第13章 专题特训1 三角形内、外角的平分线的夹角探究-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训一三角形内、外角的平分线的夹角探究 类型一三角形两内角的平分线的夹角 3.(1)如图①，在△ABC中，∠A= 60°，∠ABC,∠ACB的三等分线交 模型示例：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD 于点O1,O2,连接O1O2,则 平分∠ACB. ∠BOO1的度数为 (2)如图②，在△ABC中，∠ABC的三等分 线分别与∠ACB的平分线交于点O1,O2.若 ∠1=115°，∠2=135°，求∠A的度数： 结论：∠D=90+∠A. 1.如图，在△ABC中，BF,CF分别是∠ABC, ∠ACB的平分线.若∠F=100°，则∠A的度 数为 ② (第3题) (第1题) 2.如图，∠MON=80°，点A,B分别在射线 OM,ON上移动，△AOB的角平分线AC与 BD交于点P.随着点A,B位置的变化， ∠APB的度数是否会变化？若不变，请说明 理由；若变化，请求出变化范围. D AM 类型二三角形一内角的平分线与一外角的 (第2题) 平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE 平分△ABC的外角∠ACM. 2∠A 结论：∠E= 12 第十三章三角形 4.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的 平分线与∠ACD的平分线交于点A1, ∠BAD=3∠BAO,求∠D的度数 ∠A1BC的平分线与∠ACD的平分线交于 (3)在图①的基础上，若∠MON=a,其余条 点A2…∠Aw-1BC的平分线与∠A,-1CD 件不变，随着点A,B的运动（如图③），则 的平分线交于点A.设∠A=a,则∠A,的 ∠D= (用含a的式子表示) M 度数为 (第4题) ① ② ③ (第7题) A.a 5.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线 BE交于点E,BG是△ABC的外角平分线， AD的延长线与BG相交于点G,则∠ADC 与∠GBF的度数和为 () A.120°B.135°C.150°D.160° 类型三三角形两外角的平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BF,CF分别平分 (第5题) (第6题) △ABC的外角∠CBP,∠BCQ: 6.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP 是△ABC的外角∠ACM的平分线.如果 ∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P 的度数为 7.如图①，∠MON=90°，点A,B分别 结论：∠F=90°-2∠A, 在OM,ON上运动（不与点O 重合) 8.如图，在△ABC中，∠C=62°，△ABC的外 (1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反向 角∠DAB和∠EBA的平分线交于点G,则 延长线与∠BAO的平分线交于点D, ∠G的度数为 ①如果∠BAO=70°，那么∠D的度数为 ②∠D的度数是否随点A,B的运动而发生 变化？请判断并说明理由， (2)如图②，如果∠CBA= 3∠ABN, (第8题) 13·∠E,=(得) B D (第11题) 专题特训一三角形内、 外角的平分线的夹角探究 1.20 2.∠APB的度数不变. 理由：：△AOB的角平分线AC与 BD交于点P, :∠PAB=2 ∠OAB,∠PBA= 2∠OBA. &∠PAB+∠PBA=-号∠OAB+ 2∠OBA=号（∠0AB+∠OBA)- 2CI80-∠A0B)=90-7∠A0B. ∴.∠APB=180°-（∠PAB+ ∠PBA)=180°-(90°-2∠A0B)= 90+2∠A0B. ,∠AOB=80°， ·∠APB=90+7×80=130,即 随着点A,B位置的变化，∠APB的 度数不变，始终为130. 3.(1)50°.解析：∠ABC, ∠ACB的三等分线交于点O1,O2, 六∠0，c-号∠AC,∠0.0B= 号∠ACB,B0,平分∠0，BC,00, 平分∠OCB.∴.易得OO1平分 ∠BO2C..∴.∠O2BC+∠O2CB= 号（∠ABC+∠ACB)=号XIs0 ∠A)=号×(180-609)=号 2 120°=80°.∴.∠B02C=180° (∠O2BC+∠O2CB)=180°-80°= 10o.∠B0.0,=2∠0，C= 3×100=50 (2)∠2是△O2O1B的外角， ∴.∠2=∠1+∠O1B02. ,∠1=115°，∠2=135， ∴.∠01B02=∠2-∠1=135° 115°=20°. 由题意知，BO2,BO1是∠ABC的 三等分线， ∴.∠O1BC=∠O,BO2=20°，∠ABC= 3∠O1B02=3×20°=60°. ∴.∠O1CB=180°-∠2-∠O1BC= 180°-135°-20°=25°. :CO1是∠ACB的平分线， ∴.∠ACB=2∠O,CB=2X25°= 50. ∴.∠A=180°-∠ABC-∠ACB= 180°-60°-50°=70°. 4.D5.B6.90 7.(1)①45. ②不发生变化 理由：由题意知，AD平分∠BAO, BC平分∠ABN, .∠BAD=2 ∠BAO,∠CBA= 合∠NBA :∠CBA=∠D+∠BAD, ∴.∠D=∠CBA-∠BAD= 2∠NBA-2∠BAO=2(∠NBA 1 ∠BAO)=2∠MON,. ∠MON=90, .∠D=45. .∠D的度数不发生变化. (2)由(1)②知，∠D=∠CBA- ∠BAD. :∠CBA=3∠ABN,∠BAD= 3∠BA0, ·∠D=号∠ABN-子∠BA0= 3(∠ABN-∠BAO)=寸∠MON. ,∠MON=90°， 5 '.∠D=30° (3a 8.59°解析：在△ABC中，∠C= 62°，.∠ABC+∠BAC=180° 62°=118°.∴.∠DAB+∠EBA= 180°-∠BAC+180°-∠ABC= 242°.AG,BG分别平分∠DAB, ∠EBA,.∠BAG+∠ABG= 1 2∠DAB+2∠EBA=2(∠DAB+ ∠EBA)=2 1 242°=121°.∴.∠G 180°-（∠BAG+∠ABG)=180° 121°=59°」 专题特训二三角形 中的数学思想方法 1.A2.24 3.设∠A=x,则∠C=∠ABC= 2. :BD是边AC上的高， ∴.∠ADB=∠CDB=90°. ∴.∠ABD=90°-∠A=90°-x, ∠DBc=0°-∠C=90°-2x. :'∠ABD+∠DBC=∠ABC, 090-x十90-号=号x,解得 -3 x=45 ∠DBC=90°-∠C=90°-3 = 22.5. 4.AD是△ABC的边BC上的 中线， .CD=BD △ADC的周长比△ABD的周长 多5cm, ∴.AC+CD+AD-(AB+BD+ AD)=5 cm. .AC-AB=5cm①. 又AB+AC=13cm②， ∴.①+②，得2AC=18cm ∴.AC=9cm. 5..∠AKG=∠A+∠B,∠DHG= ∠C+∠D,∠FGK=∠E+∠F,