15.3 等腰三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 15.3 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 ☑基础进阶 OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O 1.如图，在△ABE中，BA=BE,F为AE的中 转动，点C固定，OC=CD=DE,点D,E可 点.若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的 在槽中滑动.若∠BDE=78°，则∠CDE的度 度数为 ( 数为 () A.60° B.63° C.67°D.70 A.52°B.66° C.76°D.78 B M (第5题) (第6题) (第1题) (第2题) 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90° 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点 AC=AN,BC=BM,则∠MCN的 D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F.若 度数为 ( DE=3cm,则BF的长为 () A.30°B.45°C.60°D.55 A.4.8 cm B.6 cm 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°， C.5 cm D.6.4 cm AD是边BC上的高.线段AC的垂直平分线 3.如图，AB=AC,D是△ABC内一点，∠D 交AD于点E,交AC于点F,连接BE,则 110°，∠1=∠2，则∠A的度数为 ∠EBD的度数为 (第3题) 4.(2025·渭南大荔期中)如图，在△ABC中， (第7题) (第8题) 点D在AC上，且BD=BC=AD,∠DBC= 8.小丽从一张等腰三角形纸片ABC(AB 20°，求∠A,∠C,∠ABC的度数， AC)中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角 形，其中BC=BD,EC=EF=FG=DG= DA,则∠B的度数为 D 9.如图①，C为线段AB上一点，分别 以AC,BC为底边，在AB的同侧作 (第4题)》 等腰三角形ACD和等腰三角形 BCE,且∠A=∠EBC.在线段EC上取一点 F,使EF=AD,连接BF,DE 幻素能攀升 (1)判断DE与FB之间的数量关系，并说明 5.借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一 理由。 个角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA, (2)如图②，若∠A=a,延长BF交DE于点 48 第十五章轴对称 G,探究∠BGE与∠GBC之间的数量关系，罚思维拓展 并说明理由 11.如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角 形，∠BAC=∠DAE=100°，AB=AC= D AD=AE,BC与AD,DE分别交于点F, H,AC与DE交于点G,连接BD,CE ① ② (1)若∠DBA=70°，求∠DAC的度数 (第9题) (2)如图②，延长BD,EC交于点M,连接 MH,AH.求证：A,H,M三点在同一条直 线上 ② (第11题) 10.(2024·东莞期末)已知a,b,c是△ABC的 三边长，且|a-3|+(b-4)2=0. (1)求a,b的值以及c的取值范围 (2)若△ABC是等腰三角形，求此三角形 的周长 (3)若在另一个等腰三角形DEF中，一个 内角为x°，另一个内角为(2x一20)°，求此 三角形各内角的度数 49 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时 等腰三角形的判定 自基础进阶 幻素能攀升 1.★如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点M在CA的 ∠ABC交AC于点G,DM∥BC交△ABC 延长线上，MN⊥BC于点N,交AB于点O. 的外角的平分线于点M,交AB,AC于点F, 若AO=3,BO=4,则MC的长为() E.下列结论中，正确的是 A.12 B.9 C.10D.11 A.EF=ED B.FD=BC C.EC=MF D.EC=AG (第1题) (第5题) (第6题) 2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC 6.(2025·泰州靖江段考)如图，AB∥CD, 于点D,AD=6,过点D作DE∥BC,交AB ∠BAC的平分线与CD交于点E,F为射线 于点E.若△AED的周长为16，则边AB的 AB上的一个动点，连接EF,过点C作CG⊥ 长为 EF于点G.若FG=EG,∠BAC=70°，则 ∠AEF的度数为 () A.10°B.20° C.25°D.35 7.在如图所示的5个三角形中，均有 (第2题) (第3题) AB=AC,经过三角形一个顶点的 3.如图，在△ABC中，∠A=∠ABE,CD平分 条直线不能将这个三角形分成两 ∠BCE,且CD⊥BE于点D,AC=5,BC= 个小等腰三角形的为 (填序号) 3,则DE的长为 4.如图，在△ABC中，AB=AC.过点A作AD∥ BC,交∠ACB的平分线于点D,连接BD. ① (1)求证：△ABD是等腰三角形， (2)若∠BDC=20°，求∠ADC的度数. 4 ⑤ (第7题) 8.如图，CE平分∠ACB,且CE⊥DB于点E, B (第4题) ∠DAB=∠DBA.若AC=14,△CDB的周 长为20，则BD的长为 (第8题) 50 第十五章轴对称 9.(2025·衢州江山期中)如图，在△ABC中，12.如图，在△ABC中，AB=AC=2 AD是边BC上的高，CE是边AB上的中 ∠B=∠C=40°.点D在线段BC 线，DG⊥CE于点G,CD=AE.求证： 上运动（点D不与点B,C重合） CG=EG. 连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC 于点E. (1)当∠BAD=20°时，∠EDC的度数为 (第9题) (2)当DC的长为多少时，△ABD≌△DCE? 请说明理由， (3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能， 请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请 说明理由， 10.*如图，在锐角三角形ABC中，E是边AB 上一点，BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与 B D CE交于点G.求证： (第12题) (1)∠BEC=2∠AGE. (2)△AEG是等腰三角形. GL 0 (第10题) 思维拓展 11.(2025·福州鼓楼期中)如图，在△ABC中， AD平分∠BAC,∠ACB=3∠B,CE⊥AD 于点E,AC=8,BC-壬BD,则CE B (第11题) 51 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第3课时 等边三角形的性质与判定 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2023·金昌)如图，BD是等边三角形ABC 4.如图，在等边三角形ABC中，D,E分别为 的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半 AB,AC上的动点，BD=2AE,连接DE,以 径画弧，交BC的延长线于点E,连接DE,则 DE为边在△ABC内作等边三角形DEF,连 ∠DEC的度数为 接CF.当点D从点A出发向点B运动（不 A.20°B.25° C.30° D.35 与点B重合)时，∠ECF的度数的变化情 况是 A.不变 B.变小 C.变大 D.先变大后变小 (第2题) D (第1题) B 2.如图，AB=AC,D是BC的中点，AB平分 ∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.若BE∥AC,则 ∠C的度数为 (第4题) (第5题) 3.(2024·济南槐荫期末)如图，△ABC为等边 5.如图，∠ABC=120°，BD平分∠ABC, 三角形，BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥ ∠DAC=60°.若AB=2,BC=3,则BD的 BC交AB于点E.求证： 长为 () (1)△ADE是等边三角形. A.5 B.7 C.8 D.9 (2)AE=2AB. 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC= 30°，BC=4,且E为边BC的中点，连接AE, 以AE为边向上作等边三角形ADE,连接 BD,则BD的长为 (第3题) (第6题) 7.如图①，△ABC是等边三角形，点D 在△ABC内部，且∠BDC=120°. (1)设∠ABD=a,求∠ACD的度 数（用含a的式子表示）. (2)如图②，E是BC的中点，连接AD,DE, 用等式表示线段AD与DE之间的数量关 52 第十五章轴对称 系，并加以证明。 思维拓展 9.(2024·安阳林州期末)如图，C是线段AB 上除点A,B外的任意一点，分别以AC,BC 为边在线段AB的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接AE交DC于点M, (第7题) 连接BD交CE于点N,连接MN.求证： (1)AE=BD (2)MN∥AB. (第9题) 8.如图，在等边三角形ABC中，AB=9cm, 点P从点C出发沿边CB向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B出发沿边BA向 10.如图，△ABC,△CDE都是等边三 点A以5cm/s的速度移动.P,Q两点同时 出发，它们移动的时间为ts. 角形，AD,BE相交于点O,M,N 分别是线段AD,BE的中点，连接 (1)试用含t的代数式表示BP和BQ的长. (2)移动几秒时，△PBQ为等边三角形？ MN,CM,CN. (1)求证：AD=BE. (3)若P,Q两点分别从C,B两点同时出 (2)求∠DOE的度数. 发，并且都按顺时针方向沿△ABC的三边移 (3)求证：△MNC是等边三角形. 动，则几秒时点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？ (第10题) (第8题) 53 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第4课时含30°角的直角三角形的性质 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点 5.如图，在△ABC中，AB=AC=11,∠BAC= D,E分别在BC,AC上，DE∥AB,过点E 120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.若 的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F, BD=2,则DF的长为 ( 则DF的长为 () A.7B.6 C.5 D.4 M/ (第5题) ABD N (第1题) (第2题) A.4.5B.5 C.5.5D.6 2.如图，∠MAN=60°，点B,D在边AN上，且 6.(2023·仙桃期末)如图，∠ABC= 点D在点B的右侧，AB=2,C是边AM上 60°，AB=8,动点P从点B出发，以 一动点，在点C运动的过程中，始终保持 每秒1个单位长度的速度沿射线 CB=CD.若AC=m,则AD的长为() BC运动，设点P的运动时间为t(t>0)秒， Ant 当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是 B.2m+2 () C.gm-1 D.m-2 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，边AC的垂 C 直平分线交AC于点D,交BC于点E,且 (第6题) A.t>4 B.t<8 ∠C=15°.若AB=2cm,则EC的长为 C.8<t<16 D.4<t<16 cm. 7.△ABC是边长为6cm的等边三角形，P为 边AB上一点，BP=4cm,Q为射线BC上 一点，当CQ的长为 时， (第3题) △PBQ是直角三角形 4.(2024·枣庄峄城段考)如图，在△ABC中， 8.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在 AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于 边AB,AC上，DE∥BC,点F在BC的延长 点P,BQ⊥AD于点Q.求证： 线上，且EB=EF.若BD=4,BF=8,则线 (1)△ADC≌△BEA. 段DE的长为 (2)BP=2PQ. D (第4题) (第8题) 54 第十五章轴对称 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=思维拓展 30°，AC=2,D为边BC上的一动点，EF垂 11.(2024·平顶山段考)在Rt△ABC中，∠A 直平分AD,分别交AC,AB于点E,F,则 90°，有一个锐角为60°.若点P在直线AC BF长的最大值为 上（不与点A,C重合），且∠ABP=30°， AP=1,则CP的长为 () A.2 B.4 C.1或2或4 D.2或4 (第9题)》 12.如图①，在平面直角坐标系中，A为x轴的 10.如图，△ABC是等边三角形，P是 负半轴上的一点，B为y轴的正半轴上的一 △ABC的角平分线BD上的一点， 点，OA=2,AB=2OA. PE⊥AB于点E,线段BP的垂直 (1)作点A关于y轴的对称点E,并写出点 平分线交BC于点F,垂足为Q E的坐标. (1)若BQ=2,求PE的长， (2)求∠BAO的度数 (2)连接PF,EF,试判断△EFP的形状， (3)如图②，P是射线OA上任意一点，连 并说明理由. 接PB,以PB为边向上作等边三角形 PBD,DA的延长线交y轴于点Q,求AQ 的长 (第10题) ② (第12题) 55.点P2的坐标为(6一a,0). ∴.P1P2=a-(6-a)=2a-6. 综上所述，当0<a≤3时，P1P2=6 2a:当a>3时，P1P2=2a-6. (3)当0<a≤3时，易得PP2= PP1+P1P2=2a+6-2a=6. 当a>3时，易得PP2=PP P1P2=2a-(2a-6)=6. 综上所述，PP2的长不会随点P位置 的变化而变化 (第11题) 15.3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.B 3.40°解析：：∠D=110°，∴.∠1十 ∠BCD=180°-∠D=70°.：∠1= ∠2，∴.∠2+∠BCD=∠ACB=70° .AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB= 70°..∠A=180°-70°-70°=40°. 4.,BD=BC,∠DBC=20, 1 ·∠C=∠BDC=2(180° ∠DBC)=80°」 AD-BD, ∴.∠A=∠ABD ,∠BDC=∠A+∠ABD, ·∠A=∠ABD=2∠BDC=40 ,'.∠ABC=∠ABD+∠DBC=60° 5.C解析：OC=CD=DE, '.∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC '.∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC. ,∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE= 78°，.∠ODC=26°.∠CDE+ ∠ODC=180°-∠BDE=102°， ..∠CDE=102°-∠ODC=76°. 6.B解析：设∠BMC=x,∠ANC= y.IBC=BM,.∠BCM= ∠BMC=x.'.∠B=180°-2x. .'AC=AN,'.∠ACN=∠ANC y..∠A=180°-2y.△ABC为 直角三角形，∠ACB=90°，∴.∠A十 ∠B=90°，即180°-2y+180°-2x= 90°..x+y=135°..∠BCM+ ∠ACN=135°.，∴.∠MCN=∠BCM+ ∠ACN-∠ACB=135°-90°=45°. 7.50°解析：如图，连接CE. AB=AC,AD是边BC上的高， ∠BAC=40°，∴.BD=CD,∠ABC= 7180°-∠BAC)=70,∠BAE9 2∠BAC=20.·.AD为BC的垂直 1 平分线.：点E在AD上，BE= CE.又：线段AC的垂直平分线交 AD于点E,交AC于点F,∴.AE= CE..AE=BE.∴.∠ABE= ∠BAE=20°.∴.∠EBD=∠ABC ∠ABE=50°. B D (第7题) 8.67.5°解析：设∠ECF=x .EC=EF,'.∠EFC=∠ECF= x.∴.∠GEF=2x.EF=GF, ∴.∠FGE=∠GEF=2x.∴.∠DFG ∠FGC+∠GCF=3.x.,'DG=GF, '.∠GDF=∠DFG=3.x..'.∠AGD= ∠GDC+∠GCD=4x..'DG=DA, ∴.∠A=∠AGD=4x..∠BDC= ∠A+∠DCA=5.x.BC=BD, ∴.∠BDC=∠BCD=5.x.∴.∠ACB= ∠BCD+∠DCA=6x.:AB=AC, '.∠B=∠ACB=6.x.∠A+ ∠B+∠ACB=180°，∴4x+6.x+ 6x=180°，解得x=11.25°.∴.∠B= 67.5. 9.(1)DE=FB: 理由：，△ACD,△BCE分别是以 AC,BC为底边的等腰三角形， .∠A=∠DCA,∠ECB=∠EBC, 21 CE=BE,AD=CD .EF=AD, .EF=CD. ,∠A=∠EBC, ∴.∠A=∠ECB=∠DCA=∠EBC. ∴.ADCE,DCBE ∴.∠ADC=∠DCE,∠DCE=∠CEB. 在△DCE和△FEB中， (CD=EF, ∠DCE=∠FEB, CE=EB, '.△DCE≌△FEB. .DE=FB. (2)∠BGE=2∠GBC. 理由：由(1)，可知∠A=∠ECB= ∠CBE=a,△DCE≌△FEB. .∠DEC=∠GBE. ·∠GBE=∠CBE-∠GBC=a ∠GBC, ∴.∠DEC=a-∠GBC. .∠BGE+∠DEC+∠EFG=18O°， ∠ECB+∠GBC+∠CFB=18O°， ∠EFG=∠CFB, ∴.∠BGE+∠DEC=∠ECB+ ∠GBC. ∴.∠BGE+a-∠GBC=a+∠GBC. '.∠BGE=2∠GBC. 10.(1)a-3+(b-4)2=0, ∴.a=3,b=4. b-a<c<b+a, .1<c<7. (2)当腰长为3时，此时三角形的三 边长为3,3,4，满足三角形的三边关 系，周长为10. 当腰长为4时，此时三角形的三边长 为4,4,3，满足三角形的三边关系，周 长为11. 综上所述，此三角形的周长为10 或11. (3)当底角为x、顶角为(2x-20)° 时，则根据三角形内角和为180°可得 x+x+2x-20=180,解得x=50,此 时三个内角的度数分别为50°， 50°，80. 当顶角为x°、底角为(2x一20)时，则 根据三角形内角和为180°可得x十 2x一20+2x一20=180，解得x=44, 此时三个内角的度数分别为44°， 68°，68 当底角为x°、(2x一20)时，则根据等 腰三角形的性质可得x=2x一20，解 得x=20,此时三个内角的度数分别 为20°，20°，140°. 综上所述，此三角形三个内角的度数 分别为50°，50°，80°或44,68°，68°或 20°，20°，140° 11.(1):AB=AD,∠DBA=70°， .∠ABD=∠BDA=70° .∴.∠BAD=180°-2X70°=40. .·∠BAC=100°， ,.∠DAC=100°-40°=60 (2)如图，连接BE 在△ABC和△ADE中， :∠BAC=∠DAE=100°，AB= AD,AC=AE, .△ABC2△ADE ∴.易得∠ABC=∠ACB=∠ADE ∠AED=40°，BC=DE. ∠BAC=∠DAE=100°， .易得∠BAD=∠CAE. 又.·AB=AC=AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE .BD=CE,∠ABD=∠ADB= ∠ACE=∠AEC. ·.·∠DBH=∠ABD-∠ABC, ∠CEH=∠AEC-∠AED, .∠DBH=∠CEH 又∠DHB=∠CHE,BD=EC, .△DBH≌△CEH. .BH=EH. ,∠MDE+∠ADB+∠ADE= 180°，∠MCB+∠ACE+∠ACB= 180°， ∴.∠MDE=∠MCB, 又：'DE=CB,∠MED=∠MBC, ∴.△MDE≌△MCB. .∴.ME=MB. AB=AE,BH=EH, '.A,H,M三点在线段BE的垂直 平分线上， .A,H,M三点在同一条直线上. G C M (第11题) 第2课时等腰三角形的判定 1.C 方法归纳 角平分线和平行线构造等腰 三角形模型 常见的角平分线和平行线构 造等腰三角形模型有以下四种： D B ① ② A ③ ④ 2.103.1 4.(1)ADBC, '.∠ADC=∠DCB. :CD平分∠ACB, .∠ACD=∠DCB. ∴.∠AIDC=∠ACD. .AD=AC. AB=AC, .∴.AD=AB. ∴.△ABD是等腰三角形 (2)设∠ADC=x. 由(1)，可得∠ADC=∠ACD= ∠DCB=x. ∴.∠ACB=∠ACD+∠DCB=2x. .·AB=AC, .∴.∠ABC=∠ACB=2.x. .∠BDC=20°， 22 .'.∠ADB=∠ADC+∠BDC= x+20°. .AD-AB, ∴.∠ADB=∠ABD=x+20°. ,∠BDC+∠DBC+∠DCB= 180°， ∴.∠BDC+∠ABD+∠ABC+ ∠DCB=180°. ∴.20°+x+20°+2x+x=180°，解得 x=35°. .∠ADC=35. 5.C解析：AB=AC,.∠B= ∠C.:MN⊥BC,.∠MNC= ∠MNB=90°.∴.∠B+∠BON= 90°，∠C+∠M=90°..∠M= ∠BON.∠BON=∠MOA, ∴.∠M=∠MOA.∴.AM=AO=3. BO=4,∴.AB=AC=AO+BO= 7.'.MC=AM+AC=10. 6.B 7.②⑤解析：①如图①，过点B作 ∠ABC的平分线，交AC于点D, AB=AC,∠A=36,.易得 ∠ABC=∠C=72.∴.∠ABD= 1 ∠CBD=2∠ABC=36°=∠A. .BD=AD,∠BDC=36°+36°= 72.∴.∠BDC=∠C.∴.BD=BC. '.△ABD和△BCD是等腰三角形 ∴.能将这个三角形分成两个小等腰 三角形.②不能将这个三角形分成两 个小等腰三角形.③如图②，过点A 作∠BAC的平分线，交BC于点D. 1 ·.∠BAD=∠CAD=2∠BAC= 45.∠BAC=90°，AB=AC,∴.易 得∠B=∠C=45°.∴.易得△ABD 和△ACD是等腰三角形.，∴.能将这 个三角形分成两个小等腰三角形 ④如图③，过点A把∠BAC分成36 和72°两个角，则∠BAD=36°， ∠CAD=72°.：∠BAC=108°， AB=AC,∴.易得∠B=∠C=36. ∴.∠BAD=∠B,易得∠ADC= ∠CAD.∴.易得△ABD和△ACD是 等腰三角形.'.能将这个三角形分成 两个小等腰三角形.⑤不能将这个三 角形分成两个小等腰三角形.综上所 述，不能将这个三角形分成两个小等 腰三角形的为②⑤. ① B ③ (第7题) 8.8解析：CE⊥DB,∴.∠CED ∠CEB=90°.CE平分∠ACB, ∴.∠DCE=∠BCE.∴.∠CDE= ∠CBE.∴CD=CB.∠DAB= ∠DBA,'.AD=BD..△CDB的 周长为20，.CD+CB+BD=20. .AC=14,∴.AD+CD=14. .BD+CD=14..CB=20-14= 6..'CD=CB=6..BD=AD= 14-6=8 9.作线段BD的垂直平分线，交BA 于点E',垂足为H,连接ED,则 E'B=ED. .∠B=∠EDB AD是边BC上的高， .AD⊥BC ∴.∠E'DB+∠ADE'=90°，∠B+ ∠BAD=90° ∴.∠ADE=∠BAD. .ED=AE'」 ,.AE'=EB,即E是AB的中，点. CE是边AB上的中线， .E是AB的中点. 点E与点E重合 CD=AE, ∴.ED=CD 又：DG⊥CE, .CG=EG. 10.(1)如图，过点E作EF⊥BC于 点F ,BE=CE,EF⊥BC, 六∠BF=∠CRF=<BC 又.EF⊥BC,AD⊥BC '.EF∥AD ·∠AGE=∠CBF-7∠BBC ∴.∠BEC=2∠AGE. (2)由(1)，知∠BEF=∠CEF= ∠AGE,EF∥AD .'.∠BEF=∠BAD,即∠BEF= ∠EAG. .∠AGE=∠EAG. .EG=EA. ∴△AEG是等腰三角形. B D (第10题) 方法归纳 判定等腰三角形的关键 证明有两条边相等 (1)通过角之间的等量代换证 明有两个角相等，利用等角对 等边. (2)证明有所证两条边的两个 三角形全等，得相等线段。 (3)垂直平分线的性质：线段 垂直平分线上的，点到该线段两个 端，点的距离相等。 (4)角平分线上的点到角两边 的距离相等 解析：如图，延长CE交AB 于点F,过点D作DH⊥AB于点H, DN⊥AC交AC的延长线于点N,过 点A作AM⊥BC交BC的延长线于 点M.:CE⊥AD,∴.∠AEF= ∠AEC=90°.AD平分∠BAC, ∴.∠FAE=∠CAE,DH=DN.在 ∠FAE=∠CAE, △AEF和△AFC中，3AE=AE, ∠AEF=∠AEC, .∴.△AEF≌△AEC..∴.AF=AC= 8,∠AFE=∠ACE,EF=CE. 23 ∠AFC=∠B+∠ECD,∴.∠ACF= ∠B+∠ECD.∴.∠ACB=2∠ECD+ ∠B.∠ACB=3∠B,∴.2∠ECD+ ∠B=3∠B.∴.∠B=∠ECD. 1 BD, CF=BF.BC=4 器=：Sam=AB· 1 1 DFH=2BD·AM,SaAD= AC. DN= 1 CD·AM. 2AB·DH 1 AC·DN BD AM ， 2CD·AM .AB=- 4AC=.·CF=BF— AB-AF= 32 3 -8= 3.CE= 31 FH M.-- N (第11题) 12.(1)20. (2)当DC=2时，△ABD2△DCE 理由：∠ADE=40°，∠B=40°， ∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+ ∠CDE, ∴.∠BAD=∠CDE. AB=2,DC=2, .AB=DC. 在△ABD和△DCE中， ∠B=∠C, AB=DC, ∠BAD=∠CDE, ∴.△ABD≌△DCE. (3)能. 当∠BAD=30°或60°时，△ADE能 成为等腰三角形. 第3课时等边三角形的性质 与判定 1.C2.60 3.(1):△ABC为等边三角形， .∠A=∠ABC=∠C=60. .DE//BC, ∴.∠AED=∠ABC=60°，∠ADE= ∠C=60° ∴.∠A=∠AED=∠ADE. .△ADE是等边三角形. (2),△ABC为等边三角形， .AB=BC=AC. ,BD平分∠ABC, AD-TAC. 由(1)知，△ADE是等边三角形， .'AE=AD. AE-2AB. 4.A解析：如图，在AC上截取 CN=AE,连接FN.△ABC是等 边三角形，.∠A=60°，AB=AC. BD=2AE,∴.易得AD=NE. :△DEF是等边三角形，.DE EF,∠DEF=6O°..∠ADE= 180°-∠A-∠AED=180°-60° ∠AED=120°-∠AED,∠NEF= 180°-∠DEF-∠AED=180°- 60°-∠AED=120°-∠AED, ∴.∠ADE=∠NEF.在△ADE和 AD-=NE. △NEF中，∠ADE=∠NEF, DE=EF, .△ADE≌△NEF..AE=NF, ∠A=∠FNE=60°.∴.NF=CN. ∴.∠NCF=∠NFC.:∠FNE= ∠NCF+∠NFC=60°，'.∠NCF 30°，即∠ECF=30°..当点D从点 A出发向点B运动（不与点B重合） 时，∠ECF的度数不变 D (第4题) 5.A解析：如图，在CB的延长线上 取点E,使BE=AB,连接AE. .∠ABC=120°，'.∠ABE=180° ∠ABC=60°.BE=AB, .△ABE是等边三角形.∴AE= AB,∠BAE=∠E=60°.，'∠DAC= 60°，'.∠DAC=∠BAE..∠BAD= ∠BAC+∠DAC,∠EAC=∠BAC+ ∠BAE,.∠BAD=∠EAC.BD 平分∠ABC∠ABD-号∠ABC 60°.'.∠ABD=∠E.在△ABD和 ∠BAD=∠EAC, △AEC中，AB=AE, ∠ABD=∠E, ,.△ABD2△AEC.'.BD=EC EC=BE+BC=AB+BC=2+ 3=5,.BD=5. E-- (第5题) 6.6解析：如图，延长BC到点T,使 得CT=CB,连接AT.由题意，得 AC⊥BT.又CB=CT,∴.AB= AT..易得∠BAC=∠TAC=30°. ∴.∠BAT=60.∴.△ABT是等边 三角形.：△ADE是等边三角形， '.∠EAD=60°，AD=AE..∠EAD= ∠BAT..易得∠BAD=∠TAE.在 AB=AT, △BAD和△DAE中， ∠BAD=∠TAE AD-AE, .∴.△BAD≌△TAE..∴.BD=TE.由 题意，易得BC=CT=4,EC=EB= 2.∴TE=EC+CT=6..BD= TE=6..BD的长为6. D B (第6题) 7.(1)△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60°，即 24 ∠ABD+∠DBC=60°，∠ACD+ ∠BCD=60. ∠BDC=120, ∴.∠DBC+∠BCD=180°-120°= 60° ∴.易得∠ABD+∠ACD=60°. ∴.∠ACD=60°-∠ABD=60°-a. (2)AD=2DE. 延长CD至点F,使DF=BD,连接 BE.AF. ∠BDC=120°， ∴.∠BDF=180°-∠BDC=60. DF=BD, ∴.△BDF是等边三角形 .BF=DF=BD,∠FBD= ∠BFD=60°. .∠ABF+∠ABD=60°. :∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°， ∴.∠ABF=∠DBC. .·△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC .△ABF2△CBD. .AF=CD,∠BFA=∠BDC= 120°. ∴.∠AFD=∠BFA-∠BFD=6O. 延长DE至点G,使GE=DE,连 接BG. E是BC的中点， .BE=CE. 又∠BEG=∠CED,GE=DE, .△BEG≌△CED. ∴.BG=CD,∠GBE=∠DCE. ∴.BG=AF ∠BDC=120, ∴.∠DCB+∠DBC=60. ∴.∠GBE+∠DBC=60°，即 ∠GBD=60°. ∴.∠GBD=∠AFD=60°. 在△DFA和△DBG中， (DF=DB. ∠AFD=∠GBD, AF-GB, .∴.△DFA≌△DBG ∴.AD=GD=DE+GE=2DE. 8.(1):△ABC是等边三角形 .BC=AB=9 cm. ,点P的速度为2cm/s,时间为ts, .∴.CP=2tcm. .'BP=BC-CP=(9-2t)cm. ,点Q的速度为5cm/s,时间为ts, .'BQ=5t cm. (2)若△PBQ为等边三角形，则 BQ=BP,即51=9-21，解得1= 9 :移动号s时，△PQ为等边三角形 (3)设1s时，点Q与点P第一次 相遇， 根据题意，得5t一2t=9×2,解得 t=6. ∴.6s时，点Q与点P第一次相遇. 当1=6时，点P移动的路程为2X 6=12(cm),而9<12<18，即此时点 P在边AB上. .6s时点P与点Q第一次在 △ABC的边AB上相遇. 9.(1),△ACD和△BCE都是等 边三角形， ∴.AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°， ∠ECB=60. '.∠DCA+∠DCE=∠ECB+ ∠DCE,即∠ACE=∠DCB. 在△ACE和△DCB中， (AC=DC, ∠ACE=∠DCB, CE=CB, ∴.△ACE≌△DCB. .AE=BD. (2)由(1)，得△ACE≌△DCB, ∴.∠CAM=∠CDN. :∠ACD=∠ECB=60°，而A,C,B 三点共线， ,.∠DCN=60 在△ACM和△DCN中， ∠MAC=∠NDC, RAC=DC, ∠ACM=∠DCN=60°， .'.△ACM≌△DCN. .'MC=NC. .∠MCN=60°， '.△MCN为等边三角形 ∴.∠NMC=∠DCN=60°. .∴.∠NMC=∠DCA」 .∴.MN∥AB 10.(1)△ABC,△CDE都是等边 三角形， .AC=BC,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=60° .∠ACB+∠BCD=∠DCE+ ∠BCD. ∴.∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， (AC=BC, X∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE. ∴.AD=BE. (2).·△ACD≌△BCE, .∠AIDC=∠BEC. △CDE是等边三角形， ∴.∠CED=∠CDE=60°. .∴.∠ADE+∠BED=∠ADC+ ∠CDE+∠BED=∠ADC+6O°+ ∠BED=∠CED+60°=60°+ 60°=120° .∠DOE=180°-（∠ADE+ ∠BED)=60° (3)△ACD≌△BCE, '.∠CAD=∠CBE,AD=BE, AC=BC. 又M,N分别是线段AD,BE的 中点， AM-TAD:BN-BE. .'AM=BN. 在△ACM和△BCN中， (AC=BC, ∠CAM=∠CBN, AM=BN, '.△ACM≌△BCN. '.CM=CN,∠ACM=∠BCN 又：∠ACB=60°， '.∠ACM+∠MCB=60° ∴.∠BCN+∠MCB=60. 25 '.∠MCN=60 ∴.△MNC是等边三角形 第4课时含30°角的直角 三角形的性质 1.B2.D3.4 4.(1)AB=BC=AC, .△ABC是等边三角形. ∴.∠C=∠BAC=60°. 又.AC=BA,CD=AE, .∴.△ADC≌△BEA. (2)由(1)知，△ADC2△BEA, .∠CAD=∠ABE ∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°， ∴.∠ABE+∠BAD=60° .∠BPQ=60°. BQ⊥AD, .∠PBQ=30°. .BP=2PQ. 5.C6.D 7.4cm或2cm解析：，△ABC是 边长为6cm的等边三角形，∴.∠B= 60°，AB=BC=6cm.如图①，当 ∠PQB=90时，∠BPQ=90°-60°= BP=2cm CQ= BC-BQ=4cm.如图②，当∠BPQ= 90时，∠Q=90°-60°=30°.∴.BQ= 2BP=8cm.∴.CQ=BQ-BC= 2cm.综上所述，当CQ的长为4cm 或2cm时，△PBQ是直角三角形. B Q CB ① ② (第7题) 8.2解析：如图，过点E作EH⊥ BF于点H,设DE=x.∴.∠EHC= 90°，：△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°， AB=BC=AC.:DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ABC=60°，∠AED= ∠ACB=60°.∴.△ADE是等边三角 形，AD=DE=AE=x.:'BD=4, '.易得EC=BD=4,AB=BC= AC=4+x.在Rt△CHE中， .∠ECH=60°，∴.∠HEC=180° ∠ECH-∠EHC=180°-60° 90°=30°.：EC=4,∴.CH PC=2BH=X-CH=4针 x-2=2十x.:EB=EF,∴.△EBF 是等腰三角形.EH⊥BF,BF=8, .BH=FH=4..2十x=4..x= 2..DE=2. D H C (第8题) 解析：如图，过点F作FH⊥ BC于点H,连接DF.,EF垂直平 分AD,'.AF=DF.设AF=DF x.:∠B=30°，.在Rt△ABC中， AB=2AC=4..'BF=AB-AF= 4一x..在Rt△FHB中，FH= 2BF=2-x,:DF≥FH, ≥2-,解得≥A 长的最小值为亭“BF长的最大值 为4总 B DH (第9题) 10.(1)·△ABC是等边三角形， BD是∠ABC的平分线，点P在 BD上， .易得∠EBP=∠PBC=30° ,PE⊥AB于点E, .∠BEP=90°. &PE=2B即， ,QF为线段BP的垂直平分线， .BP=2BQ=2×2=4. PE=2×4=2 (2)△EFP是直角三角形 理由：，'△ABC是等边三角形，BD 平分∠ABC, ∴.∠ABC=6O°，∠ABP=∠CBD= 30° PE⊥AB, .∠PEB=90 ∴.∠BPE=60. ,QF垂直平分线段BP, .FB=FP. '.∠FBQ=∠FPQ=30° ∴.∠EPF=∠BPE+∠FPQ=9O°. ∴.△EFP是直角三角形 11.D 12.(1)如图①，点E即为所求 ,点A,E关于y轴对称， ∴.OA=OE=2. ∴.E(2,0). (2)如图①，连接BE. .·OA=OE,BO⊥AE, .BA=BE. .AB=20A=AE, .AB=BE=AE. ∴△ABE是等边三角形. ∴.∠BAO=60. (3)如图②，作点A关于y轴的对称 点E,连接BE,设AD交PB于点J. ,易知△PBD,△ABE都是等边三 角形， '.AB=EB,BP=BD,∠PBD= ∠ABE=60° ,∠ABD=∠PBD+∠ABP, ∠EBP=∠ABE+∠ABP, .'.∠ABD=∠EBP. 在△ABD和△EBP中， (AB=EB. ∠ABD=∠EBP, BD=BP, '.△ABD≌△EBP. '.∠ADB=∠EPB ∠AJP=∠DJB, '.∠PAJ=∠DBJ=60° '.∠OAQ=∠PAJ=60°. 26 .∠AOQ=90°， .∠AQ0=30° ∴.AQ=2A0=4. B E ① A E Q ② (第12题) 专题特训五等腰 三角形的“三线合一” 1.(1),AB=AE,D为线段BE的 中点， ∴.AD⊥BC .∠C+∠DAC=90. ∠BAC=90, ∴.∠BAD+∠DAC=90°. ∴.∠C=∠BAD. (2).·EF⊥AE, ∴.∠AEF=90°=∠BAC. AF∥BC, ∴.∠FAE=∠AEB. .AB=AE, ∴.∠B=∠AEB. ∴.∠B=∠FAE. 在△ABC和△EAF中， ∠B=∠FAE AB=EA, ∠BAC=∠AEF, ∴.△ABC≌△EAF. ∴.AC=EF 2.连接AE :∠C=90,∠BAC=60, ∴.∠B=90°-60°=30. DE是AB的垂直平分线， .'AE=BE.