第15章 专题特训5 等腰三角形的“三线合一”&专题特训6 等腰三角形中的思想方法-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训五 等腰三角形的“三线合一” 类型一证线段相等或求线段的长 类型二 证垂直或平行 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°， 上的点，且AB=AE,D为线段BE的中点， BD是∠ABC的平分线，交AC于点D,E是 连接AD,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥ AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长 BC,且AF,EF相交于点F.求证： 线于点F,连接AF (1)∠C=∠BAD. (1)求证：FE⊥AB. (2)AC=EF. (2)若AF=8,BC=3,求AC的长. D E (第1题) (第3题) 4.如图，∠ADC=90°，DC∥AB,BA= 2.(2024·吉林磐石期末)如图，在Rt△ABC BC,AE⊥BC,垂足为E,F为AC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB的垂直 的中点，连接BF 平分线交AB于点D,交BC于点E.若 (1)求证：∠AFB=90°. CE=3cm,求BE的长. (2)求证：△ADC≌△AEC. (3)连接DE,试判断DE与BF的位置关 系，并加以证明. (第2题) (第4题) 56 第十五章轴对称 专题特训六等腰三角形中的思想方法，“答案与解析”见27 类型一方程思想 类型二转化思想 1.(2023·荆门期末)如图，在△ABC中，AB= 4.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A AC,点D,E分别在边AB,AC上，DB=DE= 出发，要到营地A的北偏东60°方向的C地， AE,BE=BC,则∠BAC的度数为() 他先沿正东方向走了320m到达B地，再沿 A.60°B.75°C.30°D.45 北偏东30°方向走，恰好能到达C地，则B,C 两地相距 m, 北 北 (第1题) (第2题) 60 B 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D (第4题) 在边AB上，且AD=CD,BC=BD,则∠A 5.(1)如图①，D为△ABC外一点，若 的度数为 AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E 3.(2025·合肥段考)已知等腰三角形 ∠B+∠ADC=180°.求证：BC= 的周长为24，一腰上的中线把三角 CD. 形分为两个三角形，两个三角形的 (2)如图②，若∠ACB=90°，AC=BC,F是 周长的差是3，求等腰三角形各边的长 AC上一点，AD⊥BF交BF的延长线于点 D,且BF是∠CBA的平分线.求证： 2AD=BF. 1 ② (第5题) 57 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 6.(2025·大连段考)如图，在△ABC中，DM,9.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与 EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB AC所在的直线相交所成的锐角为40°，则底 于M,N两点，DM与EN相交于点F,连接 角∠B的度数为 CM,CN. 10.在等腰三角形ABC中，AB=AC,中线BD (1)若AB=3cm,求△CMN的周长. 将△ABC的周长分成了15和18两个部 (2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数， 分，则底边BC的长为 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 45°，动点D在边AB上（不与点A,B重 合)，动点E在边AC上（不与点A,C重 合)，BD=CE,BE与CD交于点F. (第6题) (1)求证：BF=CF (2)当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD 的度数 (第11题) 类型三分类讨论思想 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，D 是边BC上的动点（不与点B,C重合），连接 AD.若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的 度数为 () A.80 B.110° C.120° D.80°或110 y个 2 A p23 -2 (第7题) (第8题) 8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (3,2),点B的坐标为(1,0)，以线段AB为 边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴 上，则这样的点P有 ( A.4个B.5个C.6个D.7个 58'.易得EC=BD=4,AB=BC= AC=4+x.在Rt△CHE中， .∠ECH=60°，∴.∠HEC=180° ∠ECH-∠EHC=180°-60° 90°=30°.：EC=4,∴.CH PC=2BH=X-CH=4针 x-2=2十x.:EB=EF,∴.△EBF 是等腰三角形.EH⊥BF,BF=8, .BH=FH=4..2十x=4..x= 2..DE=2. D H C (第8题) 解析：如图，过点F作FH⊥ BC于点H,连接DF.,EF垂直平 分AD,'.AF=DF.设AF=DF x.:∠B=30°，.在Rt△ABC中， AB=2AC=4..'BF=AB-AF= 4一x..在Rt△FHB中，FH= 2BF=2-x,:DF≥FH, ≥2-,解得≥A 长的最小值为亭“BF长的最大值 为4总 B DH (第9题) 10.(1)·△ABC是等边三角形， BD是∠ABC的平分线，点P在 BD上， .易得∠EBP=∠PBC=30° ,PE⊥AB于点E, .∠BEP=90°. &PE=2B即， ,QF为线段BP的垂直平分线， .BP=2BQ=2×2=4. PE=2×4=2 (2)△EFP是直角三角形 理由：，'△ABC是等边三角形，BD 平分∠ABC, ∴.∠ABC=6O°，∠ABP=∠CBD= 30° PE⊥AB, .∠PEB=90 ∴.∠BPE=60. ,QF垂直平分线段BP, .FB=FP. '.∠FBQ=∠FPQ=30° ∴.∠EPF=∠BPE+∠FPQ=9O°. ∴.△EFP是直角三角形 11.D 12.(1)如图①，点E即为所求 ,点A,E关于y轴对称， ∴.OA=OE=2. ∴.E(2,0). (2)如图①，连接BE. .·OA=OE,BO⊥AE, .BA=BE. .AB=20A=AE, .AB=BE=AE. ∴△ABE是等边三角形. ∴.∠BAO=60. (3)如图②，作点A关于y轴的对称 点E,连接BE,设AD交PB于点J. ,易知△PBD,△ABE都是等边三 角形， '.AB=EB,BP=BD,∠PBD= ∠ABE=60° ,∠ABD=∠PBD+∠ABP, ∠EBP=∠ABE+∠ABP, .'.∠ABD=∠EBP. 在△ABD和△EBP中， (AB=EB. ∠ABD=∠EBP, BD=BP, '.△ABD≌△EBP. '.∠ADB=∠EPB ∠AJP=∠DJB, '.∠PAJ=∠DBJ=60° '.∠OAQ=∠PAJ=60°. 26 .∠AOQ=90°， .∠AQ0=30° ∴.AQ=2A0=4. B E ① A E Q ② (第12题) 专题特训五等腰 三角形的“三线合一” 1.(1),AB=AE,D为线段BE的 中点， ∴.AD⊥BC .∠C+∠DAC=90. ∠BAC=90, ∴.∠BAD+∠DAC=90°. ∴.∠C=∠BAD. (2).·EF⊥AE, ∴.∠AEF=90°=∠BAC. AF∥BC, ∴.∠FAE=∠AEB. .AB=AE, ∴.∠B=∠AEB. ∴.∠B=∠FAE. 在△ABC和△EAF中， ∠B=∠FAE AB=EA, ∠BAC=∠AEF, ∴.△ABC≌△EAF. ∴.AC=EF 2.连接AE :∠C=90,∠BAC=60, ∴.∠B=90°-60°=30. DE是AB的垂直平分线， .'AE=BE. ..∠BAE=∠B=30° .∠CAE=∠BAC-∠BAE=30°. ∴.∠BAE=∠CAE. .·ED⊥AB,EC⊥AC, ∴.DE=CE=3cm. 又：∠B=30°， .'BE=2DE=6 cm. 3.(1),AB=AC,∠BAC=36, 1 ·∠ABC=∠ACB=2X(I80- 36)=72 又.·BD是∠ABC的平分线， :.∠ABD=号∠ABC= 72°=36 .∠BAD=∠ABD. .AD=BD. 又：E是AB的中点， ∴.DE⊥AB,即FE⊥AB. (2):由(1)，知FE⊥AB,E是AB 的中点， .FE垂直平分AB. .BF=AF=8. .CF=BF-BC=8-3=5. ,易知∠BAF=∠ABF=72, ∴.∠CAF=∠BAF-∠BAC=36°， ∠AFB=180°-2∠ABF=36°. ∴.∠CAF=∠AFB. .AC=CF=5. 4.(1):BA=BC,F是AC的中点， .BF⊥AC. .∠AFB=90°， (2)AE⊥BC, .∠AEC=90. ∠ADC=90, ∴.∠ADC=∠AEC. DC//AB, ∴.∠DCA=∠CAB. .BA=BC, ∴.∠ECA=∠CAB. .∠DCA=∠ECA 在△ADC和△AEC中， ∠ADC=∠AEC, ∠DCA=∠ECA, AC=AC, '.△ADC≌△AEC. (3)DE∥BF 设DE交AC于点H. ,△ADC≌△AEC, .'.AD=AE,∠DAH=∠EAH ∴.AH⊥DE. ∴.∠AHE=90. ,∠AFB=90°， .∴.∠AFB=∠AHE. .DE∥BF 专题特训六等腰 三角形中的思想方法 1.D2(9) 3.如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC,D为AC的中点. 设AB=AC=x. :D为AC的中点， .AD=CD=2. 等腰三角形ABC的周长为24， ∴.BC=24-(AB+AC)=24-2x. ①当△ABD的周长大于△BCD的 周长时， AB+AD+BD-(BC+CD+ BD)=3, .'.AB-BC=3,即x-(24-2x)= 3,解得x=9,此时24一2x=6,9,9,6 能够组成三角形，符合题意 ②当△BCD的周长大于△ABD的 周长时， .·BC+CD+BD-(AB+AD+ BD)=3, ∴.BC-AB=3,即24-2x-x=3, 解得x=7,此时24一2x=10,7,7,10 能够组成三角形，符合题意。 综上所述，这个等腰三角形的腰长为 9,底边长为6或腰长为7，底边长 为10. B (第3题) 27 4.320 5.(1)如图①，在AB上取点G,使 AG=AD,连接CG :AC平分∠BAD, ∴.∠DAC=∠GAC. AD=AG,∠DAC=∠GAC, AC=AC, ·.△ADC≌△AGC. ∴.DC=GC,∠ADC=∠AGC. 又.∠B+∠ADC=180°，∠CGE+ ∠AGC=180°， .∠B=∠CGE .BC=GC. 又DC=GC, .BC=CD. (2)如图②，分别延长AD,BC交于 点H. 由题意，知BD平分∠CBA, ∴.∠DBC=∠ABD. :AD⊥BF交BF的延长线于点D, ∴.∠ADB=∠HDB=90°， :∠ADB=∠HDB,BD=BD, ∠DBA=∠DBH, .△ADB≌△HDB. .∠DAB=∠DHB,AB=HB, AD-HD ∴.△ABH是等腰三角形，2AD=AH. ,∠ACB=90°，AC=B, '.∠ABC=∠CAB=45°，∠ACH= 90°. ∴.∠DAB= X(180°-∠ABC) 1 67.5°，∠CBD=∠ABD=22.5°. .∠HAC=67.5°-45°=22.5°= ∠CBD. ∠HAC=∠FBC=22.5,AC= BC,∠ACH=∠BCF, .△ACH≌△BCF. ..AH=BF. 又.2AD=AH, ∴.2AD=BF G E ① H B ② (第5题) 6.(1)·DM,EN分别垂直平分边 AC和边BC, .AM=CM,BN=CN. '.△CMN的周长=CM+MN+ CN=AM+MN+BN=AB=3 cm. (2).∠MFN=70°， ∴.∠MNF+∠NMF=180 70°=110° ∠AMD=∠NMF,∠BNE= ∠MNF, ∴.∠AMD+∠BNE=∠NMF+ ∠MNF=110 ∴.∠A+∠B=90°-∠AMD+90°- ∠BNE=180°-110°=70°. .'AM-CM,BN=CN, '.∠A=∠ACM,∠B=∠BCN, ∴.∠MCN=180°-2（∠A+∠B)= 180°-2×70°=40°. 7.D 8.D解析：由题意，得点P不与点 A,B重合.如图，以点A为圆心，AB 长为半径画圆，与x轴有一个交点 (除点B外)；以点B为圆心，AB长 为半径画圆，与x轴有两个交点，与 y轴有两个交点：作AB的垂直平分 线，与x轴y轴各有一个交点.综上 所述，这样的点P有7个」 012.3 (第8题) 9.65或25°10.9或13 11.(1)AB=AC, .∠ABC=∠ACB. 在△BCD和△CBE中， (BC=CB ∠DBC=∠ECB, BD=CE, '.△BCD≌△CBE ∴.∠FCB=∠FBC. .BF=CF. (2)AB=AC,∠BAC=45°， ·∠ABC=∠ACB=7(180° ∠BAC)=67.5. 由(1)，知∠FBC=∠FCB. ∴.易得∠FBD=∠FCE 设∠FBD=∠FCE=x,则∠FBC= ∠FCB=67.5°-x,∠BDF= ∠FCE+∠BAC=x+45°，∠DFB 2∠FBC=2×(67.5°-x)=135°-2x. ,△BFD是等腰三角形， ∴.分三种情况讨论： ①当BD=BF时，∠BDF=∠DFB, ∴.x十45°=135°-2x,解得x=30, 即∠FBD=30° ②当BD=DF时，∠FBD=∠DFB, ∴.x=135°-2.x,解得x=45°，即 ∠FBD=45°. ③当BF=DF时，∠FBD=∠BDF, ∴.x=x十45°，不合题意，舍去 综上所述，∠FBD=30°或45. 专题特训七等腰 三角形中常见辅助线的作法 1.如图，过点E作EF⊥AC于点F, 则∠AFE=90° .EA=EC, .AF-FC=AC. ,AC=2AB, ∴.易得AB=AF ,AD平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠FAE 又·AE=AE, ∴.△ABE≌△AFE. ∴.∠ABE=∠AFE=90°. .EB⊥AB. (第1题》 28 2.过点P作PF∥BC交AC于点F. :PFBC,△ABC是等边三角形， ∴.∠PFM=∠QCM,∠APF= ∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°， ∠A=60. ∴.△APF是等边三角形. ∴.PA=PF=AF :PE⊥AC, .AE=EF. PA=PF,CQ=PA, ..PF=CQ. 在△PFM和△QCM中， [∠PFM=∠QCM, ∠PMF=∠QMC, PF=QC, .△PFM≌△QCM. ∴.FM=CM. AE=EF, .EF+FM=AE+CM. ·AE+CM=ME=AC. AC=3, ME 3.(1)AD=CE 理由：如图①，过点D作DP∥BC,交 AB于点P. △ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60. DP//BC, ∴.∠APD=∠ABC=60°，∠ADP= ∠ACB=60°. ∴.易得△APD是等边三角形 .AP=PD=AD. BD=DE, ∴.∠DBC=∠E. DP∥BC, ∴.∠PDB=∠DBC. ∴.∠PDB=∠E. 又∠BPD=∠A+∠ADP=120°， ∠DCE=∠A+∠ABC=120°， ∴.∠BPD=∠DCE. 在△BPD和△DCE中， ∠BPD=∠DCE, ∠PDB=∠E, BD=DE,