第13章 专题特训2 三角形中的数学思想方法-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训二三角形 类型一方程思想 1.如图，在△ABC中，∠A=∠ACB,CD是 △ACB的角平分线，CE是△ABC的高.若 ∠DCE=48°，则∠ACB的度数为() A.28 B.29° C.30° D.32° 43 E 2 B D C (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1= ∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC的度 数为 3如图，在△ABC中∠C=∠AC=号∠A, BD是边AC上的高.求∠DBC的度数， (第3题) 14 中的数学思想方法 类型二转化思想 4.(2025·荆州松滋期中)如图，在△ABC中， AD是边BC上的中线，△ADC的周长比 △ABD的周长多5cm,AB与AC的和为 13cm,求AC的长. (第4题) 5.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F的度数 (第5题) 类型三整体思想 6.如图，将一张四边形纸片ABCD沿MN折 叠，使点A,D分别落在点A1,D1处.若∠1十 ∠2=130°，则∠B+∠C的度数为() A.115°B.130°C.135°D.150° A EX D D A. (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB, AC上.如果∠A=40°，那么∠1+∠2的度数为 8.如图，在△ABC中，∠ABC和 ∠ACB的三等分线分别交于点E D,F,G.若∠BFC=132 ∠BGC=118°，求∠A的度数 B≤ (第8题) 类型四分类讨论思想 9.易错题在△ABC中，∠ABC=∠C,BD是 AC边上的高，∠ABD=30°，则∠C的度数为 A.30° B.90° C.30°或90° D.30°或60° 第十三章三角形 10.在△ABC中，∠BAC=90°，D是I BC上一点，将△ABD沿AD翻折 后得到△AED,边AE交射线BC 于点F, (1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC. (2)若∠C=2∠B,∠BAD=x°(0<x< 60). ①如图②，当DE⊥BC时，求x的值， ②是否存在x的值，使得△DEF中有两个 角相等？若存在，求出x的值；若不存在，请 说明理由， 入 (第10题) 15·∠E,=(得) B D (第11题) 专题特训一三角形内、 外角的平分线的夹角探究 1.20 2.∠APB的度数不变. 理由：：△AOB的角平分线AC与 BD交于点P, :∠PAB=2 ∠OAB,∠PBA= 2∠OBA. &∠PAB+∠PBA=-号∠OAB+ 2∠OBA=号（∠0AB+∠OBA)- 2CI80-∠A0B)=90-7∠A0B. ∴.∠APB=180°-（∠PAB+ ∠PBA)=180°-(90°-2∠A0B)= 90+2∠A0B. ,∠AOB=80°， ·∠APB=90+7×80=130,即 随着点A,B位置的变化，∠APB的 度数不变，始终为130. 3.(1)50°.解析：∠ABC, ∠ACB的三等分线交于点O1,O2, 六∠0，c-号∠AC,∠0.0B= 号∠ACB,B0,平分∠0，BC,00, 平分∠OCB.∴.易得OO1平分 ∠BO2C..∴.∠O2BC+∠O2CB= 号（∠ABC+∠ACB)=号XIs0 ∠A)=号×(180-609)=号 2 120°=80°.∴.∠B02C=180° (∠O2BC+∠O2CB)=180°-80°= 10o.∠B0.0,=2∠0，C= 3×100=50 (2)∠2是△O2O1B的外角， ∴.∠2=∠1+∠O1B02. ,∠1=115°，∠2=135， ∴.∠01B02=∠2-∠1=135° 115°=20°. 由题意知，BO2,BO1是∠ABC的 三等分线， ∴.∠O1BC=∠O,BO2=20°，∠ABC= 3∠O1B02=3×20°=60°. ∴.∠O1CB=180°-∠2-∠O1BC= 180°-135°-20°=25°. :CO1是∠ACB的平分线， ∴.∠ACB=2∠O,CB=2X25°= 50. ∴.∠A=180°-∠ABC-∠ACB= 180°-60°-50°=70°. 4.D5.B6.90 7.(1)①45. ②不发生变化 理由：由题意知，AD平分∠BAO, BC平分∠ABN, .∠BAD=2 ∠BAO,∠CBA= 合∠NBA :∠CBA=∠D+∠BAD, ∴.∠D=∠CBA-∠BAD= 2∠NBA-2∠BAO=2(∠NBA 1 ∠BAO)=2∠MON,. ∠MON=90, .∠D=45. .∠D的度数不发生变化. (2)由(1)②知，∠D=∠CBA- ∠BAD. :∠CBA=3∠ABN,∠BAD= 3∠BA0, ·∠D=号∠ABN-子∠BA0= 3(∠ABN-∠BAO)=寸∠MON. ,∠MON=90°， 5 '.∠D=30° (3a 8.59°解析：在△ABC中，∠C= 62°，.∠ABC+∠BAC=180° 62°=118°.∴.∠DAB+∠EBA= 180°-∠BAC+180°-∠ABC= 242°.AG,BG分别平分∠DAB, ∠EBA,.∠BAG+∠ABG= 1 2∠DAB+2∠EBA=2(∠DAB+ ∠EBA)=2 1 242°=121°.∴.∠G 180°-（∠BAG+∠ABG)=180° 121°=59°」 专题特训二三角形 中的数学思想方法 1.A2.24 3.设∠A=x,则∠C=∠ABC= 2. :BD是边AC上的高， ∴.∠ADB=∠CDB=90°. ∴.∠ABD=90°-∠A=90°-x, ∠DBc=0°-∠C=90°-2x. :'∠ABD+∠DBC=∠ABC, 090-x十90-号=号x,解得 -3 x=45 ∠DBC=90°-∠C=90°-3 = 22.5. 4.AD是△ABC的边BC上的 中线， .CD=BD △ADC的周长比△ABD的周长 多5cm, ∴.AC+CD+AD-(AB+BD+ AD)=5 cm. .AC-AB=5cm①. 又AB+AC=13cm②， ∴.①+②，得2AC=18cm ∴.AC=9cm. 5..∠AKG=∠A+∠B,∠DHG= ∠C+∠D,∠FGK=∠E+∠F, ∠AKG,∠DHG,∠FGK是△GKH 的外角， .易得∠AKG+∠DHG+ ∠FGK=360. .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=360. 6.A7.220 8.·'∠ABC和∠ACB的三等分线 分别交于点E,D,F,G, ∴.∠CBG=∠EBG=∠ABE= 1 3 ∠ABC,∠BCF=∠ECF=∠ACE= 3∠ACcB, 在△BCG中，∠BGC=118°， .'.∠CBG+∠BCE=180° ∠BGC=62. .∠CBG+2∠BCF=62①. 在△BCF中，∠BFC=132°， ..∠BCF+∠CBF=180° ∠BFC=48. ∴.∠BCF+2∠CBG=48②， ①+②，得3∠BCF+3∠CBG= 110°. ∴.∠A=180°-(3∠BCF+ 3∠CBG)=70. 9.D 易错警示 三角形一边上的高的两解性 如果条件是三角形及一边上 的高，且题目未给出图形，那么极 有可能分为锐角三角形与钝角三 角形两种情形。 10.(1)∠BAC=90°，AE⊥BC, ∴.∠CAF+∠BAF=90°，∠B+ ∠BAF=90°. ∴.∠CAF=∠B. 由折叠的性质可知，∠B=∠E, .∠CAF=∠E. .DE//AC. (2)①·∠C=2∠B,∠C+ ∠B=90°， ∴.易得∠C=60,∠B=30° .DE⊥BC,∠E=∠B=30, .'.∠BFE=60 ,∠BFE=∠B+∠BAF, .∠BAF=30. 由折叠的性质可知，∠BAD=x°= z∠BAF=15, ..x=15. ②存在 :∠BAD=x°， ∴.易得∠FDE=(120-2x)°， ∠DFE=(2.x+30)°」 当∠FDE=∠DFE时，120-2x= 2x十30，解得x=22.5. 当∠DFE=∠E=30°时，2.x+30= 30,解得x=0. 0<x<60, 不合题意，舍去 当∠FDE=∠E=30时，120-2x= 30,解得x=45, 综上所述，存在x=22.5或45，使得 △DEF中有两个角相等. 第十三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：设第三边的长为 x..5-2<x<5+2,即3<x<7 ,△ABC的第三边的长是偶数， .x=4或x=6.∴.此三角形的周长 为2+5+4=11或2+5+6=13. [变式]D 典例2在△ABC中，∠B=60, ∠C=30° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C= 180°-30°-60°=90°」 :AE是△ABC的角平分线， ·∠BAE=7∠BAC=45 .AD是△ABC的高， ,.∠ADB=90° ∴.在△ADB中，∠BAD=90° ∠B=90°一60°=30°」 ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD= 45°-30°=15°. [变式]如图.∠ACB=90°， ∴.∠1+∠3=90°. 6 CD⊥AB, .∠2+∠4=90° 又.BE平分∠ABC, .∠1=∠2. .∠3=∠4. ∠4=∠5， ∴.∠3=∠5，即∠CEF=∠CFE. D 典例3(1)150°. (2)∠BDC+∠BAC=2∠BEC. 理由：由题意，得∠BDC=∠BEC十 ∠1+∠2①，∠BEC=∠BAC+ ∠ABE+∠ACE②. ·BE平分∠ABD,CE平分∠ACD, ∴.∠ABE=∠1，∠ACE=∠2. ①-②，得∠BDC-∠BEC= ∠BEC-∠BAC. ∴.∠BDC+∠BAC=2∠BEC. (3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. 理由：I=号∠ABD,∠2= 3∠ACD, 2 .∠ABE= 3 ∠ABD,∠ACE= 3∠ACD. ·'由题意知，∠BEC=∠BAC+ ∠ABE+∠ACE=∠BAC+ 号∠ABD+号∠ACDO,∠BC ∠BAC+∠ABD+∠ACD②， ∴.②十①，得∠BDC+∠BEC= 2∠BAC+号∠ABD+ ∠ACD. ∴.3∠BDC+3∠BEC=6∠BAC+ 5∠ABD+5∠ACD. ∴.3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+ 5(∠BAC+∠ABD+∠ACD). .3∠BDC+3∠BEC=∠BAC+ 5∠BDC. '.2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. [变式](1)∠A=50,