15.2 画轴对称的图形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

即∠BAC=2∠BPC-180°.如图，连 接AO.:O是这个三角形三边的垂 直平分线的交点，∴OA=OB=OC. .'.∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA, ∠OBC=∠OCB.∴.∠AOB=180° 2∠OAB,∠AOC=180°-2∠OAC. ∴.∠BOC=360°-（∠AOB+ ∠A0C)=360°-(180°-2∠OAB+ 180°-2∠OAC)=2∠OAB+ 2∠OAC=2∠BAC=2(2∠BPC 180)=4∠BPC-360. B (第12题) 13.(1)60°. ②)90-a. 解析：'DM,EN 分别垂直平分AC,BC,∴.MA=MC, NB=NC.∴.∠ACM=∠CAM, ∠NCB=∠NBC.又.'在△ABC 中，∠CAM+∠NBC+∠ACM+ ∠NCB+∠CN=180°，.∴.2（∠CAM+ ∠NBC)+∠MCN=180°，即 2(∠CAM+∠NBC)+a=180°. ÷∠CM+∠NBC=2180 a)=90-2a.在△FPMN中， ∠MFN=180°-∠FMN-∠FNM, 易得∠FMN=∠AMD=90° ∠CAM,∠FNM=∠BNE=90° ∠NBC,∴.∠MFN=180°-(90°- ∠CAM)-(90°-∠NBC)=∠CAM+ 2c=0r. (3),△CMN的周长为6cm, .'MC+MN+NC=6 cm. 又.MC=MA,NC=NB, ∴.MA+MN+NB=6cm,即 AB=6 cm. :△FAB的周长为14cm, .'FA+FB+AB=14 cm. .'FA+FB=8 cm. :DF,EF分别垂直平分AC,BC, .FA=FC,FB=FC. '.2FC=8cm. .'FC=4 cm. 15.2画轴对称的图形 1.B2.C3.(6,2) 4.(1)如图，△A,B1C1即为所求. (2)如图所示. (第4题)》 5.A6.C 7.(-6-m,1) 解析：点A(-6,6) 的对称点A'的坐标为(0,6)，.对 称轴为直线x=一3.设点M的对 称点的坐标为（m',n')..易得 m+m' =-3,n′=.'.m'=-6 2 m..点M的对称点的坐标为（一6 m,n). 8.(1)如图①，直线AF即为所求， (2)如图②，直线AG即为所求。 G D D ① ③ (第8题) 9.(1)如图，△A'B'C'即为所求. (2)如图，直线EF即为所求， (3)如图，连接BO,B'O,B"O △ABC和△A'B'C'关于直线MN 对称， '.∠BOM=∠B'OM. 又△A'B'C和△A"BC"关于直线 EF对称， ∴.∠BOE=∠B"OE. 由题意，得∠B'OM+∠B'OE=a, .'.∠BOB"=∠BOM+∠B'OM+ 20 ∠B'OE+∠B"OE=2(∠B'OM+ ∠B'OE)=2a,即∠BOB"=2a. M E N A (第9题) 10.B解析：在网格中作出与△ABC 成轴对称的格点三角形如图所示 ∴.网格中与△ABC成轴对称的格点 三角形一共有3个. (第10题) 11.(1)如图，△A,B,C1即为所求. 点A1,B1,C1的坐标分别为(0,4)， (2,2),(1,1) (2)①当0a≤3时， 点P与点P,关于y轴对称，点P 的坐标为（一a,0), ∴.点P,的坐标为(a,0) 又点P,与点P,关于直线对称 设点P2的坐标为(m,0), m4=3,即m=6-a 2 .点Pg的坐标为(6一a,0) ∴.P1Pg=6-a-a=6-2a. ②当a>3时， 点P与点P,关于y轴对称，点P 的坐标为(-a,0), .点P1的坐标为(a,0). 又点P,与，点P2关于直线1对称， 设点P2的坐标为(n,0), .”十=3，即n=6-a. 2 .点P2的坐标为(6一a,0). ∴.P1P2=a-(6-a)=2a-6. 综上所述，当0<a≤3时，P1P2=6 2a:当a>3时，P1P2=2a-6. (3)当0<a≤3时，易得PP2= PP1+P1P2=2a+6-2a=6. 当a>3时，易得PP2=PP P1P2=2a-(2a-6)=6. 综上所述，PP2的长不会随点P位置 的变化而变化 (第11题) 15.3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.B 3.40°解析：：∠D=110°，∴.∠1十 ∠BCD=180°-∠D=70°.：∠1= ∠2，∴.∠2+∠BCD=∠ACB=70° .AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB= 70°..∠A=180°-70°-70°=40°. 4.,BD=BC,∠DBC=20, 1 ·∠C=∠BDC=2(180° ∠DBC)=80°」 AD-BD, ∴.∠A=∠ABD ,∠BDC=∠A+∠ABD, ·∠A=∠ABD=2∠BDC=40 ,'.∠ABC=∠ABD+∠DBC=60° 5.C解析：OC=CD=DE, '.∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC '.∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC. ,∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE= 78°，.∠ODC=26°.∠CDE+ ∠ODC=180°-∠BDE=102°， ..∠CDE=102°-∠ODC=76°. 6.B解析：设∠BMC=x,∠ANC= y.IBC=BM,.∠BCM= ∠BMC=x.'.∠B=180°-2x. .'AC=AN,'.∠ACN=∠ANC y..∠A=180°-2y.△ABC为 直角三角形，∠ACB=90°，∴.∠A十 ∠B=90°，即180°-2y+180°-2x= 90°..x+y=135°..∠BCM+ ∠ACN=135°.，∴.∠MCN=∠BCM+ ∠ACN-∠ACB=135°-90°=45°. 7.50°解析：如图，连接CE. AB=AC,AD是边BC上的高， ∠BAC=40°，∴.BD=CD,∠ABC= 7180°-∠BAC)=70,∠BAE9 2∠BAC=20.·.AD为BC的垂直 1 平分线.：点E在AD上，BE= CE.又：线段AC的垂直平分线交 AD于点E,交AC于点F,∴.AE= CE..AE=BE.∴.∠ABE= ∠BAE=20°.∴.∠EBD=∠ABC ∠ABE=50°. B D (第7题) 8.67.5°解析：设∠ECF=x .EC=EF,'.∠EFC=∠ECF= x.∴.∠GEF=2x.EF=GF, ∴.∠FGE=∠GEF=2x.∴.∠DFG ∠FGC+∠GCF=3.x.,'DG=GF, '.∠GDF=∠DFG=3.x..'.∠AGD= ∠GDC+∠GCD=4x..'DG=DA, ∴.∠A=∠AGD=4x..∠BDC= ∠A+∠DCA=5.x.BC=BD, ∴.∠BDC=∠BCD=5.x.∴.∠ACB= ∠BCD+∠DCA=6x.:AB=AC, '.∠B=∠ACB=6.x.∠A+ ∠B+∠ACB=180°，∴4x+6.x+ 6x=180°，解得x=11.25°.∴.∠B= 67.5. 9.(1)DE=FB: 理由：，△ACD,△BCE分别是以 AC,BC为底边的等腰三角形， .∠A=∠DCA,∠ECB=∠EBC, 21 CE=BE,AD=CD .EF=AD, .EF=CD. ,∠A=∠EBC, ∴.∠A=∠ECB=∠DCA=∠EBC. ∴.ADCE,DCBE ∴.∠ADC=∠DCE,∠DCE=∠CEB. 在△DCE和△FEB中， (CD=EF, ∠DCE=∠FEB, CE=EB, '.△DCE≌△FEB. .DE=FB. (2)∠BGE=2∠GBC. 理由：由(1)，可知∠A=∠ECB= ∠CBE=a,△DCE≌△FEB. .∠DEC=∠GBE. ·∠GBE=∠CBE-∠GBC=a ∠GBC, ∴.∠DEC=a-∠GBC. .∠BGE+∠DEC+∠EFG=18O°， ∠ECB+∠GBC+∠CFB=18O°， ∠EFG=∠CFB, ∴.∠BGE+∠DEC=∠ECB+ ∠GBC. ∴.∠BGE+a-∠GBC=a+∠GBC. '.∠BGE=2∠GBC. 10.(1)a-3+(b-4)2=0, ∴.a=3,b=4. b-a<c<b+a, .1<c<7. (2)当腰长为3时，此时三角形的三 边长为3,3,4，满足三角形的三边关 系，周长为10. 当腰长为4时，此时三角形的三边长 为4,4,3，满足三角形的三边关系，周 长为11. 综上所述，此三角形的周长为10 或11. (3)当底角为x、顶角为(2x-20)° 时，则根据三角形内角和为180°可得 x+x+2x-20=180,解得x=50,此 时三个内角的度数分别为50°， 50°，80.拔尖特训·数学（人教版）八年级上 15.2i 画轴 自基础进阶 1.作△ABC关于直线MN对称的图形，下列作 法中，正确的是 M B B D. 2.如图，涂色部分是由3个小正方形组成的一 个图形，若在图中剩余的小正方形中选一个 进行涂色，使整个涂色部分成为轴对称图形， 则涂法有 A.2种B.3种C.4种 D.5种 y B (第2题) (第3题) 3.(2023·临沂)如图，某小区的圆形花园中间 有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种 了8棵桂花树，A,B两处桂花树的位置关于 小路对称.若在分别以两条小路为x轴、y轴 的平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6， 2),则点B的坐标为 4.(2024·安徽一模)如图，在由边长为1个单 位长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C 均在格点上（网格线的交点）. (1)画出△ABC关于直线L对称的图形 △A1B1C1. 46 对称的图形 (2)在边AB上找一点D,连接CD,使CD 平分△ABC的面积， (第4题) 幻素能攀升 5.若点P(a,b)与点P'(1,一2)关于x轴对称， 则点A(3a一b,a+b)关于y轴对称的点A 的坐标是 () A.(-1,3) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(5,1) 6.如图，把一张正方形纸片对折三次 后沿虚线剪下，然后展开，则所得的 图形是 (第6题) B. 7.如图，平面直角坐标系中摆放着一个轴对称 图形，其中点A(一6,6)的对称点A'的坐标 为(0,6)，M(m,n)为该轴对称图形上的一 点，则点M的对称点的坐标为 0 (第7题) 8.(2025·南昌东湖期末)如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC,AD=AE,请你只用无刻 度的直尺作出下列图形中等腰三角形ABC 的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）： (1)在图①中，点D,E分别在线段BA, CA上. (2)在图②中，点D,E分别在线段BA,CA 的延长线上， E 刀 ① ② (第8题) 9.△ABC,△A"B"C"及直线MN如图 所示。 (1)作出△ABC关于直线MN对 称的图形△AB'C'(点A,B,C的对应点分 别为A',B',C) (2)若△A'B'C'和△A"B"C关于直线EF对 称，作出直线EF(点A',B,C的对应点分 别为A",B",C) (3)设直线MN与EF相交于点O,求 ∠BOB"与直线MN,EF所夹的锐角a之间 的数量关系， M (第9题) 第十五章轴对称 节思维拓展 10.在如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点（网格线的交点）上，这样的 三角形称为格点三角形，则网格中与△ABC 成轴对称的格点三角形一共有 () (第10题) A.2个B.3个C.4个D.5个 1.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所 示，直线L过点M(3,0)且平行于y轴， (1)作出△ABC关于y轴对称的图形 △A1BC1(点A,B,C的对应点分别为A1, B1,C1),并写出△A1B1C1各顶点的坐标. (2)如果点P的坐标为(-a,0),其中a> 0,点P关于y轴的对称点是P1,点P1关 于直线L的对称点是P2,求PP2的长（用 含a的式子表示). (3)在(2)的条件下，通过计算判断PP,的 长会不会随点P位置的变化而变化， (第11题) 47