.DE∥BC, 2 .∴.∠ADE=∠B=30°.又.·∠CDE 30°，∴.∠ADC=∠ADE+∠CDE= 30°+30°=60°..∠ACD=180°- ∠A-∠ADC=180°-30°-60°= 90..△ACD是直角三角形 (2)△ECD可以是等腰三角形. 31 分三种情况讨论： ①当∠CDE=∠ECD时，ED=EC, .∴.∠ECD=∠CDE=30 ,∠AED=∠ECD+∠CDE, .∠AED=60. ②当∠ECD=∠CED时，CD=DE, :∠ECD+∠CED+∠CDE=180°， ∠CED= 180°-∠CDE 2 180°-30 =75 2 .∠AED=180°-∠CED=105. ③当∠CED=∠CDE时，FC=CD, ∠ACD=180°-∠CED-∠CDE= 180°-30°-30°=120° ∠ACB=120°， '.此时点D与点B重合，不合题意 综上所述，△FCD可以是等腰三角 形，此时∠AED的度数为60°或105， 典例4(1)，△ABC是等边三 角形， .AC=BC,∠A=∠ACB=60. D是边AC的中点， 1 ·.CD=AD=2AC. CE-BC ∴.CE=CD. ∴.∠E=∠CDE '∠ACB=∠E+∠CDE, '.∠E=∠CDE=30°. ∴.∠ADF=∠CDE=30. ∠A=60, ∴.∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90° AF=3, ∴.AD=2AF=6. (2)连接BD. ,△ABC是等边三角形，D是边AC 的中点， .BD平分∠ABC,∠ABC=60° ∴.∠DBC=∠ABD= ∠ABC= 30° ∠BFD=180°-∠AFD=90°， .'BD=2DF. .∠DBC=∠E=30°， .'BD=DE .DE=2DF. [变式](1)，'△ABC是等边三 角形， ∴.∠C=∠BAC=60°，AB=AC. BF∥AC, .∠ABF=∠BAC=60°. .∠ABF=∠C=60. 在△ABF和△ACE中， ∠AFB=∠AEC, ∠ABF=∠C, AB=AC, ∴.△ABF≌△ACE. ∴.∠BAF=∠CAE,AF=AE. ∴.∠FAE=∠BAF+∠BAE= ∠CAE+∠BAE=∠BAC=6O°. (2)由(1)，可知AF=AE, ∠FAE=60. ∴.△AFE是等边三角形 ∴.∠AFE=60°，AF=EF. AK=EK, ∴.∠AFG=∠EFG=30°，FK⊥AE. 在△AFG和△EFG中， AF=EF, ∠AFG=∠EFG, FG-FG, ∴.△AFG≌△EFG. ∴.∠AGF=∠EGF ,△ABC是等边三角形，D为BC的 中点， ·∠DAC=7∠BAC=30 :AE平分∠DAC, 1 ·∠CAE=2∠DAC=15°， FK⊥AE, ∴.∠AGF=90°-∠CAE=90°- 15°=75° ,∴.∠AGF=∠EGF=75° ∴.∠CGE=180°-（∠AGF+ ∠EGF)=30°. 又，∠C=60, ∴.∠CEG=180°-∠C-∠CGE= 90°. 在Rt△CEG中，∠CGE=30°， .CG=2CE. 典例5(1).·MN垂直平分AB, ∴.MB=MA 又·△MBC的周长是14cm, .BM+CM+BC=AM+CM+ BC=AC+BC=14 cm. .AB=AC=8 cm, .∴.BC=6cm. (2)存在. 当点P与点M重合时，PB+CP的 值最小，最小值是8cm. [变式]12 [综合素能提升] 1.D2.D 3.D解析：①AD⊥BC, ∠ABC=45°，∴.易得△ABD是等腰 三角形.②，·CF⊥AB,∠ABC= 45,∴.易得△BCF是等腰三角形. ③，∠ACB=60°，∴.∠CBE= 90°-60°=30°.，CH是△ABC的角 平分线，∴.∠BCH=∠ACH= 7乙ACB=30.·∠CBI=∠1CB .△BCI是等腰三角形. ④∠ACB=60,∴.∠CAD= 90°-60°=30°.∴.易得∠ACJ= ∠CAJ=30°.∴.△ACJ是等腰三角 形.⑤：∠ACF=60°-45°=15， .∠CAF=90°-15°=75. ∴.∠AHC=∠ABC+∠BCH= 45°+30°=75°...∠CAH= ∠CHA=75°...△ACH是等腰三 角形.⑥∠GCD=45°，∠GDC= 90,.∠DGC=45°..∠GCD= ∠DGC.∴.△CDG是等腰三角形. ⑦，∠GIJ=∠EBC+∠HCB= 30°+30°=60°，∠GJI=∠CJD= 90°-30°=60°，∴.∠GIJ=∠GJ1= 60°.∴.△GJ是等腰三角形. ⑧.'∠FAG=∠CAH-∠CAD= 75°-30°=45°，∠FGA=∠DGC= 45°，.∠FAG=∠FGA..△AFG 是等腰三角形.综上所述，图中的等腰 三角形共有8个. 32 4.B5.①② 6.6解析：如图，在CE上截取 EF=BE=1,连接AF.AE⊥BF, .易得AB=AF=4..∠B= ∠AFB.,∠AFB=∠C+∠CAF, .∠B=∠C+∠CAF.∠B= 2∠C,∴.∠C=∠CAF.∴.CF= AF=4..'.BC=BE+EF+CF=6. BE F C 第6题) 7.30°解析：如图①，过点C作 CH⊥BC,使得CH=BC,连接NH, BH.,△ABC是等边三角形，AD⊥ BC,CH⊥BC,∴.∠DAC=∠DAB= 30,AD∥CH.∴.∠HCN=∠CAD= ∠BAM=30°.：AM=CN,AB= BC=CH,∴.△ABM≌△CHN. .BM=HN.BN+HN≥BH, .当B,N,H三点共线时，BM+ BN=NH+BN的值最小.如图②， 当B,N,H三，点共线时，△ABM≌ △CHN,∴.易得∠ABM=∠CHB= ∠CBH=45°.∠ABD=60°， '.∠DBM=∠ABD-∠ABM= 60°-45°=15°..∴.∠MBN= ∠CBH-∠DBM=45°-15°=30°. ∴.当BM+BN的值最小时， ∠MBN=30. M D ① M D ② (第7题) 8.(1)点D,E分别在AC,BC的 垂直平分线上， ∴.DC=DA,EC=EB :△CDE的周长=DC+DE+ EC=4, .DA十DE+EB=4,即AB的长为4 (2)∠ACB=100°， .∠A+∠B=80° DC=DA, .∠DCA=∠A. ·EC=EB, .∠ECB=∠B .∠DCA+∠ECB=80° ∴.∠DCE=100°-80°=20°. (3):∠ACB=x, ∴.∠A+∠B=180°-x. 'DC=DA, .∠DCA=∠A. EC=EB, ∴.∠ECB=∠B. ∴.∠DCA+∠ECB=180°-x. ..∠DCE=x-(180°-x)=2x- 180°. 综合与实践最短路径问题 1.D解析：如图，连接AD,AM. ,AB=AC,D为边BC的中点， ·AD⊥BC,CD=合BC=2 Sa=号·AD=号X4X AD=20,解得AD=10.:EF是线 段AC的垂直平分线，∴·点C关于直 线EF的对称点为A.∴.AM=CM. AD≤AM+MD,.AD的长为 CM+MD的最小值.，△CDM的周 长=CM+MD+CD=CM+MD+ 2,.△CDM周长的最小值=AD十 2=10+2=12 E (第1题) 2.B解析：如图，连接CA1,作直线 I⊥AB于点B,易得△ABC与 △A,BC1关于直线1对称.A,B, A,三点在同一条直线上，易得 ∠ABC=∠A,BC1=60°，∴.∠CBC1= 60°.∴.∠ABC,=∠CBC1.由题意， 易得BA,=BC,∴.BC1⊥CA..易 得CD=AD.∴.易得当点D与点B 重合时，AD十CD的值最小，最小值 为线段AA,的长.：等边三角形 ABC的边长为2，∴.易得AA,=4,即 AD+CD的最小值为4. B(D) (第2题) 方法归纳 求线段（和）长的最值问题的 常用方法 (1)三角形的三边关系，即两 边之和大于第三边，两边之差小于 第三边。 (2)两点之间线段最短。 (3)直线外一点到直线上的点 的所有连线中，垂线段最短！ (4)运用对称的性质作对称 点，如图，在直线1上找一点，使得 其到A,B两点的距离之和最短， 可以通过轴对称来确定，即作出其 中一点B关于直线1的对称点B1, 连接AB1,与直线1的交点P即为 所求，线段AB1的长为AP+PB 的最小值.解决实际问题时，首先 把实际问题转化为数学模型，再根 据实际以某条直线为对称轴，构造 对称图形，将有关的线段之和的最 小问题转化成一条线段的长，最后 利用“两点之间线段最短”求解」 A P、 B 33 3.B解析：如图，作点D关于AC的 对称点D',作点E关于AB的对称点 E,连接MD',AD',NE',AE',DE', 则D'M=DM,NE=NE,AD'= AD,AE=AE,∠E'AB=∠BAC, ∠D'AC=∠BAC,.DM+MN+ NE=D'M+MN+NE'≥D'E'. ∴.DM+MN+NE的最小值是D'E' 的长.∠A=20°，AD=AE=4, ∴.∠D'AE'=∠E'AB+∠BAC+ ∠D'AC=60°，AD'=AE'=4. ∴.△DAE是等边三角形..D'E= AD'=4.∴.DM+MN+NE的最小 值是4. E D E D' (第3题) 4.B解析：如图，作点D关于BC的 对称点D',作点E关于AC的对称点 E,连接D'E分别交AC,BC于点 M,N',连接ME',ND',EM',DN', 则ME=ME',ND=ND',∴.四边形 DEMN的周长=DE+ME+MN+ ND=DE+ME'+MN+ND'≥ DE+DE'.:DE的长固定，∴.当点 M与点M重合，点N与点N'重合 时，四边形DEMN的周长最小，此时 ∠DNM+∠EMN=∠DN'M'+ ∠EM'N'.由对称性和三角形外角的 性质，可知∠DN'M'=∠N'DD'+ ∠N'D'D=2∠N'D'D,∠EM'N'= ∠M'EE'+∠M'E'E=2∠ME'E. ∴.∠DN'M+∠EMN'=2∠N'D'D+ 2∠ME'E=2(180°-∠D'DE).设 DD与BC交于点H,AB=AC, ∠BAC=90°，.∠B=45°.易得 DH⊥BH,.∠BDH=45°. ∴.∠D'DE=180°-45°=135. ∴.∠DN'M'+∠EM'N'=2X (180°一135°)=90°，即当四边形 DEMN的周长最小时，∠DNM+