第14章 全等三角形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

即×4BG+2×8BG=15,解得 1 EG=EH=号 六BF=m=号 ·.△ABE的面积=号AB·EF= 1 G DH (第12题) 第十四章整合拔尖 [高频考点突破] 典例165 [变式]409 典例2(1)，四边形ABCD是长 方形， .AB=DC,∠B=∠C=90° E是BC的中点， .'BE=CE 在△ABE和△DCE中， (AB=DC, ∠B=∠C, BE=CE, ∴.△ABE≌△DCE(SAS). (2)由(1)，得△ABE≌△DCE, ∴.∠BAE=∠CDE. 又由长方形ABCD可知，∠BAD= ∠CDA=90°， .'.∠BAD-∠BAE=∠CDA- ∠CDE,即∠EAD=∠EDA. [变式](1)·∠BAC=∠FAG, .∠BAC-∠CAD=∠FAG ∠CAD,即∠BAF=∠CAG. 在△ABF和△ACG中， ∠BAF=∠CAG, AB=AC, ∠ABF=∠ACG, ∴.△ABF≌△ACG(ASA). (2).'△ABF2△ACG, ∴.AF=AG,BF=CG. .AB=AC,AD⊥BC, ∴.易得∠BAF=∠CAD. ∠BAF=∠CAG, ∴.∠CAD=∠CAG. 在△AEF和△AEG中， (AF=AG, ∠FAE=∠GAE, AE-AE, .'.△AEF≌△AEG(SAS) ∴.EF=EG. ∴.BE=BF+EF=CG+EG. 典例3(1)如图，延长DC至点F, 使CF=AD,连接BF ∠ABE=60°， .∠A+∠E=120. ∠ADB=∠BDC=6O, ∴∠CDE=60°. .∴.∠DCE+∠E=120° ∴.∠A=∠DCE=∠BCF. 又：AB=CB,AD=CF, .∴.△ABD≌△CBF(SAS). ,'.BD=BF,∠ABD=∠CBF :∠ABC=∠ABD+∠DBC=60, ∴.∠DBF=∠DBC+∠CBF=6O. 又：∠BDF=60, ∴.易得BF=DF. ∴.BD=DF. CF+CD=DF, ∴.AD+CD=BD (2).'BD=AD+CD,CD-=2DH, .BD-AD+2DH-AH+DH. .7=6+DH. .DH=1. (典例3图) [变式](1)如图，BE,CE分别 是∠ABC和∠BCD的平分线， .∠1=∠2，∠3=∠4. 又：ABCD, ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180°. .∴.∠2+∠3=90. .'.∠BEC=180°-∠2-∠3=90. 16 .BE⊥CE (2)如图，在BC上取点F,使BF= BA,连接EF. (BA=BF, 在△ABE和△FBE中，∠1=∠2， BE=BE, ∴.△ABE≌△FBE(SAS). .∠A=∠5. AB//CD, ∴.∠A+∠D=180°. ∴.∠5+∠D=180. :∠5+∠6=180°， .∠6=∠D. ∠6=∠D, 在△CFE和△CDE中，∠3=∠4， CE=CE, .△CFE≌△CDE(AAS). .CF=CD. BC=BF+CF, ∴.BC=BA+CD D E 5△6 B 典例4如图，过点P作PE⊥OA于 点E,PF⊥OB于点F .∠PEC=∠PFD=90 ,OM是∠AOB的平分线， .PE=PF. .∠AOB=90°，∠CPD=90°， ∴.易得∠PCE+∠PDO=360°- 90°-90°=180. ∠PDO+∠PDF=180°， ∴.∠PCE=∠PDF. 在△PCE和△PDF中， ∠PCE=∠PDF, ∠PEC=∠PFD, PE=PE. ∴.△PCE≌△PDF(AAS). .'PC=PD. A EP O DF B (典例4图) [变式](1)答案不唯一，如 ∠BAD+∠BCD=18O. (2)如图，过点D作DM⊥BC,交BC 的延长线于点M,DN⊥AB于点N. :BD平分∠ABC,DM⊥BC, DN⊥AB .DM=DN,∠DMB=∠DNB= ∠AND=90. .易得∠ABC+∠MDN=360° 90°-90°=180°. :∠ABC+∠ADC=180, ∴.∠ADC=∠MDN ∴.∠ADC-∠CDN=∠MDN- ∠CDN,即∠ADN=∠CDM. 在△ADN和△CDM中， ∠ADN=∠CDM, RDN=DM, ∠AND=∠CMD, '.△ADN≌△CDM(ASA). .AD-CD. ∴.四边形ABCD是“等邻边四边形” 又：∠ABC+∠ADC=180°， ∴“等邻边四边形”ABCD是“完美等 邻边四边形” M [综合素能提升] 1.D2.B 3.B解析：如图，延长BC至点E, 使CE=AD,连接AE.·∠DAC十 ∠BCA=180°，∠ECA+∠BCA= 180°，.'.∠DAC=∠ECA.在△ADC AC=CA, 和△CEA中， ∠DAC=∠ECA, AD=CE, ∴.△ADC≌△CEA(SAS.∴.∠ACD ∠CAE,CD=AE.:∠BAC+ ∠ACD=90°，.∠BAC+∠CAE= 90°..∠BAE=90°.AB=CD, CD=AE,∴.AB=AE..△ABE是 等腰直角三角形.，△ADC≌△CEA, .S△Ax=S△CA..S国边无AD S△Ax+S△AIx=S△ABC+S△CEA 1 S△AR.2AB·AE=18..AB= AE=6..CD=6. (第3题) 4.35°5.76.66 7.小华的思考过程不正确。 如图，连接BC. 在△ABC和△DCB中， (AB=DC, RAC-DB BC=CB .∴.△ABC≌△DCB(SSS). ∴.∠A=∠D 在△AOB和△DOC中， ∠A=∠D, ∠AOB=∠DOC, AB=DC, ∴.△AOB≌△DOC(AAS). D (第7题) 8.(1)=. (2)添加的条件为a十∠BCA=180° 理由：，∠BEC=∠CFA=a, ∴.∠BEF=180-∠BEC=180°-a. :∠BEF=∠EBC+∠BCE, .'.∠EBC+∠BCE=180°-a. 又：a+∠BCA=180°， ∴.∠BCA=180°-a. ∴.∠BCA=∠BCE+∠FCA= 180°-a. ∴.∠EBC=∠FCA. 在△BCE和△CAF中， ∠BEC=∠CFA, ∠EBC=∠FCA, BC=CA, .'.△BCE≌△CAF(AAS) 17 ∴.BE=CF. 9.AM⊥AN, ∴.∠MAN=90°. 当点D在点A的上方时， .AB平分∠MAN, .∠BAC=∠BAD=45. CB⊥AB, ∴.∠ABC=90°. ∴.∠ACB=45°=∠BAC. ∴.BA=BC,∠BAD=∠BCE=45. '.当AD=CE时，△ADB≌△CEB (SAS). .易得AD=tcm,CE=(6-2t)cm, ∴.t=6-2t. ∴.t=2. ∴.当t=2时，△ADB2△CEB. 当点D在点A的下方时，易得 ∠BAD=∠BCN=135°. BA=BC, ∴.当AD=CE且，点E在射线CN上 时，△ADB≌△CEB(SAS). AD=t cm,CE=(2t-6)cm, ∴.21-6=t,解得t=6. 综上所述，满足条件的1的值为2或6. 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 第1课时轴对称及其性质 1.C2.D3.A(或C)4.300 5.C解析：如图，与△ABC成轴对 称且以格点为顶点的三角形有 △BAG,△FDC,△AFE,△DBH, △GCB,共5个. (第5题) 6.A解析：如图，连接AB',BB',过 点A作AE⊥CD于点E.点B关 于AC的对称，点B'恰好落在CD上， ∴.易得AB=AB',∠BAC B'AC..AB=AD,.'.AD=AB'拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第十四章整合拔尖 知识体系构建 全等形的 能够完全重合的两个图形叫作全等形 概念 全等三角形 定义。能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” 对应顶点 相关概念 对应边 对应角 全等三角 对应边相等 形的性质 对应角相等 全等三角形对应边上的中线、高、对应角平分线对应相等 相关结论 全等三角形 全等三角形的周长相等，面积相等 全等三角 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 形的判定 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角 AAS 边”或“AAS” SSS 三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” 尺规作图 用直尺和圆规完成作图叫作尺规作图 般三角形的判定方法 直角三角形的判定 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 9]高频考点突破 考点一全等三角形的性质 典例1 如图，△ABC≌ D 变式]如图，△ABC≌△ADE, △ADE,BC的延长线分别交 BC的延长线交DA于点F,交 A AD,DE于点F,G,且∠DAC= DE于点G.如果∠AED=105°， 10°，∠B=∠D=25°，∠EAB= B ∠CAD=15°，∠B=50°，那么∠DGF (典例1图) 120°，则∠DGB的度数为 的度数为 38 第十四章全等三角形 考点二全等三角形的判定与性质 典例3如图①，在△ABE中，∠ABE=60°，C 典例2（2024·无锡改编)阅读材料： 为边BE上的一点，且AB=BC,D为边AE上 我们在小学阶段学过长方形，其特点是两组对 的一点，连接BD,CD,∠ADB=∠BDC=60°. 边平行且相等，并且相邻两边互相垂直，由此可 (1)求证：AD+CD=BD. 得，长方形的四个内角都是90°. (2)如图②，过点C作CH⊥AE于点H.若 知识应用： BD=7,AH=6,CD=2DH,求DH的长. 如图，在长方形ABCD中，E是BC的中点，连 接AE,DE.求证： (1)△ABE≌△DCE. (2)∠EAD=∠EDA. (典例3图) E (典例2图) [变式]如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC 于点D,E为边AC上一点，连接BE交AD于 [变式]如图，ABCD,BE平分∠ABC,CE平 点F,G为△ABC外一点，满足∠ABF= 分∠BCD.若点E在AD上，求证： ∠ACG,∠BAC=∠FAG,连接EG.求证： (1)BE⊥CE (1)△ABF≌△ACG. (2)BC=BA+CD. (2)BE=CG+EG. 39 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 考点三角的平分线 [变式]我们把至少有一组邻边相等的四边形定 典例4如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的 义为“等邻边四边形”，把对角互补的“等邻边四 平分线，将一个直角的顶点P在射线OM上滑 边形”定义为“完美等邻边四边形”. 动，两直角边分别与OA,OB交于点C,D.求 (1)如图①，在“完美等邻边四边形”ABCD中， 证：PC=PD. AD=CD,∠ABC十∠ADC=180°.请你结合图 形，写出“完美等邻边四边形”ABCD的一条 性质. (2)如图②，在四边形ABCD中，若∠ABC+ 0D ∠ADC=180°，连接BD,BD平分∠ABC,求 (典例4图)》 证：四边形ABCD是“完美等邻边四边形”， 综合素能提升 1.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,∠DAC十 ) ∠BCA=180°，∠BAC+∠ACD=90°，且四边 A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF 形ABCD的面积是18，则CD的长为() B.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E 36 B.6 C. D.9 C.∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF A.2 5 D.BC=EF,AC=DF,∠A=∠D 2.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C= 62°，∠BDE=75°，则∠AFD的度数为( A.309 (第3题) (第4题) 4.如图，△CBE≌△DAE,连接AB,∠ABE= B.32° 65°，∠BAD=30°，则∠CBE的度数为 C.33 D.35 (第2题) 40 第十四章全等三角形 5.如图，B,C,D三点共线，AC=BE,AC⊥ (2)如图②，若0°<∠BCA<180°，请添加 BE,∠ABC=∠BDE=90°，AB=12,CD= 个关于a与∠BCA之间数量关系的条件，使 5,则DE的长为 (1)中的结论仍然成立，并说明理由， (第5题) (第6题) (2 (第8题) 6.把两把大小相同的含45°角的三角尺ACF和 三角尺CFB按如图所示的方式摆放，点D在 边AC上，点E在边BC上，且∠CFE=12°， ∠CFD=33°，则∠DEC的度数为 7.(2024·宁波鄞州段考)某产品的商标如图所 示，O是线段AC,DB的交点，且AC=BD, AB=DC,小华认为图中的两个三角形全等， 他的思考过程如下： .·AC=DB,∠AOB=∠DOC,AB=DC, 9.(2025·石家庄辛集期末改编)如图 .△AOB≌△DOC. 直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过 你认为小华的思考过程正确吗？如果正确， 点B作BC⊥BA交AN于点C.动 指出他是用哪个基本事实判定三角形全等 点D,E同时从点A出发，其中动点E以 的；如果不正确，写出你的思考过程 2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D以 1cm/s的速度在直线AM上运动.已知 AC=6cm,设动点D,E的运动时间为ts.当 B 动点D在直线AM上运动时，若△ADB与 (第7题) △BEC全等，求t的值 (第9题) 8.已知直线CD经过∠BCA的内部 CA=CB,点E,F在射线CD上，且 ∠BEC=∠CFA=a. (1)如图①，若∠BCA=90°，a=90°，则BE CF(填“>”“<”或“=”). 41