第15章 专题特训7 等腰三角形中常见辅助线的作法&专题特训8 构造等腰三角形解题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十五章轴对称 专题特训七等腰三角形中常见辅助线的作法，“答案与解析”见28 类型一作垂线（或中线、角平分线）法 3.△ABC是等边三角形，D为射线 1.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分 AC上的一个动点，E为BC的延长 ∠BAC交BC于点D,E是AD上一点，且 线上的一个动点，且BD=DE. EA=EC,连接EB.求证：EB⊥AB. (1)如图①，若点D在边AC上，猜想线段 AD与CE之间的数量关系，并说明理由. D (2)如图②，若点D在AC的延长线上，其他 条件不变，则(1)中的结论是否仍成立？请说 (第1题) 明理由。 ① (第3题) 类型二作平行线法 2.(2025·菏泽定陶期中改编)如图，等边三角 形ABC的边长为3，过边AB上一点P作 PE⊥AC于点E,Q为BC的延长线上一点， 取CQ=PA,连接PQ,交AC于点M,求 类型三倍长中线法 ME的长. 4.如图，CE,CB分别是△ABC,△ADC 的中线，且AB=AC.求证：CD= 2CE. (第2题) (第4题) 59 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训八构造等腰三角形解题 类型一用“截长补短法”构造等腰三角形 (3)如图③，M是FB的延长线上的一点， 1.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC AD平分∠MAC,试探究AC,CD,AM之间 于点D,且AB十BD=DC,则∠C的度数为 的数量关系，并说明理由， B D (第1题) ② 2.如图，在△ABC中，∠A=108°，AB=AC, (第3题) BD平分∠ABC,交AC于点D.求证：BC= CD+AB. (第2题) 类型三利用轴对称的性质构造等边三角形 4.(2024·武威凉州模拟)如图，在四 类型二用角平分线和垂线构造等腰三角形 边形ABCD中，DB=DC,∠DCA= 3.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是 60°，∠DAC=78°，∠CAB=24°，则 边BC上的一个动点，连接AD,过点B作 ∠ACB= BF⊥AD,交AD的延长线于点F. (1)如图①，分别延长AC,BF交于点E,求 证：AD=BE. (2)如图②，若AD平分∠BAC,AD=5,求 B BF的长 (第4题) 60 第十五章轴对称 类型四用“延长法”构造等腰三角形 类型六用角平分线和平行线构造等腰三角形 5.如图，ABCD,DE平分∠ADC交BC于点7.如图，在等边三角形ABC中，点E E,BE=CE.求证：AD=AB+CD. 在AB上，点D在CB的延长线上， D 且ED=EC (1)当E为AB的中点时，线段AE与DB 长度的大小关系为AE DB(填“>” A “<”或“=”). (第5题) (2)请判断AE与DB的大小关系，并说明 理由. (3)在等边三角形ABC中，若点E在AB的 延长线上，点D在CB的延长线上，且ED= EC,△ABC的边长为1，AE=2,求CD 的长， (第7题) 类型五用倍角关系构造等腰三角形 6.★如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B 2∠C.求证：AB+BD=AC. D (第6题) 61H B ② (第5题) 6.(1)·DM,EN分别垂直平分边 AC和边BC, .AM=CM,BN=CN. '.△CMN的周长=CM+MN+ CN=AM+MN+BN=AB=3 cm. (2).∠MFN=70°， ∴.∠MNF+∠NMF=180 70°=110° ∠AMD=∠NMF,∠BNE= ∠MNF, ∴.∠AMD+∠BNE=∠NMF+ ∠MNF=110 ∴.∠A+∠B=90°-∠AMD+90°- ∠BNE=180°-110°=70°. .'AM-CM,BN=CN, '.∠A=∠ACM,∠B=∠BCN, ∴.∠MCN=180°-2（∠A+∠B)= 180°-2×70°=40°. 7.D 8.D解析：由题意，得点P不与点 A,B重合.如图，以点A为圆心，AB 长为半径画圆，与x轴有一个交点 (除点B外)；以点B为圆心，AB长 为半径画圆，与x轴有两个交点，与 y轴有两个交点：作AB的垂直平分 线，与x轴y轴各有一个交点.综上 所述，这样的点P有7个」 012.3 (第8题) 9.65或25°10.9或13 11.(1)AB=AC, .∠ABC=∠ACB. 在△BCD和△CBE中， (BC=CB ∠DBC=∠ECB, BD=CE, '.△BCD≌△CBE ∴.∠FCB=∠FBC. .BF=CF. (2)AB=AC,∠BAC=45°， ·∠ABC=∠ACB=7(180° ∠BAC)=67.5. 由(1)，知∠FBC=∠FCB. ∴.易得∠FBD=∠FCE 设∠FBD=∠FCE=x,则∠FBC= ∠FCB=67.5°-x,∠BDF= ∠FCE+∠BAC=x+45°，∠DFB 2∠FBC=2×(67.5°-x)=135°-2x. ,△BFD是等腰三角形， ∴.分三种情况讨论： ①当BD=BF时，∠BDF=∠DFB, ∴.x十45°=135°-2x,解得x=30, 即∠FBD=30° ②当BD=DF时，∠FBD=∠DFB, ∴.x=135°-2.x,解得x=45°，即 ∠FBD=45°. ③当BF=DF时，∠FBD=∠BDF, ∴.x=x十45°，不合题意，舍去 综上所述，∠FBD=30°或45. 专题特训七等腰 三角形中常见辅助线的作法 1.如图，过点E作EF⊥AC于点F, 则∠AFE=90° .EA=EC, .AF-FC=AC. ,AC=2AB, ∴.易得AB=AF ,AD平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠FAE 又·AE=AE, ∴.△ABE≌△AFE. ∴.∠ABE=∠AFE=90°. .EB⊥AB. (第1题》 28 2.过点P作PF∥BC交AC于点F. :PFBC,△ABC是等边三角形， ∴.∠PFM=∠QCM,∠APF= ∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°， ∠A=60. ∴.△APF是等边三角形. ∴.PA=PF=AF :PE⊥AC, .AE=EF. PA=PF,CQ=PA, ..PF=CQ. 在△PFM和△QCM中， [∠PFM=∠QCM, ∠PMF=∠QMC, PF=QC, .△PFM≌△QCM. ∴.FM=CM. AE=EF, .EF+FM=AE+CM. ·AE+CM=ME=AC. AC=3, ME 3.(1)AD=CE 理由：如图①，过点D作DP∥BC,交 AB于点P. △ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60. DP//BC, ∴.∠APD=∠ABC=60°，∠ADP= ∠ACB=60°. ∴.易得△APD是等边三角形 .AP=PD=AD. BD=DE, ∴.∠DBC=∠E. DP∥BC, ∴.∠PDB=∠DBC. ∴.∠PDB=∠E. 又∠BPD=∠A+∠ADP=120°， ∠DCE=∠A+∠ABC=120°， ∴.∠BPD=∠DCE. 在△BPD和△DCE中， ∠BPD=∠DCE, ∠PDB=∠E, BD=DE, '.△BPD≌△DCE .PD=CE. ∴.AD=CE. (2)成立. 理由：如图②，过点D作DP∥BC,交 AB的延长线于点P. .·△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°. DP//BC, ∴.∠APD=∠ABC=60°，∠ADP= ∠ACB=60. ∴.易得△APD是等边三角形 .AP=PD-AD. .∠DCE=∠ACB=60°， .∠BPD=∠DCE .BD=DE, .∠DBC=∠E .DP∥BC, '.∠PDB=∠DBC .∠PDB=∠E 在△BPD和△DCE中， ∠BPD=∠DCE, ∠PDB=∠E, BD=DE, .△BPD≌△DCE. .PD=CE. .AD=CE. B A B E ② (第3题) 4.如图，延长CE到点F,使EF= CE,连接FB,则CF=2CE. CE是△ABC的中线， .'AE=BE. 在△BEF和△AEC中， BE=AE, ∠BEF=∠AEC, EF=EC, .'.△BEF≌△AEC .∠EBF=∠A,BF=AC. 又AB=AC, .∠ABC=∠ACB. .∠CBD=∠A+∠ACB ∠EBF+∠ABC=∠CBF」 :CB是△ADC的中线， ∴AB=BD. 又，AB=AC,AC=BF, .'BF=BD. 在△CBF和△CBD中， CB=CB. ∠CBF=∠CBD, BF=BD, .'.△CBF2△CBD. .CF=CD. .CD=2CE. (第4题) 专题特训八构造 等腰三角形解题 1.209 2.如图，在BC上取点E,使BE= BA,连接DE. :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠EBD. 在△ABD和△EBD中， (AB-EB. ∠ABD=∠EBD, BD-BD. ∴.△ABD≌△EBD. ∴∠A=∠BED=108, ∴.∠DEC=180°-∠BED=72°. AB=AC, .∠C=∠ABC= 2 (180° ∠A)=36 ∴.∠CDE=180°-∠C-∠DEC 72. 29 '.∠CDE=∠DEC. .'CD=CE. .BC=EC+BE=CD+AB. D (第2题) 3.(1)BF⊥AD, .∠AFB=90. :∠ACB=90°， .∠ACB=∠AFB. :∠ADC=∠BDF, .∠CAD=∠CBE. ,AC=BC,∠ACD=∠BCE=90°， .△ACD≌△BCE. .'AD=BE. (2)如图①，分别延长BF,AC交于 点E 由(1)，知BE=AD=5. :AD平分∠BAC,AF⊥BE, ∴.∠BAF=∠EAF,∠AFB= ∠AFE=90°. 又AF=AF, ∴.△AFB≌△AFE. ∴.BF=EF BF-TBE- (3)AC+CD=AM. 理由：如图②，分别延长BF,AC交于 点E 由(1)，可得△ACD2△BCE. .CD=CE. ·BF⊥AD, ∴.∠AFE=∠AFM=90°. :AF平分∠EAM, ∴.∠EAF=∠MAF ∴.易得∠M=∠E. .AM=AE=AC+CE. .AC+CD=AM. (第3题) 4.18°解析：如图，延长CA到点E, 使AE=AB,连接DE.,∠DAC= 78°，.∠DAE=102°..∠DAB= ∠DAC+∠CAB=78°+24°=102°， .∠DAE=∠DAB..DA=DA, AB=AE,.△DAB2△DAE. ∴.∠ADB=∠ADE,DB=DE. DB=DC,.DE=DC..∠DCA= 60°，.△DEC是等边三角形 ∴.∠EDC=60.∠ADC=180° ∠DAC-∠DCA=180°-78°-60°= 42°，.∠EDA=∠EDC-∠ADC 60°-42°=18..∠ADB=∠EDA 18°..∠BDC=60°-2×18°=24° ,DB=DC,∴.∠DBC=∠DCB= 2(180-∠BC)=7×(180 24)=78.∴.∠ACB=∠DCB ∠DCA=78-60°=18. D A B (第4题) 5.延长DE,AB交于点F. AB//CD, .∠CDE=∠F 在△DCE和△FBE中， ∠CDE=∠F, ∠DEC=∠FEB, CE=BE, ∴.△DCE≌△FBE, .'CD=BF. .AF=AB+BF=AB+CD. .·DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE .∠F=∠ADE .AF=AD. .AD=AB+CD. 6.在AC上截取AE,使AE=AB,连 接DE. ,AD平分∠BAC, .∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中， (AB=AE, ∠BAD=∠EAD, AD-AD, .∴.△ABD≌△AED. ∴.∠B=∠AED,BD=ED 又∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C. :∠AED=∠C+∠EDC, .∠EDC=∠C. .ED=EC. ∴.BD=EC. .AB+BD=AE+EC=AC. 一方法归纳 利用倍角关系构造 等腰三角形的方法 已知在△ABC中，∠ACB= 2∠ABC (1)如图①，作∠ABC的平 分线BD,则可构造等腰三角 形BDC. (2)如图②，作∠BCE= 2∠ACB,交BA的延长线于点E, 则可构造等腰三角形BCE (3)如图③，延长CB至，点D, 使BD=AB,连接AD,则可构造 等腰三角形ABD和等腰三角 形ADC. (4)如图④，作∠BCE= ∠ACB,交AB的延长线于点E, 则可构造等腰三角形BCE. E D ① ② ③ ④ 7.(1)=. (2)AE=DB. 理由：如图①，过点E作EF∥BC交 30 AC于点F ,△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠A=60°， AB=AC-BC. ,'.∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE= ∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE= ∠A=60°. ∴.△AEF是等边三角形 .AE=EF=AF. .∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°， ∴.∠DBE=∠EFC=120,∠D+ ∠BED=∠FCE+∠ECD=6O°. .ED=EC, .∠D=∠ECD. ∴.∠BED=∠FCE. 在△DEB和△ECF中， ∠BED=∠FCE, ∠DBE=∠EFC, DE=EC, ∴.△DEB≌△ECF. .'DB=EF. ·EF=AE, .'AE=DB. (3)如图②，过点A作AM⊥BC于点 M,过点E作EN⊥BC交CB的延长 线于点N,则AMEN. ,△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC=1. :AM⊥BC, ·BM=CM=2BC=2 :DE=CE,EN⊥BC, .易得CD=2CN. AB=1,AE=2, ∴.AB=BE=1. .AM⊥BC,EN⊥BC, ∴.∠AMB=∠ENB=90° 在△ABM和△EBN中， ∠ABM=∠EBN, ∠AMB=∠ENB, AB-EB. ∴.△ABM≌△EBN 六BM=BN=2 cN=C+BN=1+号号. .CD=2CN=3. ① /B M E ② (第7题) 第十五章整合拔尖 [高频考点突破] 典例145°解析：如图，设AD与 BE的交点为O.△ACD和△ECB 分别与△ACB成轴对称，∴.∠BAC= ∠DAC,∠ABC=∠EBC.由三角形 内角和定理，得∠AOB+∠BAD+ ∠ABE=180°.，AD⊥BE,即 ∠AOB=90°，.∠BAD+∠ABE= 90.∴.∠BAC+∠ABC=45°. .∠ACB=180°-45°=135°.∴.易 得∠ACB=∠ACD=∠BCE=135. ∴.∠DCE=135°×3-360°=45. (典例1图) [变式]①②③ 典例2C解析：如图，过点M作射 线DN.,M是线段AD,CD的垂直 平分线的交点，.AM=DM,CM DM.'.∠DAM=∠ADM, ∠DCM=∠CDM.∴.∠MAD+ ∠MCD=∠ADM+∠CDM= ∠ADC=65°.∴.∠AMC= ∠AMN+∠CMN=∠MAD+ ∠ADM+∠MCD+∠CDM=65°+ 65°=130°.AB⊥BC,.∠B= 90°..'.∠MAB+∠MCB=360°- ∠B-∠AMC=360°-90°- 130°=140. (典例2图) [变式]A解析：连接AC.:AE, AF分别是BC,CD的垂直平分线 AB=AC=AD.:AF⊥DC, AE⊥BC,∴.∠CAF=∠DAF, ∠CAE=∠BAE.∴.易得∠DAB= 2∠EAF=150.∴.∠ABD=∠ADB= (180°-150)÷2=15..∠ABC= ∠ACB=∠CBD+∠ABD=35°+ 15°=50°.在四边形AECF中， ∠FCE=360°-90°-90°-75°= 105°，.∠ACD=105°-50°=55. .∠AIDC=∠ACD=55. 典例3∠BAD=2∠CDE. 设∠B=x,∠ADE=y, :∠B=∠C, .∠C=x. ∠AED=∠ADE, '.∠AED=y. ∴.∠CDE=∠AED-∠C=y-x, ∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 180°-2y. .∠BAD=180°-∠B-∠C ∠DAE=180°-x-x-(180° 2y)=2(y-x). ∴.∠BAD=2∠CDE. [变式](1)直角三角形. 解析：，在△ABC中，AC=BC, ·∠A=∠B=180°-∠ACB 2 180-120=30°.DE∥BC, 2 .∴.∠ADE=∠B=30°.又.·∠CDE 30°，∴.∠ADC=∠ADE+∠CDE= 30°+30°=60°..∠ACD=180°- ∠A-∠ADC=180°-30°-60°= 90..△ACD是直角三角形 (2)△ECD可以是等腰三角形. 31 分三种情况讨论： ①当∠CDE=∠ECD时，ED=EC, .∴.∠ECD=∠CDE=30 ,∠AED=∠ECD+∠CDE, .∠AED=60. ②当∠ECD=∠CED时，CD=DE, :∠ECD+∠CED+∠CDE=180°， ∠CED= 180°-∠CDE 2 180°-30 =75 2 .∠AED=180°-∠CED=105. ③当∠CED=∠CDE时，FC=CD, ∠ACD=180°-∠CED-∠CDE= 180°-30°-30°=120° ∠ACB=120°， '.此时点D与点B重合，不合题意 综上所述，△FCD可以是等腰三角 形，此时∠AED的度数为60°或105， 典例4(1)，△ABC是等边三 角形， .AC=BC,∠A=∠ACB=60. D是边AC的中点， 1 ·.CD=AD=2AC. CE-BC ∴.CE=CD. ∴.∠E=∠CDE '∠ACB=∠E+∠CDE, '.∠E=∠CDE=30°. ∴.∠ADF=∠CDE=30. ∠A=60, ∴.∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90° AF=3, ∴.AD=2AF=6. (2)连接BD. ,△ABC是等边三角形，D是边AC 的中点， .BD平分∠ABC,∠ABC=60° ∴.∠DBC=∠ABD= ∠ABC= 30° ∠BFD=180°-∠AFD=90°， .'BD=2DF. .∠DBC=∠E=30°，