15.1 图形的轴对称-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

[变式](1)答案不唯一，如 ∠BAD+∠BCD=18O. (2)如图，过点D作DM⊥BC,交BC 的延长线于点M,DN⊥AB于点N. :BD平分∠ABC,DM⊥BC, DN⊥AB .DM=DN,∠DMB=∠DNB= ∠AND=90. .易得∠ABC+∠MDN=360° 90°-90°=180°. :∠ABC+∠ADC=180, ∴.∠ADC=∠MDN ∴.∠ADC-∠CDN=∠MDN- ∠CDN,即∠ADN=∠CDM. 在△ADN和△CDM中， ∠ADN=∠CDM, RDN=DM, ∠AND=∠CMD, '.△ADN≌△CDM(ASA). .AD-CD. ∴.四边形ABCD是“等邻边四边形” 又：∠ABC+∠ADC=180°， ∴“等邻边四边形”ABCD是“完美等 邻边四边形” M [综合素能提升] 1.D2.B 3.B解析：如图，延长BC至点E, 使CE=AD,连接AE.·∠DAC十 ∠BCA=180°，∠ECA+∠BCA= 180°，.'.∠DAC=∠ECA.在△ADC AC=CA, 和△CEA中， ∠DAC=∠ECA, AD=CE, ∴.△ADC≌△CEA(SAS.∴.∠ACD ∠CAE,CD=AE.:∠BAC+ ∠ACD=90°，.∠BAC+∠CAE= 90°..∠BAE=90°.AB=CD, CD=AE,∴.AB=AE..△ABE是 等腰直角三角形.，△ADC≌△CEA, .S△Ax=S△CA..S国边无AD S△Ax+S△AIx=S△ABC+S△CEA 1 S△AR.2AB·AE=18..AB= AE=6..CD=6. (第3题) 4.35°5.76.66 7.小华的思考过程不正确。 如图，连接BC. 在△ABC和△DCB中， (AB=DC, RAC-DB BC=CB .∴.△ABC≌△DCB(SSS). ∴.∠A=∠D 在△AOB和△DOC中， ∠A=∠D, ∠AOB=∠DOC, AB=DC, ∴.△AOB≌△DOC(AAS). D (第7题) 8.(1)=. (2)添加的条件为a十∠BCA=180° 理由：，∠BEC=∠CFA=a, ∴.∠BEF=180-∠BEC=180°-a. :∠BEF=∠EBC+∠BCE, .'.∠EBC+∠BCE=180°-a. 又：a+∠BCA=180°， ∴.∠BCA=180°-a. ∴.∠BCA=∠BCE+∠FCA= 180°-a. ∴.∠EBC=∠FCA. 在△BCE和△CAF中， ∠BEC=∠CFA, ∠EBC=∠FCA, BC=CA, .'.△BCE≌△CAF(AAS) 17 ∴.BE=CF. 9.AM⊥AN, ∴.∠MAN=90°. 当点D在点A的上方时， .AB平分∠MAN, .∠BAC=∠BAD=45. CB⊥AB, ∴.∠ABC=90°. ∴.∠ACB=45°=∠BAC. ∴.BA=BC,∠BAD=∠BCE=45. '.当AD=CE时，△ADB≌△CEB (SAS). .易得AD=tcm,CE=(6-2t)cm, ∴.t=6-2t. ∴.t=2. ∴.当t=2时，△ADB2△CEB. 当点D在点A的下方时，易得 ∠BAD=∠BCN=135°. BA=BC, ∴.当AD=CE且，点E在射线CN上 时，△ADB≌△CEB(SAS). AD=t cm,CE=(2t-6)cm, ∴.21-6=t,解得t=6. 综上所述，满足条件的1的值为2或6. 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 第1课时轴对称及其性质 1.C2.D3.A(或C)4.300 5.C解析：如图，与△ABC成轴对 称且以格点为顶点的三角形有 △BAG,△FDC,△AFE,△DBH, △GCB,共5个. (第5题) 6.A解析：如图，连接AB',BB',过 点A作AE⊥CD于点E.点B关 于AC的对称，点B'恰好落在CD上， ∴.易得AB=AB',∠BAC B'AC..AB=AD,.'.AD=AB' 又AE⊥CD,∴.易得∠DAE ∠BAC.易得∠CAE=∠BAD 50°.又：∠AEC=90°，易得 ∠ACB=∠ACB'=90°-50°=40°. o B (第6题) 7.B解析：连接OP1,OP2,P,P2 点P关于直线AB,CD的对称点 分别是P1,P2,∴.易得OP,=OP= 4,OP2 =OP=4..OP-OP2< P1P2<OP1+OP2,∴.0<P1P2<8. .点P,,P2之间的距离可能是7. 8.C解析：如图，易得小球每经过 6次反弹为一个循环..2024÷6= 337(个)…2（次），.第2024次碰 到长方形的边时的点为图中的M, (第8题) 9.80° 10.(1)a+2∠B=90°.解析：.∠C 90°，∴.∠CAB+∠B=90°，即a+ ∠NAB+∠B=90°.点A,B关于 直线MN对称，，.易得∠NAB ∠B...a+2∠B=90 (2)·△ABC的周长为24， .'AC+BC+AB=24. :BC=专AC,AB=号AC ·AC+专AC+号AC=24,解得 AC=6. .AC的长为6 11.B解析：，△OAB与△ODC都 是等腰三角形，且它们关于直线（对 称，∴.△OAB≌△ODC..∠AOB= ∠COD.E,F分别是底边AB,CD 的中点，∴.易得∠AOE=∠BOE= 2∠A0B,∠OF=∠D0F 3∠c00.:∠A0E=∠0E ∠COF=∠DOF.OE⊥OF, ∴.∠BOE+∠BOF=90.:∠BOE= ∠DOF,∴.∠DOF+∠BOF=90. ∴.OB⊥OD.故A正确.由已有条件 无法证明∠BOC=∠AOB.故B错 误.△OAB≌△ODC,∴.OB= OC,∠B=∠C..'∠BOE=∠COF, ∴.△OBE≌△OCF.∴.OE=OF.故 C正确.由选项A的分析知，OB⊥ OD,∴.∠BOC+∠COD=90°①. :OE⊥OF,∴.∠COF+∠EOC= 90°.∠COF=∠AOE,∴.∠AOE+ ∠E0C=90.∴.OC⊥OA.'.∠AOB+ ∠BOC=90°②.①+②，得∠BOC+ ∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，即 ∠BOC+∠AOD=180°.故D正确. 12.连接A'A交BC于点D,延长 A'A交B'C'于点E. 点A关于BC的对称点为A', .DA'=DA,AA'⊥BC. :点B关于AC的对称点为B', ∴.BA=BA,BB⊥AC. ,点C关于AB的对称点为C, ∴.AC=AC,CC'⊥AB. ∴.易得∠BAC=∠BAC'=90. 在△ABC和△AB'C'中， (AB=AB', ∠BAC=∠B'AC', AC-AC', ∴.△ABC≌△AB'C'. .BC=B'C',∠B=∠AB'C, S△Ax=S△ABC. .BC//B'C'. AA'⊥BC, .易得AE⊥B'C',S△Ax= 1 BC· AD. &S=BC'·AE. .'AD=AE. '.A'E=3AD. .SARc=B'C·A'E=2 1 BC·3AD=3S△Ax=3X1=3. 18 第2课时线段的垂直平分线 1.B2.D 3.40°解析：ED是AC的垂直平 分线，∴.AE=EC.∴.∠EAC=∠C. :∠ABC=90°，∠BAE=10, ∴.∠EAC+∠C=∠AEB=180°- ∠BAE-∠ABC=80°.∴.∠EAC= ∠C=40°. 4.过点D作DE⊥AB于点E,则 ∠AED=90°. :∠C=90°， ∴.∠AED=∠C=90°. AD平分∠BAC, .∠EAD=∠CAD. 在△AED和△ACD中， :∠AED=∠C,∠EAD=∠CAD, AD-AD, .△AED2△ACD. ∴.AE=AC. .AB=2AC, ∴.AB=2AE. .BE=AE. 又，DE⊥AB, ,'.DE所在的直线是线段AB的垂直 平分线。 .点D在线段AB的垂直平分线上 一方法归纳 证明一条直线是某条线段的 垂直平分线的条件 (1)存在两点：直线上有两个 不同的点 (2)到两端，点的距离相等：两点 到线段两个端点的距离分别相等. 根据两点确定一条直线，推导 出这两个点所在的直线就是这条 线段的垂直平分线。 5.C解析：如图，连接AO.,l1垂 直平分AB,l2垂直平分AC,∴.AO= BO,AO=CO.∴.∠OBA=∠OAB, ∠CCA=∠OAC..∠OAB+∠OAC= ∠BAC=78°，.∴.∠OBA+∠OCA= ∠OAB+∠OAC=78°..∠ABC+ ∠ACB=180°-∠BAC=180°- 78°=102°，∴.∠OBC+∠OCB= ∠ABC-∠OBA+∠ACB-∠OCA= 102°-78°=24°..AO=B0,A0= CO,.BO=CO..∠OBC= ∠OCB=12. B- (第5题) 6.C解析：如图，连接CE.线段 AB,DE的垂直平分线交于点C, ∴CA=CB,CE=CD.易得 ∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC= ∠BAC,.∠ACB=∠ECD=36. ∴.易得∠ACE=∠BCD.在△ACE CA=CB, 和△BCD中，3∠ACE=∠BCD, CE=CD, ∴.△ACE≌△BCD.∴.∠AEC= ∠BDC.设∠AEC=∠BDC=a,则 ∠BDE=∠EDC-∠BDC=72°-a, ∠CEB=∠AEB-∠AEC=92°-a. ∴.∠BED=∠DEC-∠CEB=72° (92°-a)=a-20.∴.在△BDE中， ∠EBD=18O°-∠BDE-∠BED= 180°-(72°-a)-(a-20°)=128. D (第6题) 7.1<m<5解析：：AD=3,AC 5,DE垂直平分BC,∴.BD=CD= 5-3=2..AD-BD<AB<AD+ BD,.3-2<m<3+2,即1< m<5. 8.∠ANM=∠B解折：在线段 BC上取一点N',使得BN'=CD.连 接AN,DN',MN.AB+CD BC,CN'+BN'=BC,..CN'=AB. ∠B=∠C,∴.△ABN'≌△N'CD. ∴.AN'=N'D,∠BAN'=∠CN'D. ,M为AD的中点，∴.AM=MD. 又MN'=MN',.△AMN'≌ △DMN'.∴.∠AMN'=∠DMN'. .∠AMN'+∠DMN'=180°， ∴.∠AMN'=∠DMN'=90. .MN⊥AD.,MN⊥AD,.点 N与点N'重合.：∠ANC= ∠AND+∠DNC=∠B+∠BAN, ∴.∠AND=∠B.NA=ND, NM⊥AD,易证Rt△AMN≌ Rt△DMN,∴.∠ANM=∠DNM. ∴.∠AND=2∠ANM..∠ANM= 2<B. 9.(1)19解析：，BD垂直平分线 段AE,.BA=BE,DA=DE.又 AB=6,.BE=6.△DEC的 周长为7，即DE+CE+CD=7, ∴.AC+EC=AD+DC+EC= DE+DC+EC=7.∴.△ABC的周长 为AB+BC+AC=AB+BE+EC+ AC=6+6+7=19. (2)75°解析：BD垂直平分线段 AE,.AB BE,DA DE, ∠AFB=90°.∴.∠BAE=∠BEA. :∠ABD=15,.∠BEA= ∠BAE=180°-90°-15°=75°.又 :∠C=45°，∴.∠CAE=75°-45= 30°..DA=DE,,.∠DEA= ∠DAE=30°.∴.∠CED=180° 75°-30°=75°. 10.(1)如图，直线EF,线段DF即 为所求 (2)线段AE与DF平行且相等. 理由：，直线EF为线段AD的垂直 平分线， .OA=OD,AF=DF. .∠DAF=∠ADF. ,AD平分∠BAC, '.∠BAD=∠FAD .∠BAD=∠ADF. .AE∥DF」 ∠AOE=∠DOF, .△AOE≌△DOF .AE=DF. 19 '.线段AE与DF平行且相等 E 2 D (第10题) 11.(1)如图，连接CD. ,DG是BC的垂直平分线， .BD=CD :DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分 ∠BAC, ∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=9O°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， (BD=CD, DE=DF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF. .BE=CF. (2)由(1)，得BE=CF,设BE= CF=x. :DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠DEA=∠DFA=90. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， (AD=AD, DE=DF, ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF. .AE=AF. AB=15,AC=9, .15-x=9+x,解得x=3. ∴.BE=3. E B D (第11题) 12.4∠BPC-360°解析：BP平 分∠ABC,CP平分∠ACB,∴.∠PBC 1 1 ∠ABC,∠PCB=Z∠ACB. ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)= 180-(2∠ABc+7∠ACB） 180-2(ZABC+∠ACB)=180 218-∠BAC)=90+Z∠BAC, 即∠BAC=2∠BPC-180°.如图，连 接AO.:O是这个三角形三边的垂 直平分线的交点，∴OA=OB=OC. .'.∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA, ∠OBC=∠OCB.∴.∠AOB=180° 2∠OAB,∠AOC=180°-2∠OAC. ∴.∠BOC=360°-（∠AOB+ ∠A0C)=360°-(180°-2∠OAB+ 180°-2∠OAC)=2∠OAB+ 2∠OAC=2∠BAC=2(2∠BPC 180)=4∠BPC-360. B (第12题) 13.(1)60°. ②)90-a. 解析：'DM,EN 分别垂直平分AC,BC,∴.MA=MC, NB=NC.∴.∠ACM=∠CAM, ∠NCB=∠NBC.又.'在△ABC 中，∠CAM+∠NBC+∠ACM+ ∠NCB+∠CN=180°，.∴.2（∠CAM+ ∠NBC)+∠MCN=180°，即 2(∠CAM+∠NBC)+a=180°. ÷∠CM+∠NBC=2180 a)=90-2a.在△FPMN中， ∠MFN=180°-∠FMN-∠FNM, 易得∠FMN=∠AMD=90° ∠CAM,∠FNM=∠BNE=90° ∠NBC,∴.∠MFN=180°-(90°- ∠CAM)-(90°-∠NBC)=∠CAM+ 2c=0r. (3),△CMN的周长为6cm, .'MC+MN+NC=6 cm. 又.MC=MA,NC=NB, ∴.MA+MN+NB=6cm,即 AB=6 cm. :△FAB的周长为14cm, .'FA+FB+AB=14 cm. .'FA+FB=8 cm. :DF,EF分别垂直平分AC,BC, .FA=FC,FB=FC. '.2FC=8cm. .'FC=4 cm. 15.2画轴对称的图形 1.B2.C3.(6,2) 4.(1)如图，△A,B1C1即为所求. (2)如图所示. (第4题)》 5.A6.C 7.(-6-m,1) 解析：点A(-6,6) 的对称点A'的坐标为(0,6)，.对 称轴为直线x=一3.设点M的对 称点的坐标为（m',n')..易得 m+m' =-3,n′=.'.m'=-6 2 m..点M的对称点的坐标为（一6 m,n). 8.(1)如图①，直线AF即为所求， (2)如图②，直线AG即为所求。 G D D ① ③ (第8题) 9.(1)如图，△A'B'C'即为所求. (2)如图，直线EF即为所求， (3)如图，连接BO,B'O,B"O △ABC和△A'B'C'关于直线MN 对称， '.∠BOM=∠B'OM. 又△A'B'C和△A"BC"关于直线 EF对称， ∴.∠BOE=∠B"OE. 由题意，得∠B'OM+∠B'OE=a, .'.∠BOB"=∠BOM+∠B'OM+ 20 ∠B'OE+∠B"OE=2(∠B'OM+ ∠B'OE)=2a,即∠BOB"=2a. M E N A (第9题) 10.B解析：在网格中作出与△ABC 成轴对称的格点三角形如图所示 ∴.网格中与△ABC成轴对称的格点 三角形一共有3个. (第10题) 11.(1)如图，△A,B,C1即为所求. 点A1,B1,C1的坐标分别为(0,4)， (2,2),(1,1) (2)①当0a≤3时， 点P与点P,关于y轴对称，点P 的坐标为（一a,0), ∴.点P,的坐标为(a,0) 又点P,与点P,关于直线对称 设点P2的坐标为(m,0), m4=3,即m=6-a 2 .点Pg的坐标为(6一a,0) ∴.P1Pg=6-a-a=6-2a. ②当a>3时， 点P与点P,关于y轴对称，点P 的坐标为(-a,0), .点P1的坐标为(a,0). 又点P,与，点P2关于直线1对称， 设点P2的坐标为(n,0), .”十=3，即n=6-a. 2第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 第1课时 轴对称及其性质 基础进阶 幻素能攀升 1.新考向·地方文化(2024·扬州)“致中和，天 5.(2024·河池凤山期末)如图，在2×2的方格 地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见.下列 纸中，有一个以格点为顶点的△ABC,则与 图形中，是轴对称图形的为 ( △ABC成轴对称且以格点为顶，点的三角形 共有 () A.3个B.4个 C.5个D.6个 D B. (第5题) (第6题) C D. 6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,点B关 2.下列图形中，对称轴的条数最多的是( 于AC的对称点B'恰好落在CD上.若 ∠BAD=100°，则∠ACB的度数为( A.40°B.45°C.60°D.80 B. 7.如图，直线AB,CD相交于点O,P为这两条 直线外一点，连接OP,点P关于直线AB, CD的对称点分别是P1,P2.若OP=4,则点 D. P,P2之间的距离可能是 ( 3.新考向·传统文化(2024·甘肃)围棋起源于 A.0 B.7 C.9 D.10 我国，古代称为“弈”.如图所示为两名同学的 AP 部分对弈图，点A,B,C,D位于棋盘的格点 D 0 上，现轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落 P2 子于点 的位置，那么所得的对弈图是 (第7题) (第8题) 轴对称图形（填写A,B,C,D中的一处即可）. 8.如图，弹性小球从点P出发，沿图中 所示的方向运动，每当小球碰到长 方形的边时反弹，反弹时反射角等 于入射角.记小球第1次碰到长方形的边时 (第3题) (第4题) 的点为Q,第2次碰到长方形的边时的点为 4.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF M,第3次碰到长方形的边时的点为N… 所在的直线是它的对称轴.如果∠AFC十 以此类推，第2024次碰到长方形的边时的 ∠DCF=150°，那么∠AFE+∠BCD= 点为图中的 () A.P B.Q C.M D.N 42 第十五章轴对称 9.在△ABC中，将∠B,∠C按如图所示的方式 思维拓展 折叠，使点B,C均落在边BC上的点G处， 11(2024·福建)小明用两个全等的等腰三角 线段MN,EF为折痕.若∠A=80°，则 形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其 ∠MGE的度数为 中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它 们关于直线1对称，E,F分别是底边AB, CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是 Bi- NG (第9题) A.OB⊥OD 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，点 B.∠BOC=∠AOB M,N分别在边AB,BC上，且点 C.OE=OF A,B关于直线MN对称，连接 D.∠BOC+∠AOD=180° (第11题) AN. 12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点A关于 (1)若∠CAN=a,则∠B与a之间的数量 BC的对称点为A',点B关于AC的对称点 关系为 为B',点C关于AB的对称点为C,连接 (2)若BC=号AC.AB=号AC,且△AC AB',A'C,AC',B'C,A'B',B'C',A'C'. S△ABC=1,求S△AB'C. 的周长为24，求AC的长 M (第12题) (第10题) 43 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时 线段的垂直平分线 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交 5.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线 AC于点D,垂足为E,连接BD.如果△DBC L1,l2相交于点O,连接OB,OC.若∠BAC 的周长为10cm,BC=4cm,那么AC的长为 78°，则∠OBC的度数为 () ( A6° B.8° C.12°D.16 A.5 cm B.6 cm C.7cm D.9 cm D B (第5题) (第6题) (第1题) (第3题) 6.如图，线段AB,DE的垂直平分线交于点C, 2.下列命题中，逆命题是真命题的为 ( 且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则 A.如果两个直角三角形全等，那么它们的斜 ∠EBD的度数为 边相等 A.168°B.158°C.128° D.118 B.如果两个数的商为一1，那么这两个数互 7.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交 为相反数 AC于点D,交BC于点E,连接BD.若 C.如果a=b,那么a2=b2 AD=3,AC=5,设AB的长为m,则m的取 D.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个 值范围是 三角形两腰上的高相等 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ED是 AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于 E 点E,连接AE.若∠BAE=10°，则∠C的度 (第7题) (第8题) 数为 8.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C,AB十 4.*如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB CD=BC,M为AD的中点，MN⊥AD交 2AC,AD平分∠BAC,交BC于点D.求证： BC于点N,连接AN,DN,则∠ANM与 点D在线段AB的垂直平分线上 ∠B的数量关系是 9.如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，连 接AE,BD垂直平分线段AE,垂足为F,交 AC于点D,连接DE (第4题) (第9题) (1)若AB=6,△DEC的周长为7，则 △ABC的周长为 44 第十五章轴对称 (2)若∠ABD=15°，∠C=45°，则∠CED的m思维拓展 度数为 12.(2024·雅安雨城段考)已知△ABC是三边 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC 都不相等的三角形，P是三个内角的平分线 (1)尺规作图：作线段AD的垂直平分线 的交点，O是三边的垂直平分线的交点，当 EF,垂足为O,分别交AB,AC于点E,F. 点P,O同时在不等边三角形ABC的内部 连接DF(保留作图痕迹，不要求写作法). 时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是 (2)在(1)的条件下，猜想线段AE与DF的 ∠BOC= 关系，并说明理由 D (第12题) (第10题) 13.如图，在△ABC中，DM,EN分别I 垂直平分AC,BC,交AB于M,N 两点，DM与EN的延长线相交于 点F,连接CM,CN. (1)若∠ACB=120°，则∠MCN的度数为 (2)若∠MCN=a,则∠MFN的度数为 (用含a的式子表示). 11.如图，∠BAC的平分线与BC的垂 (3)连接FA,FB,FC.若△CMN的周长为 直平分线DG相交于点D,连接 6cm,△FAB的周长为14m,求FC的长， BD,过点D作DE⊥AB于点E DF⊥AC交AC的延长线于点F. (1)求证：BE=CF (2)若AB=15,AC=9,求BE的长 (第13题) B D (第11题) 45