第13章 三角形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

∠AKG,∠DHG,∠FGK是△GKH 的外角， .易得∠AKG+∠DHG+ ∠FGK=360. .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=360. 6.A7.220 8.·'∠ABC和∠ACB的三等分线 分别交于点E,D,F,G, ∴.∠CBG=∠EBG=∠ABE= 1 3 ∠ABC,∠BCF=∠ECF=∠ACE= 3∠ACcB, 在△BCG中，∠BGC=118°， .'.∠CBG+∠BCE=180° ∠BGC=62. .∠CBG+2∠BCF=62①. 在△BCF中，∠BFC=132°， ..∠BCF+∠CBF=180° ∠BFC=48. ∴.∠BCF+2∠CBG=48②， ①+②，得3∠BCF+3∠CBG= 110°. ∴.∠A=180°-(3∠BCF+ 3∠CBG)=70. 9.D 易错警示 三角形一边上的高的两解性 如果条件是三角形及一边上 的高，且题目未给出图形，那么极 有可能分为锐角三角形与钝角三 角形两种情形。 10.(1)∠BAC=90°，AE⊥BC, ∴.∠CAF+∠BAF=90°，∠B+ ∠BAF=90°. ∴.∠CAF=∠B. 由折叠的性质可知，∠B=∠E, .∠CAF=∠E. .DE//AC. (2)①·∠C=2∠B,∠C+ ∠B=90°， ∴.易得∠C=60,∠B=30° .DE⊥BC,∠E=∠B=30, .'.∠BFE=60 ,∠BFE=∠B+∠BAF, .∠BAF=30. 由折叠的性质可知，∠BAD=x°= z∠BAF=15, ..x=15. ②存在 :∠BAD=x°， ∴.易得∠FDE=(120-2x)°， ∠DFE=(2.x+30)°」 当∠FDE=∠DFE时，120-2x= 2x十30，解得x=22.5. 当∠DFE=∠E=30°时，2.x+30= 30,解得x=0. 0<x<60, 不合题意，舍去 当∠FDE=∠E=30时，120-2x= 30,解得x=45, 综上所述，存在x=22.5或45，使得 △DEF中有两个角相等. 第十三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：设第三边的长为 x..5-2<x<5+2,即3<x<7 ,△ABC的第三边的长是偶数， .x=4或x=6.∴.此三角形的周长 为2+5+4=11或2+5+6=13. [变式]D 典例2在△ABC中，∠B=60, ∠C=30° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C= 180°-30°-60°=90°」 :AE是△ABC的角平分线， ·∠BAE=7∠BAC=45 .AD是△ABC的高， ,.∠ADB=90° ∴.在△ADB中，∠BAD=90° ∠B=90°一60°=30°」 ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD= 45°-30°=15°. [变式]如图.∠ACB=90°， ∴.∠1+∠3=90°. 6 CD⊥AB, .∠2+∠4=90° 又.BE平分∠ABC, .∠1=∠2. .∠3=∠4. ∠4=∠5， ∴.∠3=∠5，即∠CEF=∠CFE. D 典例3(1)150°. (2)∠BDC+∠BAC=2∠BEC. 理由：由题意，得∠BDC=∠BEC十 ∠1+∠2①，∠BEC=∠BAC+ ∠ABE+∠ACE②. ·BE平分∠ABD,CE平分∠ACD, ∴.∠ABE=∠1，∠ACE=∠2. ①-②，得∠BDC-∠BEC= ∠BEC-∠BAC. ∴.∠BDC+∠BAC=2∠BEC. (3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. 理由：I=号∠ABD,∠2= 3∠ACD, 2 .∠ABE= 3 ∠ABD,∠ACE= 3∠ACD. ·'由题意知，∠BEC=∠BAC+ ∠ABE+∠ACE=∠BAC+ 号∠ABD+号∠ACDO,∠BC ∠BAC+∠ABD+∠ACD②， ∴.②十①，得∠BDC+∠BEC= 2∠BAC+号∠ABD+ ∠ACD. ∴.3∠BDC+3∠BEC=6∠BAC+ 5∠ABD+5∠ACD. ∴.3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+ 5(∠BAC+∠ABD+∠ACD). .3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+ 5∠BDC. '.2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. [变式](1)∠A=50, ..∠ABC+∠ACB=180°- ∠A=130°. BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ·∠MBC=3∠ABC,∠MCB 3∠AB. ∴.∠CMD=∠MBC+∠MCB= (∠ABC+∠ACB)=65 (2).∠A=60° ∴.∠ABC+∠ACB=180°- ∠A=120° 同理(1)，得∠MBC+∠MCB= 2(∠ABC+∠ACB)=60 ∴.∠BMC=180°-（∠MBC+ ∠MCB)=120°. ∴.∠1+∠BMN=120①. ,MN⊥BC, .∠2+∠BMN=90②. ①-②，得∠1-∠2=30° (3)60°++y 3 解析：如图，易得 ∠BMC=180°- 合（∠ABC+ ∠ACB)=180-7180°-∠A) 90+号∠A.∠A=2∠BMC 180°.，易知∠4=∠5，∠6=∠7， ∠BEC=∠A+∠6，∠BDC=∠A+ ∠4，∴.x=∠A+∠7①，y=∠A十 ∠5②.①+②，得x+y=2∠A十 (∠7+∠5).，∠7+∠5=180° ∠BMC,∴.x+y=4∠BMC-360°+ 180°-∠BMC.∴.∠BMC=60°+ x十y 3 M B ⊙C [综合素能提升] 1.A2.A 3.C解析：如图，连接CD并延长， 交AB于点E.∠BDE是△BCD 的外角，∠ADE是△ACD的外角， ∴.∠BDE=∠DBC+∠BCD, ∠ADE=∠CAD+∠ACD. ∴.∠BDE+∠ADE=∠DBC+ ∠BCD+∠CAD+∠ACD,即 ∠ADB=∠DBC+∠CAD+ ∠ACB.'.∠CAD=∠ADB ∠DBC-∠ACB=100°-25°-53°= 22.AD是∠BAC的平分线， ∴.∠BAD=∠CAD=22°.在△ABD 中，∠BAD=22°，∠ADB=100, .∠DBA=180°-∠BAD- ∠ADB=180°-22°-100°=58. D-- B (第3题) 4.22°解析：在△ABC中， ∠B=36°，∠C=80°，∴.∠BAC= 180°-∠B-∠C=180°-36°-80°= 64.:AD平分∠BAC,.∠BAD= ∠CAD=7∠BAC=7×64=32 FE⊥BC,.∠DEF=90. :∠ADB是△ACD的外角，∠ADB 是△DEF的外角，∴.∠ADB= ∠CAD+∠C=∠F+∠DEF,即 32°+80°=∠F+90°..∠F=22°. 5.70°解析：：将△CBD沿CD折 叠，使点B怡好落在边AC上的点E 处，∠ACB=90°，∴.∠BCD= ∠BCD=∠ACB=45,∠B ∠CED.,∠A=25,∴.∠B=90° ∠A=90°-25°=65°..∠CED= 65.∴.∠CDE=180°-∠ECD- ∠CED=180°-45°-65°=70°. 6.6<a<12 7.②③解析：CD平分∠ACF, ∠ACF=∠ABC+∠BAC,.∠ACD= ∠DCP=∠ACP=G∠ABC+ 号∠BAC,:BE平分∠ABC, 7 .∠ABD=∠CBD=2 ∠ABC. ∴.∠DCF=∠DBC+∠BDC= ∠ABC+∠BDC.:∠BAC ∠BDC,即∠BAC=2∠BDC.故①错 误.：CE平分∠ACB,∴.∠ACE= 2∠ACB.:∠ACB+∠ACF= 180°，∴.∠ACE+∠ACD=90°，即 ∠ECD=90°.∴.∠BEC=∠ECD+ ∠CDB=90°+∠CDB.:CD∥AB, ∴.∠CDB=∠ABD..∠BEC= 90°+∠ABD.故②正确.：BD平分 ∠CBA,.∴.∠CBA=2∠ABD= 2∠CDB.:∠BAC=2∠BDC, ∴.∠CAB=∠CBA.故③正确.综上 所述，正确的为②③. 8.(1):a,b,c分别为△ABC的三 边长，a+b=3c-2,a-b=2c-6, 3c-2>c，即 2c>2, t|2c-6<c, -c<2c-6<c, 解得2<c<6. (2)△ABC的周长为18，a十b= 3c-2, ∴.a+b+c=4c-2=18,解得c=5. 9.(1)①110. ②260°. (2)①85. ②142°. ③'易得∠DOC+∠D=∠DAC+ ∠C, .∠D=∠DAC+∠C-∠DOC. .AD,OD分别是∠BAC,∠BOC 的平分线， .∠DAC=2∠BAC,∠DOC= ∠C∠AC+∠B+∠C ∠D=2 1 ∠BAC+∠C- 2(ZBAC+∠B+∠C)=7∠C 2∠B=7(∠C-∠B 10.(1)①BP,CP分别平分 △ABC的外角∠CBM和∠BCN, ·∠PBC=∠PBM=∠CBM 2(∠BAC+∠ACB)=2(a+B. 1 1 1 ∠BCP=2∠BCN=2(180° ∠ACB)=2180-8, .∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP= 180-7a+8)-2180- 1 90°-2a. ②BD⊥AP, .∠BDP=90. 在Rt△PBD中，∠PBD=90° ∠BPD. AP平分∠BAC, ∴.∠BPD=∠PBM-∠BAP= ∠PBM-2∠BAC=2(a+9) 1 1 2a=2月 ·∠PBD=90-7R (2)①补全图形如图所示. ②(1)中的两个结论发生了变化. ∠BAC=a,∠ACB=B, ∴.∠ABC+∠ACB=180°-a, ∠ABC+∠BAC=180°-B. ,P为△ABC的三条内角平分线的 交点， .∠PBC= ∠ABC,∠PCB= 1 ∠ACB. 1 :∠PB+∠PCB=3(∠ABC+ ∠ACB) ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+ ∠PCB)=180°- ·(∠ABC+ 1 ∠ACB)=180°-z×(180°-a)= ,由题意知，BD⊥AD, .∠PDB=90 :易知∠BPD=∠ABP+∠BAP= 合∠ABc+∠BAC)=(Is0 =90°-, '.∠PBD=180°-∠PDB-∠BPD= 180°-90°-(90°-3B）=7A D (第10题) 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.C2.653.60 4.(1)△ABC≌△DEB, .BC=EB=3,AB=DE. .AB=AE+EB=2+3=5, ∴.DE=AB=5. (2).·△ABC2△DEB, .∴.∠A=∠D=35°，∠DBE= ∠C=50°. ,∠AFD=∠A+∠AEF,∠AEF= ∠D+∠DBE, ∴.∠AFD=∠A+∠D+∠DBE= 35°+35°+50°=120° 5.B6.B7.B8.180°9.20 10.△ADE≌△BDE, .AE=BE. ∴.C△ABx=AE+EC+AC=BE+ EC+AC=BC+AC. AC:AB:BC=2:3:4, .设AC=2x,则AB=3x,BC=4x. ,△ABC的周长比△AEC的周长 大6， ∴.C△Ax-C△ABC=6. .(AB+BC+AC)-(BC+AC)=6. '.AB=3x=6,解得x=2. .∴.AC=2x=4,BC=4x=8. ∴.C△Am=BC+AC=8+4=12. 11..'△BKC≌△BKE≌△DKC, ∠BKC=135°，∠E=22°， 8 '.∠DCK=∠E=22°，∠BKE= ∠DKC=∠BKC=135. ∴.∠DKP=∠BKC+∠DKC+ ∠BKE-360°=45 ∴.∠EKC=∠DKC-∠DKE= 135°-45°=90°. ∴.∠KPD=∠PCK+∠PKC= 22°+90°=112° 12.A解析：如图，延长C'D交AC 于点M.,△ADC≌△ADC', △AEB2△AEB',.∴.∠ACD= ∠C',∠ABE=∠B',∠CAD= ∠C'AD=∠B'AE=a.∴.∠C'MC= ∠C'+∠C'AM=∠C'+2a. C'DEB',∴.∠AEB'=∠C'MC. :∠AEB'=180°-∠B'-∠B'AE 180°-∠B′-a,∴.∠C'+2a 180°-∠B-a..∠C'+∠B'= 180°-3a.∠BFC=B=∠BDF+ ∠DBF,∠BDF=∠DAC+∠ACD, ∴.∠BFC=B=∠DAC+∠ACD+ ∠B′=a+∠ACD+∠B'=a十 ∠C+∠B'=a+180°-3a=180°- 2a,即2a+3=180. D B∠ (第12题) 13.设AE与DC交于点P. ∠1：∠2：∠3=13：3：2， ∴.易得∠1=130°，∠2=30，∠3= 20. ,△ABE≌△ADC≌△ABC, ∴.∠DCA=∠E=∠3=20°， ∠EAB=∠1=130. ∴.∠PAC=360°-2∠1=100°. .∠EPD=∠APC=180° ∠PAC-∠DCA=60°」 ∴.∠EOC=180°-∠EPD-∠E= 180°-60°-20°=100° 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定两个 三角形全等 1.C2.①3.①③④拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第十三章整合拔尖 知识体系构建 三角形的 边，角，顶点 有关概念 三角形按边分类 三边都不相等的三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 与三角形 三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边 有关的线段 高 中线 一角形 角平分线 三角形的 三角形的内角和等于180° 内角与外角 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的性质与判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形的外角 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形具有稳定性 稳定性 9]高频考点突破 考点一○三角形的三边关系 △ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数. 典例1在△ABC中，有两边长分别是2和5， 且△ABC的第三边的长是偶数，则此三角形的 周长为 A.11 B.12 C.13 D.11或13 (典例2图) [变式](2023·宁波期末)现有长度分别是30cm 和25cm的两根木棒，如果不改变木棒的长度， [变式]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为 要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架， AB边上的高，BE平分∠ABC,分别交CD,AC 那么下列长度的木棒中，不能选取的是() 于点F,E,求证：∠CEF=∠CFE, A.10cm的木棒 B.30cm的木棒 C.50cm的木棒 D.70cm的木棒 考点二三角形的内角和 典例2(2024·济南天桥期中)如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是 16 第十三章三角形 考点三三角形的外角 [变式]如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC, 典例3如图①，运用三角形外角的性质不难得 CE平分∠ACB,BD与CE相交于点M 到结论：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD. (1)若∠A=50°，求∠CMD的度数. 我们可以运用这个结论解决同类图形的角度 (2)如图②，若MN⊥BC于点N,∠A=60°，求 问题 ∠1一∠2的度数， (1)若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则 (3)若∠BEC=x,∠BDC=y,则∠BMC= ∠BDC的度数为 (用含x,y的式子表示) (2)若BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,BE 与CE相交于点E,请写出∠BDC,∠BEC和 ∠BAC之间的数量关系，并说明理由， (3)如图②，若∠1=3∠ABD,∠2=号∠ACD, ② 试探究∠BDC,∠BEC和∠BAC之间的数量关 系，并说明理由 ① ② (典例3图) 17 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 综合素能提升 1.把12cm长的铁丝截成三段，首尾顺次相接，7.(2024·济南商河期末改编)如图，在△ABC 围成三边长均不相等的三角形，且使三边长 中，BE,CE,CD分别平分∠ABC,∠ACB, 均为整数，截法有 ∠ACF,ABCD,有下列结论：①∠BDC= A.一种 B.两种 ∠BAC;②∠BEC=90°+∠ABD: C.三种 D.四种 ③∠CAB=∠CBA.其中，正确的为 2.(2025·抚顺期中)在Rt△ABC中，∠C= (填序号). 90°，∠A:∠B=1:2,则两个锐角的度数为 ) A.30°和60 B.45°和45 (第7题)》 C.40°和80° D.以上说法都不对 8.(2025·商洛商南段考)已知a,b,c分别为 3.如图，AD是∠BAC的平分线，∠ADB= △ABC的三边长，且满足a十b=3c-2,a一 100°，∠DBC=25°，∠C=53°，则∠DBA的 b=2c-6. 度数为 (1)求c的取值范围 A.52°B.42°C.58°D.32° (2)若△ABC的周长为18，求c的值. (第3题) (第4题) 4.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分 线，点F在射线AD上，FE⊥BC于点E, ∠C=80°，∠B=36°，则∠F的度数为 5.(2024·商丘睢阳期末)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将△CBD 沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的 点E处.若∠A=25°，则∠CDE 9.【模型规律】如图①，延长CO交AB D (第5题) 于点D,则∠BOC=∠1+∠B= 6.已知△ABC的两边长分别为3和7，第三边 ∠A十∠C十∠B.因为凹四边形 的长是关于r的方把a十1的年则a ABOC形如箭头，其四角具有“∠BOC= ∠A十∠B十∠C”这个规律，所以我们把这 的取值范围是 个模型叫作“箭头四角形”. 18 第十三章三角形 【模型应用】(1)①如图②，∠A=60°，∠B=10.在△ABC中，记∠BAC=a 20°，∠C=30°，则∠BOC的度数为 ∠ACB=B. ②如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ (1)如图①，若AP平分∠BAC, ∠F的度数为 BP,CP分别平分△ABC的外角∠CBM (2)①如图④，∠ABO,∠ACO的平分线 和∠BCN,BD⊥AP于点D. B01,CO1交于点O1.若∠BOC=120°， ①用含α的式子表示∠BPC的度数 ∠A=50°，则∠BO1C的度数为 ②用含B的式子表示∠PBD的度数 ②如图⑤，∠ABO,∠BAC的平分线BD, (2)如图②，若P为△ABC的三条内角平 AD交于点D.若∠BOC=120°，∠C=44°， 分线的交点，且BD⊥AP于点D: 则∠ADB的度数为 ①请补全图形 ③如图⑥，∠BAC,∠BOC的平分线AD, ②(1)中的两个结论是否发生变化？如果 OD交于点D,求∠B,∠C,∠D之间的数量 不变，请说明理由；如果变化，请直接写出正 关系。 确的结论。 B ① (第10题) ⑤ (第9题) 19