第14章 专题特训4 全等三角形中的动态问题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训四 全等三 类型一单动点与全等三角形 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 7cm,BC=5cm,CD为边AB上的高，点E 从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度 移动 (1)求证：∠A=∠BCD, (2)过点E作BC的垂线，交直线CD于点 F,当CF=AB时，点E移动了多长时间？ 请给出结论并说明理由. (第1题) 34 角形中的动态问题 类型二双动点与全等三角形 2.(2024·遂宁期末)如图，在△ABC中，AB= AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点. 点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B 向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C 向点A运动. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度 相等，经过1s,△BPD与△CQP是否全等？ 请说明理由， (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度 不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使 △BPD与△CQP全等？ (第2题) 类型三线动与全等三角形 3.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线 MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥ MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到如图①所示的 位置时，求证： ①△ADC≌△CEB. ②DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到如图②所示的 位置时，问题(1)中的结论还成立吗？请判断 并说明理由 (第3题) 第十四章全等三角形 类型四形动与全等三角形 4.将两个全等的直角三角形ABC, DBE按如图①所示的方式摆放.其 中，∠ACB=∠DEB=90°，∠A= ∠D=30°，点E落在AB上，DE所在的直线 交AC所在的直线于点F. (1)求证： ①CF=EF ②AF+EF=DE. (2)若将图①中的△DBE绕，点B按顺时针 方向旋转a,且0°<α<60°，其他条件不变，如 图②.请你判断(1)中的两个结论是否成立， 并说明理由. (3)若将图①中△DBE绕点B按顺时针方 向旋转3，且60°<3<180°，其他条件不变，如 图③.请你写出此时AF,EF与DE之间的 数量关系，并加以证明. D ② (第4题) 356.B解析：.∠1=∠ABE+ ∠BAE,∠1=∠BAC,∴.∠BAC= ∠ABE+∠BAE.'∠BAC= ∠BAE+∠CAF,.∠ABE= ∠CAF.∠1=∠2，∴.易得 ∠AEB=∠CFA.在△ABE和△CAF ∠AEB=∠CFA, 中，∠ABE=∠CAF,∴.△ABE≌ AB=CA, △CAF(AASX.∴.S△AE=S△cAF. ∴.S△CAF+S△BmDE=S△ABR+S△BE= S△Am.:CD=2BD,△ABC的面积 1 为21，.易得S△Am=3SaMx=7, 即△CAF与△BDE的面积之和是7. 7.DE+CD=AE解析：，AB⊥ BC,CD⊥BD,AE⊥BD,∴.∠ABC= ∠D=∠AEB=90°.∴.∠ABE+ ∠CBD=∠C+∠CBD=90°. ∴.∠ABE=∠C.在△ABE和△BCD 「∠AEB=∠D, 中，∠ABE=∠C,∴.△ABE≌ AB=BC, △BCD(AAS)..∴.BE=CD,AE= BD...DE=BD-BE=AE-CD. .DE+CD=AE 8.(I)EF=BE+FD.解析：如图 ①，延长CB到点G,使BG=DF,连 接AG.∠ABE=90,.∠ABG= 90°.在△ABG和△ADF中， AB-AD, ∠ABG=∠D=90°，.△ABG≌ BG=DF, △ADF(SAS)..AG=AF,∠1= ∠2.∴.易得∠1+∠3=∠2+∠3= 1 ∠BAD=∠EAR.·∠EAG= ∠EAF.在△AEG和△AEF中， AG=AF, ∠EAG=∠EAF,.∴.△AEG≌ AE-AE, AAEF(SAS)..'EG=EF..'EG= BE+BG,∴.EF=BE+FD. (2)问题(I)中的结论EF=BE+FD 仍然成立. 理由：如图②，延长CB到点G,使 BG=DF,连接AG ,∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ ∠ABC=180°， ∴.∠ABG=∠D. 在△ABG和△ADF中， AB-AD. ∠ABG=∠D, BG=DF, ∴.△ABG≌△ADF(SAS). .∴.AG=AF,∠1=∠2 ∴.易得∠1十∠3=∠2+∠3 Z∠BAD=∠EAF ∴.∠EAG=∠EAF. 在△AEG和△AEF中， AG-AF, ∠EAG=∠EAF, AE-AE, ∴.△AEG2△AEF(SAS). .EG=EF」 EG=BE+BG, .'EF=BE+FD. (3)EF=BE+FD EF=BE-FD 或EF=FD一BE. B E ① A不 13 G ② (第8题) 专题特训四全等 三角形中的动态问题 1.(1)CD为边AB上的高， ∴.CD⊥AB,即∠ADC=90. .∠A+∠ACD=90°. ,∠ACB=90°， .'.∠BCD+∠ACD=90 '.∠A=∠BCD. (2)当CF=AB时，点E移动了6 13 或1s. 理由：如图，当点E在射线BC上移动 时，过点E作EF⊥BC,交直线CD 于点F,则∠CEF=90. ∠A=∠BCD,∠BCD=∠ECF, ∴.∠A=∠ECF 在△CFE和△ABC中， ∠CEF=∠ACB=90°， ∠ECF=∠A, CF=AB, ∴.△CFE≌△ABC(AAS). ∴.CE=AC=7cm. ∴.BE=BC+CE=12cm. .点E移动了12÷2=6(s. 当点E在射线CB上移动时，过点E 作EF'⊥BC,交直线CD于点F' 同理，可得△CF'E'≌△ABC(AAS). .'CE'=AC=7 cm. .BE'=CE'-BC=2 cm. ∴.点E移动了2÷2=1(s) 综上所述，当CF=AB时，点E移动 了6s或1s. (第1题) 2.(1)△BPD与△CQP全等. 理由：经过1s,BP=3cm,CQ=3cm, PC=BC-BP=8-3=5(cm). D为AB的中点，AB=10cm, .BD=AB=5 cm. ∴BD=PC. 过，点A作AM⊥BC于点M,则 ∠AMB=∠AMC=90. 在Rt△AMB和Rt△AMC中， (AB=AC, AM-AM. ∴.Rt△AMB≌Rt△AMC(HI). ∴.∠B=∠C. 在△BPD和△CQP中， BD=CP, ∠B=∠C, BP=CQ, .△BPD≌△CQP(SAS). (2)设点Q的运动速度为xcm/s (x≠3)，经过ts,△BPD与△CQP 全等，则PB=3tcm,PC=(8-3t)cm, CQ=xt cm. 由(1)知，∠B=∠C 根据“SAS”判定三角形全等可知，分 两种情况讨论： ①当BD=PC且BP=CQ时，8 3t=5且3t=xt,解得t=1,x=3. x≠3， ∴.此种情况不符合题意，舍去. ②当BD=CQ且BP=CP时，5=xt 且=8-81，解得1-青-里 故若点Q的运动速度与点P的运动 速度不相等，当点Q的运动速度为 1 4cm/s时，能使△BPD与△CQP 全等 3.(1)①∠ACB=90°，AD⊥ MN,BE⊥MN, .∠ACD+∠ECB=90°，∠ADC= ∠CEB=90° '.∠DAC+∠ACD=90. ∴.∠DAC=∠ECB. 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS). ②△ADC≌△CEB, ∴CD=BE,AD=CE. ∴.DE=CE+CD=AD+BE. (2)△ADC≌△CEB成立，DE= AD+BE不成立， 理由：，∠ACB=90°，AD⊥MN, BE⊥MN, '.∠ACD+∠ECB=90°，∠ADC= ∠CEB=90. .∴.∠DAC+∠ACD=90° ∴.∠DAC=∠ECB. 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS) .CD=BE,AD=CE. ∴.DE=CE-CD=AD-BE. ∴.△ADC≌△CEB成立，DE AD+BE不成立. 4.(1)①如图①，连接BF. :易知△ABC≌△DBE, ∴.BC=BE,AC=DE. ∠ACB=∠DEB=90, ∴.∠BCF=∠BEF=90°. 在Rt△BFC和Rt△BFE中， (BF=BF, BC=BE, '.Rt△BFC≌Rt△BFE(HL). .CF=EF. ②.'CF=EF,AF+CF=AC, .AF+EF=AC=DE. (2)(1)中的两个结论成立. 理由：如图②，连接BF ,△ABC≌△DBE, .BC=BE,AC=DE,∠ACB ∠DEB=90°」 ∴.∠BEF=90°. 在Rt△BCF和Rt△BEF中， BF=BE BC=BE .Rt△BCF≌Rt△BEF(HI). .CF=EF. .AF+EF=AF+CF=AC=DE .(1)中的两个结论成立. (3)AF=DE+EF」 如图③，连接BF. ,△ABC≌△DBE, ∴.BC=BE,AC=DE. ∠ACB=∠DEB=90°， .∠BCF=∠BEF=90°. 在Rt△BCF和Rt△BEF中， BE=BE, BC=BE, '.Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). 14 .CF=EF. ∴.AF=AC+CF=DE+EF. ② ③ (第4题) 14.3角的平分线 1.B2.C3.3 4.如图，过点O作OE⊥AB于点E, OF⊥AC于点F,连接OA :O是∠ABC,∠ACB平分线的 交点， ∴.OE=OD,OF=OD,即OE= OF=OD=3. '.S△Ax=S△A0+S△xO十S△ACD= AB,0E+BC0D+2AC· OF=号X3X(AB+BC+AC)自 2×3×20=30. 1 B C D (第4题) 5.C6.D 7.54°解析：如图，过点P作PF⊥ BA,交BA的延长线于点F,PN⊥ BD于点N,PM⊥AC于点M.设 ∠PCD=x°.：CP平分∠ACD, ∴.∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN. ∴.∠ACD=∠ACP+∠PCD=2x. BP平分∠ABC,∴.∠ABP= ∠PBC,PF=PN..PF=PM.又 PF⊥BA,PM⊥AC,∴.AP平分 ∠FAC..∠FAP=∠CAP.