12.2 三角形全等的判定-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

点，可知形成的三角形的三个内角都 是锐角，则∠a十∠3>90° 9.乙解析：“一个锐角和一个钝角 互补”是命题，是一个假命题. 10.如果一个数是质数，那么这个数 是奇数一个数是质数这个数是奇 数假 11.②④ 12.0 13.(1)条件：两个角的和等于平角 结论：这两个角互为补角 是真命题 (2)条件：一个角是锐角」 结论：这个角小于它的余角 是假命题 反例不唯一，如∠A=60°，∠A的余 角是30°，∠A大于它的余角. (3)条件：两个角分别为一个锐角的 补角和余角. 结论：补角大于余角 是其命题 14.①②③④ 解析：要使“a2>b2” 成立，必须满足|a>|b1.①③两种 改法是使a、b同号，且满足|a|> |b|:②④两种改法是使a、b异号，且 满足a|>b.因此①②③④四种改 法都正确. 15.(1)45°：135 (2)由题图①，得∠DEF与∠ABC相 等：由题图②，得∠DEF与∠ABC 互补. 命题：如果两个角的两边分别平行，那 么这两个角相等或互补」 第2课时定义、定理与证明 1.C2.C3.过直线外一点有且 只有一条直线与这条直线平行 4.答案不唯一，如∠ACD=90 5..·ABCD(已知)， '.∠DCF=∠B(两直线平行，同位 角相等). ∠B=∠D(已知)， ∴.∠DCF=∠D(等量代换). ,∴.ADBC(内错角相等，两直线平行). .∠DEF=∠F(两直线平行，内错 角相等). 6.D7.A 8.∠3两直线平行，内错角相等 ∠6∠6内错角相等，两直线平行 9.已知：如图，EM∥FN,直线AC分 别交EM、FN于点A、C,AB、CD分 别是∠EAC和∠FCG的平分线. 求证：AB/CD. ,EMFN(已知)， ∴.∠EAC=∠FCG(两直线平行，同 位角相等) ,AB平分∠EAC,CD平分∠FCG (已知)， ∴.∠EAB=∠BAC= 2 ∠EAC, ∠FCD=∠DCG= 21 ∠FCG(角平分 线的定义) ∴.∠BAC=∠DCG(等式的性质). ∴.AB∥CD(同位角相等，两直线 平行). (第9题) 一方法归纳 命题证明的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论，若命 题与图形有关，则根据题意，画出 图形，并在图形上标出相关的字母 和符号 (2)根据条件和结论，结合图形，写 出已知、求证 (3)观察图形，分析证明思路，找出 证明方法」 (4)写出证明的过程，并注明依据。 10.(1)EB⊥EF(已知)， ∴.∠FEB=90(垂直的定义). ∴.∠DEF+∠BEG=180°-90°= 90°（平角的定义） 又.·∠BGE=90(已知)， ∴.∠EBG+∠BEG=90(直角三角 形的两个锐角互余). ∴.∠DEF=∠EBG(同角的余角 相等). 15 (2)AB∥EF EF平分∠AED(已知)， ·∠AEP=∠DEP=?∠AED(角 平分线的定义) ·∠EBG=∠A(已知)，∠DEF= ∠EBG(已证)， ∴.∠A=∠DEF(等量代换). 又，∠DEF=∠AEF(已证)， ∴.∠A=∠AEF(等量代换). ∴.AB∥EF(内错角相等，两直线 平行). 11.(1)DEBF. :∠3=∠4（已知）， ∴.BD∥CE(内错角相等，两直线 平行) ∴.∠5=∠FAB(两直线平行，内错角 相等). ∠5=∠C(已知)， ∴.∠C=∠FAB(等量代换). ∴.AB∥CD(同位角相等，两直线 平行). ∴.∠2=∠BGD(两直线平行，内错角 相等). :∠1=∠2（已知）， ∴.∠1=∠BGD(等量代换). ∴.DE∥BF(内错角相等，两直线 平行). (2)ABCD(已证)， ∴.∠P=∠PDH(两直线平行，内错 角相等). DP平分∠BDH(已知)， ∴.∠BDP=∠PDH(角平分线的 定义) ∴.∠BDP=∠P(等量代换) ,∠5=∠P十∠BDP(三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角 的和)， ∴.∠5=2∠P(等量代换). :∠5=∠C(已知)， ∴.∠C=2∠P(等量代换). 12.2三角形全等的判定 第1课时全等三角形 及其判定条件 1.C2.A3.△ADC AD AC ∠D∠DCA 4.△AOB≌△ADC. ".'△AOB2△ADC, ..∠OAB=∠DAC. ..∠OAB+∠BAD=∠DAC+ ∠BAD,即∠OAD=∠BAC. .·∠OAD=80°， .∠BAC=80 在△ABC中， .∠ABC=∠ACB,∠BAC=80°， ÷∠ABC=∠ACB=3X(I80 80°)=50°. BC//OA, ..∠OAB=∠ABC=50°. 在△AOB中， .∠O=90°，∠OAB=50°， ∴.∠AB0=90°-50°=40°. 5.D解析：由△DCE与△ABF关 于过点M的某一条直线对称，可知 △ABF≌△DCE,根据全等三角形的 对应边相等、对应角相等，可知AB= DC,BF=CE,∠ABF=∠DCE.故 选项A、B、C正确.点B、E、F、C 在同一条直线上，.BF一EF=CE EF,即BE=CF.故选项D错误 6.D解析：.△ABE2△ACD, .点E与点D对应，点B与点C对 应，点A与点A对应.根据全等三角 形的对应边相等，可得AB=AC, BE=CD,AE=AD.故选项A、C成 立，选项D不成立.根据全等三角形 的对应角相等，可得∠BAE= ∠CAD.故选项B成立. 7.C解析：△ABC≌△DBE, ∴.∠A=∠BDE,∠C=∠E,AB= DB.∴.∠A=∠BDA=∠BDE. ∠A：∠C=5:3,∴.∠A: ∠BDA:∠BDE:∠E=5:5:5: 3.又，∠A+∠BDA+∠BDE十 ∠E=180°，∴.∠C=∠E=180°× 3 5+5十5+3=30°，∠A=∠BDA= 5 ∠BDE=180°X 5+5+5+3 =50°. .∠BDA=∠C+∠DBC, .'.∠DBC=∠BDA-∠C=50° 30°=20. 一方法归纳 全等三角形中求角的度数的 基本思路 当求全等三角形中有关角的 度数时，利用全等三角形先确定两 个三角形中角的对应关系，由这种 关系实现已知角和未知角之间的 转换，然后求出待求角的度数 8.40°解析：由题意，知△ABC兰 △DEF,.∠ABC=∠E=60°. ∴.∠C=180°-∠A-∠ABC= 180°-80°-60°=40. 9.10°解析：由题意，知△ADC2 △A'DC,.∠DA'C=∠A=50. ∠A=50°，∠ACB=90°，.∠B= 90°-∠A=40°.∠DA'C=∠B+ ∠A'DB,.∠A'DB=∠DA'C ∠B=50°-40°=10°. 10.(1)△ABC≌△DBE. 对应边是AC和DE、AB和DB、BC 和BE,对应角是∠A和∠D、∠ACB 和∠E、∠ABC和∠DBE. (2)AC⊥DE. 理由：延长AC交DE于点F :∠ABC=90°，且△DBE是由 △ABC绕，点B按顺时针方向旋转90 得到的， ∴.边BD与边BC在同一条直线上， 即点B、C、D在同一条直线上. .△ABC≌△DBE, ∴.∠A=∠D 又.∠ACB=∠DCF,∠A+∠ACB= 90°， ∴.∠D+∠DCF=90. .∠AFD=90°. '.AC⊥DE 11.(1)3. (2)①，△ABC≌△DEB, ∴.∠A=∠D=35,∠C=∠DBE= 60 :∠A+∠ABC+∠C=180°， 16 '.∠ABC=180°-∠A-∠C=85. ∴.∠DBC=∠ABC-∠DBE= 85°-60°=25. ②：∠AEF是△DEB的外角， '.∠AEF=∠D+∠DBE=35°+ 60°=95. :∠AFD是△AEF的外角， ,∴.∠AFD=∠A+∠AEF=35°+ 95°=130°. 12.108°解析：设∠3=x,则∠1= 7x,∠2=2.x.∠1+∠2+∠3= 180°，.7x+2x+x=180°，解得x= 18°..∠1=126°，∠2=36°，∠3= 18.:△ABE是△ABC沿着边AB 所在直线翻折形成的，∴.△ABE≌ △ABC.∴.∠BAE=∠1=126， ∠E=∠3..∠EAC=360° ∠BAE-∠1=360°-126°-126°= 108°.，△ADC是△ABC沿着边AC 所在直线翻折形成的，∴·△ADC≌ △ABC.,.∠ACD=∠3..∠E= ∠ACD.·∠EPC=∠a+∠E= ∠PAC+∠ACP,'.∠a=∠EAC= 108. 13.,·△ABC绕，点A按逆时针方向 旋转后得△ADE, '.△ABC≌△ADE .∠ACB=∠AED=1O5°，∠ABC= ∠ADE=25°，∠CAB=∠EAD. ∴.∠CAB=180°-105°-25°=50°. ∴.∠EAD=50. ∴.∠DFB=∠DAB+∠ABC= ∠CAD+∠CAB+∠ABC=1O°+ 50°+25°=85°，∠G=∠ACB- ∠GAC=∠ACB-(∠EAD+ ∠CAD)=105°-(50°+10)=45°. 第2课时边角边 1.D2.D3.25 4.C是线段AB的中点， ∴.AC=BC. (AD=BE, 在△DAC和△EBC中，∠A=∠B, AC=BC, .△DAC≌△EBC(SAS). .∠D=∠E. 5.B解析：.AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠CAD.在△ADE和 AE=AC, △ADC中，∠EAD=∠CAD, AD=AD, '.△ADE2△ADC(SAS).∴.ED= CD,AE=AC=5...BE=AB- AE=1..△BDE的周长为BE+ BD+ED=BE+BD+CD=BE+ BC=8. 6.C解析：·EA⊥AB,∴.∠EAD= 90°..BC∥EA,∴.∠B+∠EAD= 180°.∴.∠B=∠EAD=90°..D 为AB的中点，AD=号AB .AB=2BC,..AD=BC.在△EAD EA-AB, 和△ABC中，∠EAD=∠B, AD=BC, '.△EAD≌△ABC(SAS).'.DE= CA,∠EDA=∠C,∠E=∠CAB. ,∠EAD=90°，∴.∠E+∠EDA= 90°..∠CAB+∠EDA=90. ..∠AFD=180°-（∠CAB+ ∠EDA)=90°.'.DE⊥AC,∠E+ ∠EAF=∠AFD=90°.，∠ADF+ ∠E=90°，.∠ADF=∠EAF. ∴.①②③④正确，⑤错误 7.45解析：·BF=EC,.BF+ FC=EC+FC,即BC=EF.在 AB=DE, △ABC和△DEF中，∠B=∠E, BC=EF, .△ABC≌△DEF(SAS). .△ABC与△DEF的周长相等.又 .△ABC的周长为24cm,CF= 3cm,'.整个金属框架所需这种材料 的长度为24×2一3=45(cm). 8.测出ME的长度，就是凉亭M与 F之间的距离. 理由：连结ME、MF. AB//CD, .∠B=∠C. ,M是BC的中点， .'BM=CM. 在△BME和△CMF中， BE=CF. ∠B=∠C, BM=CM, .∴.△BME≌△CMF(SAS). ∴.ME=MF. '.测出的ME的长度就是凉亭M与 F之间的距离 9.(1)BG=FB 理由：：AD、CE分别是边BC、AB 上的高， ∴.易得∠BAG+∠AFE=∠FCB+ ∠CFD=90. 又∠AFE=∠CFD, ∴.∠BAG=∠FCB. 在△ABG和△CFB中， AG=CB, 3∠BAG=∠FCB, AB=CF, ∴.△ABG≌△CFB(SAS). ∴.BG=FB. (2)由(1)，知△ABG2△CFB, ∴.∠G=∠FBD. :AD是边BC上的高， .易得∠G+∠DBG=90. ∴.∠FBG=∠FBD+∠DBG ∠G+∠DBG=90°」 10.(1).·∠ACB=∠DCE=a, ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+ ∠BCD,即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， CA=CB, X∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS) (2)△CPQ为等腰直角三角形 由(1)，易得△ACD≌△BCE. '.∠CAD=∠CBE,AD=BE ·AD、BE的中点分别为P、Q, .易得AP=BQ. 在△ACP和△BCQ中， CA=CB, ∠CAP=∠CBQ, AP=BQ, ∴.△ACP≌△BCQ(SAS). ∴.CP=CQ,∠ACP=∠BCQ. 17 ∠ACP+∠PCB=∠ACB=a= 90°， ∴.∠BCQ+∠PCB=90°，即∠PCQ= 90. .△CPQ为等腰直角三角形. 第3课时角边角 1.B2.B3.1 4.DE//AC, ∴.∠EDB=∠C. 在△BDE和△ACB中， ∠E=∠ABC, ∠EDB=∠C, BD=AC, ∴.△BDE≌△ACB(AAS). .DE=BC. 5.C 6.D解析：CE⊥AD,BF⊥AD, ∴.∠AFB=∠CED=90°.∴.∠C+ ∠D=180°-∠CED=90°.AB⊥ CD,.易得∠A+∠D=90° ∴.∠A=∠C.在△ABF和△CDE 「∠AFB=∠CED, 中，∠A=∠C, .△ABF≌ AB-CD, △CDE(AAS).∴.AF=CE=a, BF=DE=b.:EF=c,∴.DF= DE-EF=6-c..AD=AF+ DF=a+(b-c)=a+b-c. 7.25解析：如图，延长AD交BC于 点E.BD平分∠ABC,AD⊥BD, '.∠ABD=∠EBD,∠ADB= ∠EDB=9O°，在△ABD和△EBD ∠ABD=∠EBD, 中，BD=BD, .△ABD≌ ∠ADB=∠EDB, △EBD(ASA).∴.AD=ED.∴.S△m= S△HD,S△E=S△Ax=20..S△ABD= S△Bm=S△D-S△DE=45-20=25. B C (第7题) 8.∠MCF=∠F,∠MCF=∠ACB, .∠ACB=∠F. .AE=CF, ..AE+EC=CF+EC,AC=EF. 在△ABC和△EDF中， ∠B=∠D, ∠ACB=∠F, AC=EF, .'.△ABC≌△EDF(AAS. .BC=DF. 9.AB//CD, .∠ABO=∠CDO. OD⊥CD, .∠CD0=90°. ∴.∠ABO=90°，即OB⊥AB. .·AB//OH//CD,且相邻的平行线间 的距离相等， .OD=OB. 在△ABO和△CDO中， ∠ABO=∠CDO=90°， OB=OD, ∠AOB=∠COD, ∴.△ABO≌△CDO(ASA). .'CD=AB=18 m. 10.AM=2AN. 理由：连结PA. .PN∥AC,EF∥BC, ∴.∠CAP=∠NPA,∠CPA=∠NAP. 在△APC和△PAN中， ∠CPA=∠NAP, KPA-AP, ∠CAP=∠NPA, ,∴.△APC≌△PAN(ASA). .PC=AN. 同理，可得△APB2△PAM, .'BP=MA. .BP=2PC, .∴.AM=2AN. 方法归纳 证明角或线段相等的方法 (1)观察要证明的线段或角（或通过 等量代换得到的线段或角)在哪两个 可能全等的三角形中，当待证角或线 段不在这两个全等三角形中时，常常 添加辅助线构造全等三角形. (2)分析需要证明全等的两个三角 形，确定已知条件（包含图形中的 隐含条件)是什么，还缺什么条件 (3)设法证明所缺条件」 (4)写出证明过程」 11.(1)AB=AF+BD. :BE⊥CD .∠BEC=∠FEC=90 ∴.∠F+∠FCE=90°， :∠BAC=90, .∠FAB=90° .'.∠F+∠FBA=90° ∴.∠FBA=∠FCE. 在△AFB和△ADC中， ∠FAB=∠DAC=90°， AB=AC, ∠FBA=∠DCA, ∴.△AFB≌△ADC(ASA). ∴AF=AD. .∴.AB=AD+BD=AF+BD (2)(1)中的结论不成立. 如图①，当点D在AB的延长线上 时，同(1)，可得AD=AF, ∴.AB=AD-BD=AF-BD. 如图②，当点D在AB的反向延长线 上时，同(1)，可得AF=AD, .AB=BD-AD=BD-AF F DE ① ② (第11题) 易错警示 没有画出符合题意的图形 解决这类探究题时，要了解条 件中“动，点”的真正含义，需要画出 符合题意的图形，不要受问题原有 图形的影响直接加以解答，否则结 果往往是错误的.因此，解题时我 们要认真审题，在原有思路的基础 上让图形中的动点真正动起来，寻 求正确的结论 18 第4课时边边边 1.B2.D3.559 4.(1)BE=CF, ∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE. 在△ABF和△DCE中， (AB=DC, BF-CE, AF=DE, '.△ABF≌△DCE(SSS): .∠B=∠C (2)由(1)知，△ABF2△DCE, .∠DEC=∠AFB. :∠A=55°，∠B=75°， .∠AFB=180°-55°-75°=50°. '.∠DEC=50°. 5.C解析：在△ABC和△CED中， (BC=ED, AC=CD,.△ABC≌△CED(SSS). AB=CE, ∴.∠ACB=∠CDE,∠B=∠E. :∠ACE=180°-∠B- 2x°， .∠ACE+∠B=180°-2x. :∠DFC=∠E+∠ACE, ∴.∠DFC=180°-2x.:∠DFC+ ∠FDC+∠FCD=180°，∠FDC= ∠FCD,.∠FDC=x. 6.C解析：在△CAD和△CBD中， CA=CB, AD=BD,'.△CAD≌△CBD(SSS). CD-CD, ∴.∠CDA=∠CDB.:∠ADN= 80°，∠BDN=30,∴.∠ADB= ∠ADN+∠BDN=80°+30°=110°. :∠CDB=2∠ADB=号X1I0= 55°.'.∠CDN=∠CDB-∠BDN= 55°-30°=25. 7.D解析：.在△AOD和△BOC ∠0=∠0， 中，3OA=OB,∴.△AOD≌△BOC ∠A=∠B, (ASA),故①正确.△AOD≌ △BOC,∴.OD=OC..OB-OD= OA-OC,即BD=AC..·在△ACE ∠AEC=∠BED, 和△BDE中，∠A=∠B, AC=BD, ∴.△ACE≌△BDE(AAS),故②正确. .△ACE2△BDE,.AE=BE.如 图，连结OE.在△AOE和△BOE OA=OB, 中，AE=BE,.∴.△AOE≌△BOE OE=OE, (SSS).∴.∠AOE=∠BOE.∴.点E 在∠AOB的平分线上，故③正确. .正确的是①②③. B E 0 C A (第7题) 8.115 解析：.∠E=125, ..∠EDA+∠EAD=180°-∠E= 180°-125°=55°.在△ABC和 AB=DE, △DEA中，AC=DA,∴.△ABC≌ BC=EA, △DEA(SSS)...∠B=∠E=125°， ∠BAC=∠EDA.∴.∠BAE= ∠CAD+∠BAC+∠EAD= ∠CAD+∠EDA+∠EAD=6O°+ 55°=115°. 9.在△AOE和△COE中， AE=CE, ROA=OC, OE=OE, ..△AOE2△COE(SSS). .∠AOE=∠COE,即∠AOE= ∠EOF. 同理，可证△BOF2△DOF, ..∠BOF=∠DOF,即∠EOF= ∠DOF. ..∠AOE=∠EOF=∠DOF. 10.(1)AD=FC. 理由：，AD∥BC, ∴.∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. E为CD的中点， .'ED=EC. 在△DAE和△CFE中， ∠DAE=∠F, ∠D=∠ECF, ED=EC, .∴.△DAE≌△CFE(AAS). .AD-FC. (2)BE⊥AF. 理由：由(1)，知△DAE≌△CFE, .AE=FE,AD=FC. AB=BC+AD, .∴.AB=BC+FC,即AB=FB (AB=FB, 在△ABE和△FBE中，AE=FE, BE=BE, ∴.△ABE≌△FBE(SSS). ∴.∠AEB=∠FEB. ,∠AEB+∠FEB=180, .'.∠AEB=∠FEB=90°. .BE⊥AF. 11.(1).AF=CE .'.AF+EF=CE+EF,即AE= CF. 在△ADE和△CBF中， (AD=CB, DE=BF AE=CF, .∴.△ADE≌△CBF(SSS) .∠A=∠C. .∴.ADCB. (2)AD//CB. 理由：AF=CE, .'.AF-EF=CE-EF,即AE= CF. 在△ADE和△CBF中， (AD=CB, RDE=BE, AE=CF, ∴.△ADE≌△CBF(SSS). ∴.∠A=∠C ∴.ADCB. (3)AD和CB不一定平行. 理由：在△ADE和△CBF中，仅 有AD=CB,DE=BF不能判定它们 全等，即不能得出∠A=∠C, .AD和CB不一定平行. 19 第5课时斜边直角边 1.B2.B3.60 4.AE⊥BD,CF⊥BD, ∴.∠AEB=∠CFD=90°. BF=DE, ∴.BF+EF=DE+EF,即BE=DF. 在Rt△AEB和Rt△CFD中， (AB=CD, BE=DE '.Rt△AEB≌Rt△CFD(HL). ∴.∠B=∠D. .AB//CD. 5.C解析：在Rt△ABD和Rt△BAC (AB=BA, 中， '.Rt△ABD≌ BD=AC, Rt△BAC(HI).∴.∠2=∠1，∠DAB= ∠CBA,AD=BC.∴.∠DAB-∠1= ∠CBA-∠2，即∠DAE=∠CBE.故 选项A、D不符合题意.在△ADE ∠D=∠C=90°， 和△BCE中， <AD=BC, ∠DAE=∠CBE, ∴.△ADE≌△BCE(ASA).∴.DE= CE..选项B不符合题意，选项C符 合题意， 6.A 7.65°解析：DE⊥AB,DF⊥ BC,∴.∠DEB=∠FDC=90.在 BD=CF, Rt△BED和Rt△CDF中， BE=CD. .Rt△BED≌Rt△CDF(HL). ∴.∠BDE=∠CFD.∠AFD= 155°，∴.∠CFD=25.∴.∠BDE= 25.又，∠FDC=90°，∴.∠EDF= 180°-25°-90°=65. 8.7解析：AB⊥PQ,.∠EBC 90°.MN∥PQ,∴.∠DAE=180°- ∠EBC=90°.在Rt△AIDE和 Rt△BEC中 DE=:.R△ADE2 AD=BE. Rt△BEC(HI).∴.AE=BC.,AD+ BC=7,.AB=BE+AE=AD+ BC=7. 9.(1)BM⊥直线1，CN⊥直线l, ∴.∠AMB=∠CNA=90°. 在Rt△AMB和Rt△CNA中， (AB=CA, BM=AN, .'.Rt△AMB≌Rt△CNA(HI). (2)由(1)，得Rt△AMB≌Rt△CNA, .∴.∠BAM=∠ACN. .∠CNA=90°， ∴.∠CAN+∠ACN=90. ..∠CAN+∠BAM=90°. ∠BAC=180°-（∠CAN+ ∠BAM)=90°. .AB⊥AC. 10.,AD、AF分别是钝角三角形 ABC和钝角三角形ABE的高， ∴.∠D=∠F=90. 在Rt△ADC和Rt△AFE中， AC=AE, AD-AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE(HL). .CD=EF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中， AB=AB, AD-AF, .∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HI). .'BD=BF. .'BD-CD=BF-EF. .BC=BE. 方法归纳 判定直角三角形全等的 “四种思路” (1)若已知条件中有一组直角边和 一组斜边分别相等，则用“Ⅱ”判定 (2)若有一组锐角和一组斜边分别 相等，则用“AAS”判定. (3)若有一组锐角和一组直角边分 别相等，①直角边是锐角的对边， 则用“AAS”判定：②直角边是锐角 的邻边，则用“ASA”判定 (4)若两组直角边分别相等，则用 “SAS”判定. 11.如图，过B、C两点分别作CA、 BA的垂线，分别交CA、BA的延长 线于点F、G 在△ABF和△ACG中， ∠F=∠G=90°， ∠FAB=∠GAC, AB=AC, .∴.△ABF≌△ACG(AAS) .BF=CG. 在Rt△BEF和Rt△CDG中， (BE=CD, BF=CG, .Rt△BEF≌Rt△CDG(HL). ∴.∠AEB=∠ADC. G A D B (第11题) 专题特训六全等三角形的 基本模型 1..BE=CF, '.BE一CE=CF-CE,即BC=EF AC⊥BC,DF⊥EF, ∴.∠ACB=∠F=90. ∴.△ABC、△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， (AB=DE, BC=EF, .∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ..AC=DF. 2.AC=DF,AC∥DF. BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE, ∠B=∠DEF, BC=EF, .△ABC≌△DEF(SAS). ∴.AC=DF,∠ACB=∠F ∴.AC∥DF. 3.∠BAD=∠EAC, .∴.∠BAD+∠DAC=∠EAC+ ∠DAC,即∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中， AB=AE, ∠BAC=∠EAD, AC=AD, 20 .'.△ABC≌△AED(SAS) .∠C=∠D 4.(1)如图，连结AD 在△ABD和△ACD中， (AB-AC, BD=CD, AD-AD. .'.△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C. (2),DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F, ∴.∠BED=∠CFD=90 在△BDE和△CDF中， (∠BED=∠CFD, ∠B=∠C, BD=CD, .∴.△BDE≌△CDF(AAS). .BE=CF. (第4题) 5.由题意，得∠MQP=∠NQH= ∠NRP=90° '.∠PMQ+∠P=∠HNQ+ ∠P=90. '.∠PMQ=∠HNQ. 在△MQP和△NQH中， ∠PMQ=∠HNQ, MQ-NQ, ∠MQP=∠NQH, .△MQP≌△NQH(ASA). ∴.PQ=HQ=5. NQ=MQ=9, .∴.MH=MQ-HQ=9-5=4. 6..AE=CF, .AE+EF=CF+EF,即AF= CE. .BF⊥AC,DE⊥AC, .∠BFA=∠DEC=90° 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE,拔尖特训·数学（华师版）入年级上 12.2 三角形全等的判定 第1课时 全等三角形及其判定条件 自基础进阶 淘素能攀升 1.(2024·济南)如图，△ABC≌△DEC,∠A= 5.如图，点M在△ABF的边AF上，△DCE与 60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为( △ABF关于过点M的某一条直线对称，且 A.40°B.60°C.80°D.100° 点B、E、F、C在同一条直线上，则下列说法 中，错误的是 () A.△ABF≌△DCEB.AB=DC C.∠ABF=∠DCED.BE≠CF (第1题) (第2题) 2.如图，△FAB≌△ECD,则将△FAB通过一 次变换可得△ECD,这种变换是 D (第5题) (第6题) A.平移 B.翻折 6.如图，△ABE≌△ACD,则下列结 C.旋转 D.不存在这样的变换 论中，不一定成立的是 3.如图，若沿直线AC对折， A.AB=AC △ABC与△ADC重合，则 B.∠BAE=∠CAD △ABC≌ ,AB的对应 B C.BE=CD 边是 ,AC的对应边是 (第3题) D.AD=DE ,∠B的对应角是 7.*如图，点D在AC上，点B在AE上， ,∠BCA的对应角是 △ABC≌△DBE.若∠A:∠C=5:3,则 4.如图，△AOB绕点A按顺时针方向旋转后得 ∠DBC的度数是 () △ADC,连结BC.若∠O=90°，∠ABC A.30°B.25 C.20°D.15 ∠ACB,BCOA,∠OAD=80°，写出图中的 全等三角形，并求出∠ABO的度数 D 0 (第7题) (第8题) 0 (第4题) 8.如图，将△ABC沿AB方向平移后得到 △DEF,DF交BC于点O.若∠A=80°， ∠E=60°，则∠C的度数是 9.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=50°，将 A △ABC折叠，使点A落在 CB边上的点A'处，折痕为 2----2A CD,则∠A'DB= (第9题) 52 第12章全等三角形 10.如图，△ABC绕点B按顺时针方向旋转90° 缈思维拓展 得到△DBE,且∠ABC=90° 12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿 (1)△ABC和△DBE是否全等？如果全 着边AB、AC所在直线翻折形成的，AE交 等，请写出对应边和对应角， CD于点P.若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则 (2)直线AC与直线DE有怎样的位置关 ∠α的度数为 系？请说明理由， E D B C E (第12题) (第10题) 13.如图，△ABC绕点A按逆时针方 向旋转后得△ADE,BC的延长线 交AD于点F,交AE的延长线于 点G,∠ACB=105°，∠CAD=10°， ∠ADE=25°.求∠DFB和∠G的度数， D 11.如图，△ABC≌△DEB,点E在AB上，DE 与AC相交于点F, (1)当DE=8,BC=5时，线段AE的长为 (第13题) (2)若∠D=35°，∠C=60°，求： ①∠DBC的度数， ②∠AFD的度数. (第11题) 53 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时 边角边 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列各图中，a、b、为三角形的边长，则甲、 5.如图，在△ABC中，AB=6,BC=7,AC=5, 乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截 B 取AE=AC,连结DE,则△BDE的周长为 ( 72 丙 人50 A.9 B.8 (第1题) C.7 D.6 A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有乙 2.如图，AB=AC,AD=AE,若要使△ABD≌ △ACE,还须添加一个条件，则下列所添加的 D 条件中，恰当的是 (第5题) (第6题) A.∠ADB=∠AECB.∠ABD=∠ACE 6.如图，EA⊥AB,BC∥EA,EA = C.∠BAD=∠ACED.∠BAC=∠DAE AB=2BC,D为AB的中点.有下列 结论：①DE=CA;②DE⊥AC; ③∠ADF=∠EAF;④∠C=∠ADF; ⑤∠C=∠E.其中，正确的有 ) A.2个 B.3个 (第2题) (第3题) 3.如图，点E、A、C在同一条直线上，ABCD, C.4个 D.5个 AB=CE,AC=CD.若∠D=40°，∠ECD= 7.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示. 115°，则∠B= 已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,点B、 4.(2024·西藏)如图，C是线段AB的中点， F、C、E在同一条直线上，其中△ABC的周 AD=BE,∠A=∠B.求证：∠D=∠E 长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架 所需这种材料的长度为 cm. C B (第4题) FC (第7题) 8.新情境·日常生活在某地新修建的花园小区 中，有如图所示的“Z”字形绿色长廊ABCD, 其中AB∥CD,在AB、BC、CD三条绿色长 廊上各修建一座凉亭E、M、F,且BE=CF, M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一 池塘，不能直接到达，但要想知道凉亭M与 54 第12章全等三角形 F之间的距离，应该怎么办呢？写出你的方 思维拓展 法，并说明理由。 10.在△CAB和△CDE中，CA=CB,CD= A R CE,∠ACB=∠DCE=a,连结AD、BE. M (1)如图①，求证：△ACD≌△BCE: (2)如图②，当α=90°时，取AD、BE的中 F D (第8题)》 点P、Q,连结CP、CQ、PQ,判断△CPQ的 形状，并给出证明. Q (第10题) 9.如图，在△ABC中，AD、CE分别是 边BC、AB上的高，AD与CE交于 点F,连结BF,延长AD到点G,使 AG=BC,连结BG,CF=AB. (1)试判断BG与FB之间的数量关系，并说 明理由. (2)求∠FBG的度数. (第9题) 55 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第3课时 角边角 自基础进阶 幻素能攀升 1.根据图中所给的条件，能够判定三角形全等 5.如图，∠BAD=∠CAE,AB=AD,∠B 的是 ( ∠D,则下列结论正确的是 () 6 62 828 6 A.AC=DE B.∠ABC=∠DAE 28” 28 28 28°70以 8 8 C.BC=DE D.∠BAC=∠ADE ① ② ③ ④ (第1题) A.①和② B.②和④ C.①和③ D.③和④ 2.如图，∠D=∠A,∠1=∠2，点A、F、C、D FD 在同一条直线上，若要使△ABC≌△DEF, (第5题) (第6题) 6.如图，AB⊥CD,且AB=CD,E、F 则还应给出的条件是 ( 是AD上两点，CE⊥AD,BF⊥山 A.∠B=∠E B.BA-ED AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则 C.AB=EF D.AB-DF AD的长为 A.a+c B.b+c D D C.a-b+c D.a+b-c 7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,AD⊥ (第2题) (第3题) BD.若△BCD的面积为45，△ADC的面积 3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E, 为20，则△ABD的面积为 DE=FE,FC∥AB.若AB=4,CF=3,则 BD的长是 4.(2023·淮安)如图，D为线段BC上一点， BD=AC,∠E=∠ABC,DE∥AC.求证： (第7题) DE=BC. 8.如图，在△ABC和△EDF中，∠B=∠D= 90°，点A、E、C、F在同一条直线上，AE CF,BC的延长线交DF于点M,且 ∠MCF=∠F.求证：BC=DF. B (第4题) E (第8题) 56 第12章全等三角形 9.新情境·日常生活杨阳同学沿一段笔直的人爸思维拓展 行道行走，在由A处步行到B处的过程中， 11.易错题如图，在△ABC中，AB=AC, 通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行 ∠BAC=90°，D是直线AB上的一个动点 道宣传墙上的标语，其具体信息汇集如下：如 (不与点A、B重合)，BE⊥CD,交直线CD 图，AB//OH //CD,相邻的平行线间的距离 于点E,交直线AC于点F. 相等，AC、BD相交于点O,OD⊥CD,垂足 (1)若点D在边AB上，试探究线段BD、 为D,已知AB=18m,请根据上述信息求标 AB和AF之间的数量关系，并证明你的 语CD的长度， 结论 人行道 B4行车道 (2)若点D在AB的延长线或反向延长线 行车道0隔离带 上，(1)中的结论是否成立？若不成立，请 C1D人行道 直接写出正确的结论 标语 (第9题) (第11题) 10.★如图，P是△ABC的边BC上的 一个动点，过点A作EF∥BC,过 点P分别作PM∥AB,PN∥AC PM、PN分别交EF于M、N两点.当 BP=2PC时，线段AM与AN之间有什么 数量关系？请说明理由， ME B (第10题) 57 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第4课时 边边边 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，AB=AC,EB=EC,则 5.如图，点D在线段BC上.若BC=ED,AC 直接利用“SSS”可以判定 () CD,AB=CE,且∠ACE=180°-∠B A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACE 2x°，则下列角中，度数为x的是 () C.△BDE≌△CDED.以上都不对 A.∠EFC B.∠ABC C.∠FDC D.∠DFC D (第1题) (第2题) 2.如图，E为BC的中点，AB=DE,AE=DC, (第5题) (第6题) 则下列结论中，不一定正确的是 ( 6.如图，在四边形ACBD中，CA=CB,AD= A.∠A=∠D B.∠B=∠DEC BD,M、N分别为边CA、CB上一点.若 C.∠C=∠AEB D.∠B=∠C ∠ADN=80°，∠BDN=30°，则∠CDN的度 3.如图，AC=BD,AO=BO,CO=DO,∠D 数为 () 30°，∠A=95°，则∠AOC= A.40°B.15° C.25°D.30 7.如图，OA=OB,点C、D分别在 0 OA、OB上，AD、BC相交于点E B (第3题) 且∠A=∠B,有下列3个结论 4.如图，点E、F在BC上，AB=DC,AF= ①△AOD≌△BOC:②△ACE≌△BDE; DE,BE=CF. ③点E在∠O的平分线上.其中，正确的是 (1)求证：∠B=∠C. () (2)若∠A=55°，∠B=75°，求∠DEC的 A.① B.② 度数 C.①② D.①②③ D B E (第4题) (第7题) (第8题) 8.如图，在五边形ABCDE中，若AB=DE, BC=AE,∠E=125°，AC=AD,∠CAD= 60°，则∠BAE的度数为 9.新考向·数学文化数学家鲁弗斯设计了一个 仪器，它可以三等分一个角.如图，点A、B、 C、D分别固定在以O为公共端点的四根木 58 第12章全等三角形 条上，且OA=OB=OC=OD,点E、F可以物思维拓展 在中间的两根木条上滑动，且AE=CE= 11.如图，AD=CB,E、F是AC上的 BF=DF.求证：∠AOE=∠EOF=∠DOF. 两个动点，且DE=BF. (1)若点E、F运动至如图①所示 的位置，且AF=CE.求证：AD/∥CB. 4 (2)若点E、F运动至如图②所示的位置， D 且AF=CE,则AD和CB平行吗？请说明 (第9题) 理由. (3)若点E、F不重合，则AD和CB平行 吗？请说明理由. 1 (第11题) 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为 CD的中点，连结AE、BE,延长AE交BC 的延长线于点F. (1)判断AD与FC之间的数量关系，并说 明理由 (2)若AB=BC+AD,判断BE与AF之 间的位置关系，并说明理由。 (第10题) 59 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第5课时斜边直角边 自基础进阶 幻素能攀升 1.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则 5.如图，AC=BD,∠C=∠D=90°，下列结论 下列四组条件中，不能判定△ABC≌△DEF 中，错误的是 () 的是 ( A.∠DAE=∠CBE A.AB=DE,AC=DF B.CE=DE B.AC=EF,BC=DF C.△DAE与△CBE不一定全等 C.AB=DE,BC=EF D.∠1=∠2 D.∠C=∠F,BC=EF 2.如图，∠B=∠DEF=90°，AB=DE,要根据 “HL”判定△ABC≌△DEF,则需添加的条 件是 ( (第5题) (第6题) A.BC=EF B.AC=DF 6.如图，AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于点F, C.∠A=∠D D.∠ACB=∠F AE⊥EC于点E,则图中全等的三角形共有 () A.4对 B.3对 B 4 C.2对 D.1对 D (第2题) (第3题) 7.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥ 3.如图，在△ABC中，D为边BC的中点， AB于点E,DF⊥BC,交AC于点F,BD= DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BE= CF,BE=CD.若∠AFD=155°，则∠EDF的 CF.若∠BDE=30°，则∠A的度数为 度数为 4.如图，AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD 于点F,BF=DE.求证：AB/CD D D (第7题) 8.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A、D (第4题) 在直线MN上，点B、C在直线PQ 上，点E在AB上，AD+BC=7, AD=BE,DE=EC,则AB= MA D N E P B C Q (第8题) 60 第12章全等三角形 9.如图，AB=AC,直线I过点A,BM⊥直线l, 思维拓展 CN⊥直线l,垂足分别为M、N,且BM= 11.八年级数学社团活动课上，同学们讨论了 AN.求证： 这样一道题：如图，在△ABE和△ACD (1)△AMB≌△CNA. 中，∠BAC是钝角，AB=AC,点D、E分别 (2)AB⊥AC. 在边AB、AC上，且CD=BE.求证： ∠AEB=∠ADC. 其中一名同学的解法如下： M 在△ABE和△ACD中， (第9题) AB=AC, BE=CD, ∠BAE=∠CAD, .△ABE≌△ACD(SSA). .∠AEB=∠ADC 这种解法遭到了其他同学的质疑，理由是不 能用“SSA”证明三角形全等.请你给出这道 题的正确解法 10.*如图，AD、AF分别是钝角三角 形ABC和钝角三角形ABE的高， (第11题) AD=AF,AC=AE.求证：BC=BE. D B (第10题) 6