13.2 与三角形有关的线段-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

G p E ④ (第13题) 13.2与三角形有关的线段 第1课时三角形的边 1.B2.D3.C4.2或5 5.(1)a,b,c是三角形的三边长， ..a-b-c<0,b-c-a<0,c-a b<0 .a-b-c+b-c-a+c-a- b|=一a+b+c-b+c+a一c+a+ b=a+b+c. (2)当a=5,b=4,c=3时， ∴.la-b-c+|b-c-a+c-a b=a+b+c=5+4+3=12. 6.C7.C8.B9.C10.(1)11cm 11cm(2)4x<8 11.1.7解析：①若x+1=4x一2， 则x=1..三边的长分别为2,2,9， 不能构成三角形.②若4x一2=15 6.x,则x=1.7.∴.三边的长分别为 4.8,2.7,4.8,能构成三角形.③若 x十1=15-6.x,则x=2.∴三边的长 分别为6,3,3，不能构成三角形.'.x 的值为1.7. 12.(1)a=4,b=6, .2c10. '.x的取值范围是12x<20 (2)①由(1)，得12<x<20. ,x是小于18的偶数， .x=16或x=14. 当x=16时，c=6:当x=14时， c=4. ②当c=6时，b=c,△ABC为等腰 三角形 当c=4时，a=c,△ABC为等腰三 角形 综上所述，△ABC是等腰三角形. 13.(1)② (2)当16>2x+2>2x-6>0时，解 得3x7 由题意，得16一(2.x+2)>2x+2 (2x-6),解得x<3(不合题意，舍去). 当2.x+2>16>2x-6>0时，解得 7<x<11 由题意，得2x+2一16>16一(2x 6),解得x>9 .9<x<11. x为整数， .x=10. 当x=10时，2x+2=22,2x-6=14, 22,16,14可以构成三角形 .x=10. 当2x+2>2x-6>16时，解得 x>11. 由题意，得2x+2一(2x一6)>2x 6-16,解得x<15. .∴.11<x<15 ,x为整数， '.x=12或13或14，显然都可以构 成三角形， 综上所述，x的整数值为10或12或 13或14. 14.12解析：设三角形的三边长分 别为a,b,c,且a<b<c.a十b十 c=30,a+b>c,∴.c>10,30-cc. .10<c<15.c为整数，.c可以 取11,12,13,14.①当c为14时，有 5个三角形，分别是14,13,3：14,12， 4:14,11,5:14,10,6:14,9,7.②当G 为13时，有4个三角形，分别是13， 12,5;13,11,6;13,10,7:13,9,8. ③当c为12时，有2个三角形，分别 是12,11,7：12,10,8.④当c为11 时，有1个三角形，分别是11,10,9. 综上所述，符合题意的三角形共有 5+4+2+1=12(个). 15.(1)BP+PC<AB+AC. 理由：在△ABC中，AB+AC>BC. BP+PC=BC, .BP+PC<AB+AC. (2)△BPC的周长<△ABC的周长， 理由：如图①，延长BP交AC于点M. :在△ABM中，BP+PM<AB+ 2 AM,在△PMC中，PCPM+MC, .BP+PC<AB+AM+MC= AB+AC. .BP+PC+BC<AB+AC+BC. '.△BPC的周长<△ABC的周长 (3)四边形BP1P2C的周长<△ABC 的周长， 理由：如图②，分别延长BP1,CP2交 于点N. 由(2)知，BN+CN<AB+AC. 在△NP,P2中，PP2<PN+ P2N, .BP+P P2+P2C<BP+ P N+P2N+P2C=BN+CN. .BP+P P2+P2C+BC<BN+ CN+BC<AB+AC+BC. ∴.四边形BP1PC的周长<△ABC 的周长 (第15题) 第2课时三角形的中线、 角平分线、高 1.B2.A3.三角形三条中线 4.:'AD是△ABC的边BC上的 中线， ∴.BD=CD ∴.△ABD的周长-△ADC的周 长=(AB+AD+BD)-(AC+ AD+CD)=AB-AC=4,即AB- AC=4① 又.AB+AC=14②， ∴.①+②，得2AB=18,解得AB= 9:②-①，得2AC=10,解得AC=5. .AB的长为9，AC的长为5. 5.A6.C7.28.25 9.3解析：：S△=24cm2,D为 BC的中点，六S△Ax=2S△MC= 号×24=12(cm).:E为AD的中 1 1×12= 点S△A=2SAA=2 6(cm.,F为CE的中点，.S△Ar= 1 -X6=3(cm). 一方法归纳 与两个三角形的面积有关的 常用结论 (1)等底等高的两个三角形面 积相等 (2)同底（或等底）的两个三角 形，面积比等于高的长的比. (3)等高的两个三角形的面积 比等于底边长的比」 (4)三角形的一条中线将三角 形分成面积相等的两个三角形. 10.警 解析：连接BE.BC=8, D是BC的中点，.BD=DC= 2BC=4:EFLBC,且EF=9 3 :Sam=2BD,EF=名X4X 智=号：A证=日DE易得 1 .4040 ∴.易得S△ABD=S△AC=S△DR十 5aw+5m=g9+g9-警 -9 11.AD⊥BC,CE⊥AB, 易得BF⊥AC :合AB·CE=3BC·AD 1 AC BF, AB=5,BC=4,AC=6, 号×5CE=号×4MD=号×6BR. .CE:AD:BF=12:15:10. 12.:BE,CF分别是△ABC的边 AC,AB上的中线， ·.AE=2AC,AF=2AB. 1 八SaAR=SaAp=2SAAC. ·AM⊥CF,AN⊥BE, 2CF·AM=2BE:AN BE=CF, .AM=AN. 13.(1).AB=AC,边AC上的中 线BD把△ABC的周长分为15和17 两部分， .分两种情况讨论： ①当AB+AD=AC+号AC=15 时，解得AC=10=AB. :BC=17-7X10=12 10,10,12能构成三角形， .AB和BC的长分别为10,12. ②当AB+AD=AC+2AC=I7 时，解得AC=34=AB. 3 =15-× :号学等能构成三角形。 :AB和BC的长分别为号学 综上所述，AB和BC的长分别为10， 12或号 (2)如图，过点D作DM⊥BC于点 M,DN⊥AB于点N. .AB<BC, ..AB=10,BC=12. ,BD是△ABC的中线， .S△AD=S△D: ZAB·DN=号BC·DM ,点D到边BC的距离DM为4， .点D到边AB的距离DN= 12×4_24 10 5 (第13题) 13.3三角形的内角与外角 第1课时三角形的内角 1.D2.D3.1059 4.(1)125. 3 (2):在△ABC中，AD是高，∠C= 70°，∠ABC=60, ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-70°= 20°，∠BAC=180°-∠ABC-∠C= 180°-60°-70°=50° AE是∠BAC的平分线， ∠CAE-名∠RMC=25 ∴.∠DAE=∠CAE-∠DAC= 25°-20°=5. 5.C6.C 7.D解析：∠ABC=n°， ∴.∠BAC+∠BCA=180-∠ABC= 180°-n°.0是三个内角的平分线 的交点，∠OBC=2∠ABC= 1 2n,∠0CA=2∠BCA,∠0AC= 3∠BAC.·∠OAC+∠0CA- 3(∠BAC+∠BCA)=2(I8G n)=90-2.∠A0c=180° (∠OAC+∠0CA)=180°-（90° 3）=90+3.:∠0DC ∠A0C,∠0DC=90+7 ∴.∠BD0=180°-∠ODC=180° (9r+2）=9w-2:∠0c V,.∠BOD=180°-∠BD0- 1 ∠OBC=90°. 8.42°解析：BD是边AC上的 高，.∠BDC=90°.又∠BFC= 128°，.∴.∠CFD=180°-∠BFC= 52°..∠ACE=90°-∠CFD=90° 52°=38.又.∠AEC=80°，∴.∠A= 180°-∠AEC-∠ACE=180° 80°-38°=62.又CE是∠ACB的 平分线，∴.∠ACB=2∠ACE=76. ∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB= 180°-62°-76°=42. 9.60解析：由已知，可得∠BOC=拔尖特训·数学（人教版）八年级上 13.2与三角形有关的线段 第1课时三角形的边 臼基础进阶 淘素能攀升 1.在△ABC中，AB=3,BC=2,边AC的长为 6.如图，工人师傅做了一个长方形 奇数n,则n的值为 ( 窗框ABCD,E,F,G,H分别是 A.1 B.3 C.5 D.7 四条边上的中点，为了稳固，需要 2.(2023·盐城)下列每组数分别表示3根小木 在窗框上钉一根木条，则这根木 棒的长度（单位：cm),其中能搭成一个三角 条不应该钉在 (第6题) 形的一组是 () A.E,F两点处 A.5,7,12 B.7,7,15 B.B,D两点处 C.6,9,16 D.6,8,12 C.H,F两点处 3.如图，从一根长度为10m的木条两端各截取 D.A,F两点处 一根长度为xm的木条.若得到的三根木条 7.现有2cm,4cm,5cm,8cm,9cm长的五根木 能组成三角形，则x可以取的值为( 棒，任意选取三根组成一个三角形，选法有 xm () 10m (第3题) A3种B.4种C.5种D.6种 A.2 B.2.5C.3 D.6 8.若实数m,n满足等式m-3+(n一6)2= 4.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边 所对的边，且a=3,b=4.若三边长为连续的 的长，则等腰三角形ABC的周长是() 整数，则c= A.12 B.15 5.新考法·学科内综合已知a,b,c是三角形的 C.12或15 D.18 三边长. 9.如图，在同一平面内，将长分别为1,5,1,1，d (1)化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a- 的五条线段首尾顺次相接，组成凸五边形，则 b1. d的值可能为 (2)若a=5,b=4,c=3,求(1)中式子的值. 5 (第9题) A.1 B.2 C.7 D.8 10.(1)若等腰三角形的一边长为6cm,周长为 28cm,则其他两边的长分别为 (2)若等腰三角形的周长为16，则腰长x的 取值范围是 11.(2023·扬州期中)若等腰三角形三边的长 分别为4x一2，x+1,15一6x,则x的值为 第十三章三角形 12.(2025·德州宁津段考)已知a,b,c是思维拓展 △ABC的三边长，a=4,b=6,设△ABC的 14.分类讨论思想(2024·南京秦淮段考)周长 周长为x. 为30，各边互不相等且都是整数的三角形 (1)直接写出c及x的取值范围. 共有 个 (2)若x是小于18的偶数， 15.(1)如图①，在△ABC中，P为边 ①求c的值， BC上一点，试比较BP+PC与 ②判断△ABC的形状. AB+AC的大小，并说明理由， (2)将(1)中的点P移至△ABC内，如图 ②，试比较△BPC的周长与△ABC的周长 的大小，并说明理由 (3)将(2)中的点P变为点P1,P2,如图③， 试比较四边形BPP2C的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由， 13.若三边长分别为a,b,c的三角形 ② (第15题) 满足a一b>b一c(a为最长边的 长，c为最短边的长，且a≠b≠c), 则称它为“不均衡三角形”.例如：一个三角 形的三边长分别为7,5,4，因为7一5>5 4,所以这个三角形为“不均衡三角形”. (1)有下列4组长度的小木棍：①4,2,1； ②13,18,9；③19,20,19；④9,8,6.其中， 能组成“不均衡三角形”的为 (填 序号). (2)已知“不均衡三角形”的三边长分别为 2x+2,16,2x一6，求x的整数值. 5 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时三角形的中线、角平分线、高 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，下列说法正确的是( 5.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中 A.线段AD是边AB上的高 点，延长BG交AC于点E,F为AB上一点， B.线段BE是边AC上的高 CF⊥AD于点H.下列判断中，正确的是 C.线段CF是边AC上的高 () D.线段CF是边BC上的高 A.AH是△ACF的角平分线和高 B.BE是△ABD的边AD上的中线 C.FH是△ABD的边AD上的高 D.AD是△ABE的角平分线 E、 (第1题) (第2题)》 2.如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线， BE是△ABD的中线.若DC=6,则AE的 X 长为 ( D (第5题) (第6题) A.3 B.6 C.9 D.12 6.如图，在△ABC中，AD,CE是△ABC的两 3.三角形的重心是 的交点 条高，且AD=3,CE=6,则AB:BC等于 4.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线. () 若△ABD与△ADC的周长之差为4(AB> A.3:4B.4:3C.1:2D.2:1 AC),AB与AC的和为14，求AB和AC 7.如图，△ABC的角平分线AD,中线BE相交 的长 于点O,连接DE.有下列说法：①AO是 △ABE的角平分线；②BO是△ABD的中 线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC 的角平分线.其中，正确的有 个 (第4题) (第7题)》 (第9题) 8.在△ABC中，AM是边BC上的中线.已知 AB一AC=5,且△AMC的周长是20，则 △ABM的周长是 9.★如图，在△ABC中，D,E,F分别为BC, AD,CE的中点，且S△ABc=24cm,则 △AEF的面积为 cm2. 6 第十三章三角形 10.如图，在△ABC中，BC=8, 思维拓展 D是BC的中点，连接AD, 13.如图，在等腰三角形ABC中， 点E在AD上，且AE= AB=AC,边AC上的中线BD把 DE,EFLBD于点P,且 FD △ABC的周长分为15和17两 (第10题) 部分 EP-则△AC的面积为 (1)求AB和BC的长. 11.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂 (2)若AB<BC,且点D到边BC的距离 足分别为D,E,AD与CE交于点O,连接 为4，求点D到边AB的距离. BO并延长，交AC于点F.若AB=5,BC 4,AC=6,求CE:AD:BF (第13题) B D (第11题) 12.如图，BE,CF分别是△ABC的边 AC,AB上的中线，且BE=CF AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点 N.求证：AM=AN, E (第12题)