13.1 三角形的概念-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 ☑基础进阶 (1)利用三角尺画BE⊥AC,垂足为E. 1.下列三角形的分类中，不正确的是 (2)写出图中所有的直角三角形、钝角三角 形和锐角三角形 三角形 锐角 直角 等腰三角形 三角形 三角形 等边三角形】 钝角 三角形 A. B. (第5题) 等腰 钝角 三边都 三角形 直角 三角形 不相等的 三角形 三角形 等边 锐角 三角形 三角形 C D. 幻素能攀升 2.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a一 6.如图，在△ABC中，D是边AC的中点，连接 b)2+|b一c|=0,则△ABC的形状是( BD,E是线段BD上的一点，且BE=2ED, A.钝角三角形 B.直角三角形 连接AE,CE.若△ABC的面积为24cm,则 C.等边三角形 D.以上都不对 涂色部分的面积为 () 3.如图，图中有 个三角形.在△ABE A.12 cm2 B.8 cm2 C.6 cm2 D.16 cm2 中，AE所对的角是 ,∠BAE所对的 边是 ;在△ADE中，AD是 所对的边；在△ADC中，AC所对的角是 AM→ (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在△ABC中，D是边AC的中点， AB=5,BC=3,则△ABD与△BCD的周长 B (第3题) 之差是 () 4.如图，直线l1儿2，A,B是l1上的两点，C,D A.2 B.3 是12上的两点，图中面积相等的三角形共有 C.6 D.不能确定 对 8.如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°， AB:BC:CA=3:4:5,且周长为48cm. 点M从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动；点N从点B开始沿边BC向点 (第4题) C以3cm/s的速度移动.若两点同时出发， 5.如图，在△ABC中，D是边AC上的点， 则经过4s时，△BMN的面积为（) ∠ABC>90°，∠ABD=90°. A.20 cm2 B.24 cm2 C.28 cm2 D.30 cm2 2 注标“★”的题目设有“方法归纳”，标“易错题”的设有“易错警示”，详见“答案与解析”. 第十三章三角形 9.如图，在△ABC中，CH⊥AB,D为边BC的罚思维拓展 中点.若△ABD的面积为2，AB=3,则CH 12.如图，在长方形ABCD中，AB=4cm, 的长为 BC=3cm,E为CD的中点，动点P从点A 出发，以1cm/s的速度沿A→B-→C→E运 动，最终到达点E.若点P运动的时间为xS, B 则当△APE的面积为5cm时，x的值为 (第9题) () 10.如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC, AB上，AD交CE于点F, (1)图中共有几个三角形？把它们一一写 出来 (第12题) (2)写出含有∠ADC的三角形 A. 0 (3)在△ACF中，写出∠ACF的对边. B.5 c号或5n.寻 (4)以线段BC为边的三角形有哪些？ 13.分类讨论思想如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=6,BC=8,AB=10,E是边BC 的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单 位长度的速度沿A→C→B→A运动，回到 点A时停止运动.设点P运动的时间是t秒 (第10题) (1)CE= (2)当点P在边BC上运动时，用含t的代 11.观察如图所示的图形，回答问题： 数式表示PE的长， 入个个④” (3)当t为何值时，△APE的面积等于6？ ② (3 ④ (第11题) (1)图②中共有 个三角形：图③中共 有 个三角形；图④中共有 个 (备用图) 三角形…猜测图⑦中共有 个三 (第13题) 角形. (2)按上面的方法继续下去，图@中共有多 少个三角形（用含n的代数式表示）？ 3第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.D2.C3.6∠BBE ∠AED∠ADC4.3 5.(1)如图所示. (2)直角三角形：△ABE,△CBE, △DBE,△ABD 钝角三角形：△ABC,△BDC. 锐角三角形：无 B (第5题) 6.A 7.A解析：：D是边AC的中点， .AD=CD..△ABD与△BCD的 周长之差是(AB十BD十AD) (BC+BD+CD)=AB-BC=5- 3=2. 8.B解析：根据题意，设AB=3xcm, BC=4x cm,AC=5z cm.AABC 的周长为48cm,即AB+BC+AC= 48cm,∴.3x+4x+5.x=48,解得x 4..AB=12 cm,BC=16 cm,AC= 20cm.经过4s时，BM=12-4×2= 4(cm),BN=4×3=12(cm), &Saan=2BM·BN=2X4X 12=24(cm). 98 解析：D为边BC的中点， .BD=CD.又，△ABD的面积为 2,.S△AC=2S△Am=2X2=4. :CH LAB,.SaAx=2AB· 1 CH.AB=3,.2×3CH=4 .CH- 10.(1)图中共有8个三角形，分别是 △AEF,△ABD,△AEC,△ABC, △AFC,△ACD,△CDF,△BCE. (2)含有∠ADC的三角形有△ACD, △CDF. (3)在△ACF中，∠ACF的对边 是AF (4)以线段BC为边的三角形有 △ABC,△BCE 11.(1)3,5,7,13. (2)·图②中共有3个三角形，3 2×2一1：图③中共有5个三角形，5= 2×3一1：图④中共有7个三角形，7= 2×4一1；…； ∴.图⑦中共有(2一1)个三角形. 12.C解析：由题意，易知AB= CD=4 cm,AD=BC=3 cm..E CD的中点，∴.CE=DE=2cm.①如 图①，当点P在AB上时，0x4. 1 :△APE的面积为5cm2,.2x· 3=5,解得x只②如图@，当点P 在BC上时，4≤x≤7.：△APE的 面积为5cm2,∴.S长方无ND一S△cpE S△ADE-S△ABP=5cm2.∴.4X3 4+3-)2-7×8×2-号× 1 4(x一4)=5，解得x=5.③如图③， 当点P在CE上时，7≤x≤9. :△APE的面积为5cm2,.2(4+ (不合 3+2-x)·3=5,解得x=3 题意，舍去.综上所述，当x的值为 或5时，△APE的面积为5cm ① ② ③ (第12题) 13.(1)4. (2)根据题意，得点P在边AC上运 动的时间为6÷2=3（秒），点P从 点C运动到点E需要4÷2=2（秒）， 1 点P从点C运动到点B需要8÷2= 4(秒.当点P在点E的左侧（含点 E),即3t≤5时，PE=CE-CP= 4-2(t-3)=10-2t:当，点P在点E 的右侧，即5<t≤7时，PE=CP- CE=2(t-3)-4=21-10.综上所 (10-2t,315, 述，PE= 2t-10,5<t≤7. (3)如图①，当点P在AC上(0t≤ 3)时，根据题意，得2×21·4=6，解 得1=子如图②，当点P在CE上 (3<1<5)时，根据题意，得7(10 2t)·6=6,解得t=4.如图③，当点P 在BE上(5<t≤7)时，根据题意，得 221-10)×6=6,解得1=6.如图 ④，当，点P在AB上(7<t≤12)时，过 点E作EG⊥AB于点G. S△AC=S△ACE+S△ABE, 2×6X8= 1 2 ×6×4+2 10EG,解得EG- 12 5 根据题意，得2×[10一21-7]× 6解得1-号 12 5 综上所述，当1的值为三或4或6或 是时，△APE的面积等于6 E 2 3 G p E ④ (第13题) 13.2与三角形有关的线段 第1课时三角形的边 1.B2.D3.C4.2或5 5.(1)a,b,c是三角形的三边长， ..a-b-c<0,b-c-a<0,c-a b<0 .a-b-c+b-c-a+c-a- b|=一a+b+c-b+c+a一c+a+ b=a+b+c. (2)当a=5,b=4,c=3时， ∴.la-b-c+|b-c-a+c-a b=a+b+c=5+4+3=12. 6.C7.C8.B9.C10.(1)11cm 11cm(2)4x<8 11.1.7解析：①若x+1=4x一2， 则x=1..三边的长分别为2,2,9， 不能构成三角形.②若4x一2=15 6.x,则x=1.7.∴.三边的长分别为 4.8,2.7,4.8,能构成三角形.③若 x十1=15-6.x,则x=2.∴三边的长 分别为6,3,3，不能构成三角形.'.x 的值为1.7. 12.(1)a=4,b=6, .2c10. '.x的取值范围是12x<20 (2)①由(1)，得12<x<20. ,x是小于18的偶数， .x=16或x=14. 当x=16时，c=6:当x=14时， c=4. ②当c=6时，b=c,△ABC为等腰 三角形 当c=4时，a=c,△ABC为等腰三 角形 综上所述，△ABC是等腰三角形. 13.(1)② (2)当16>2x+2>2x-6>0时，解 得3x7 由题意，得16一(2.x+2)>2x+2 (2x-6),解得x<3(不合题意，舍去). 当2.x+2>16>2x-6>0时，解得 7<x<11 由题意，得2x+2一16>16一(2x 6),解得x>9 .9<x<11. x为整数， .x=10. 当x=10时，2x+2=22,2x-6=14, 22,16,14可以构成三角形 .x=10. 当2x+2>2x-6>16时，解得 x>11. 由题意，得2x+2一(2x一6)>2x 6-16,解得x<15. .∴.11<x<15 ,x为整数， '.x=12或13或14，显然都可以构 成三角形， 综上所述，x的整数值为10或12或 13或14. 14.12解析：设三角形的三边长分 别为a,b,c,且a<b<c.a十b十 c=30,a+b>c,∴.c>10,30-cc. .10<c<15.c为整数，.c可以 取11,12,13,14.①当c为14时，有 5个三角形，分别是14,13,3：14,12， 4:14,11,5:14,10,6:14,9,7.②当G 为13时，有4个三角形，分别是13， 12,5;13,11,6;13,10,7:13,9,8. ③当c为12时，有2个三角形，分别 是12,11,7：12,10,8.④当c为11 时，有1个三角形，分别是11,10,9. 综上所述，符合题意的三角形共有 5+4+2+1=12(个). 15.(1)BP+PC<AB+AC. 理由：在△ABC中，AB+AC>BC. BP+PC=BC, .BP+PC<AB+AC. (2)△BPC的周长<△ABC的周长， 理由：如图①，延长BP交AC于点M. :在△ABM中，BP+PM<AB+ 2 AM,在△PMC中，PCPM+MC, .BP+PC<AB+AM+MC= AB+AC. .BP+PC+BC<AB+AC+BC. '.△BPC的周长<△ABC的周长 (3)四边形BP1P2C的周长<△ABC 的周长， 理由：如图②，分别延长BP1,CP2交 于点N. 由(2)知，BN+CN<AB+AC. 在△NP,P2中，PP2<PN+ P2N, .BP+P P2+P2C<BP+ P N+P2N+P2C=BN+CN. .BP+P P2+P2C+BC<BN+ CN+BC<AB+AC+BC. ∴.四边形BP1PC的周长<△ABC 的周长 (第15题) 第2课时三角形的中线、 角平分线、高 1.B2.A3.三角形三条中线 4.:'AD是△ABC的边BC上的 中线， ∴.BD=CD ∴.△ABD的周长-△ADC的周 长=(AB+AD+BD)-(AC+ AD+CD)=AB-AC=4,即AB- AC=4① 又.AB+AC=14②， ∴.①+②，得2AB=18,解得AB= 9:②-①，得2AC=10,解得AC=5. .AB的长为9，AC的长为5. 5.A6.C7.28.25 9.3解析：：S△=24cm2,D为 BC的中点，六S△Ax=2S△MC= 号×24=12(cm).:E为AD的中 1 1×12= 点S△A=2SAA=2