第11章 整式的乘除 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第11章整合拔尖 知识体系构建 幂的运算 同底数幂的乘法。a"·a=am(m、n为正整数) 幂的乘方。(a")"=a(m、n为正整数) 积的乘方。(ab)"=ab(n为正整数) 同底数幂的除法。a"÷a"=a”(a≠0，m、n为正整数，并且m>n) 单项式与 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单 单项式相乘 整式的乘法 项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式 单项式与 多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加 式的 多项式与 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一 多项式相乘 项，再把所得的积相加 除 乘法公式 两数和乘以这两数的差。(a+b)(a-b)=a2-b 两数和（差）的平方 。(a±b)=a2±2ab+b 单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除 整式的除法 除以单项式，式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多项式 先用这个多项式的每一项除以 除以单项式 这个单项式，再把所得的商相加 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解 因式分解 与整式 因式分解 多项式 几个整式的积的形式 乘法的关系 整式乘法 般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 提公因式法 乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法 方法 平方差公式。a2-=(a+b)(a-) 公式法 两数和（差）的平方公式。a±2ab+b=(a±b) 一提：有公因式的先提公因式 步骤 二套：套用公式 三检查：检查因式分解的结果是否分解彻底 44 第11章整式的乘除 S幻高频考点突破 考点一幂的运算性质 考点四乘法公式的变形 典例1下列运算正确的是 典例4若a十b=10,ab=11,则代数式 A.3a+a=4a2 a2一ab+b2的值为 ( B.3a3·2a2=6a9 A.89 B.-89 C.67 D.-67 C.(a3)2÷a5=1 一提示 把a十b=10两边同时平方，利用两数和的平方 D.(-2a)3=-8a3 公式展开，将ab=11代入求出a2+b2的值，代入原 [变式]下列计算正确的是 式计算即可得到结果 A.2x+3y=6xy B.m·(-m)3·(-m)2=m [变式]已知(x-y)2=4,xy=3,则(x十y)2= C.alo÷a4=a D.(-2b2)3=8b 考点五●整式的化简求值 考点二逆用幂的运算性质求值 典例5张老师在黑板上布置了一道题：已知 典例2若4m=16,8”-512,则22m-3m+1的值为 y=-1,求代数式[(x+2y)2+(x十y)(y- x)一5y]÷(一2x)的值.小白和小红展开了如 图所示的讨论.你认为谁说得对？请说明理由. 提示 逆用同底数幂的乘法法则将22m一+1变形为 若能求解，请求出代数式的值， 22m÷2跏×2，只要根据已知条件通过适当变形确定 只知道y的值，没有告 这道题的答案与x的值无关， 出22m与23”的值后即可求得结果」 诉x的值，求不出答案. 是可以求解的。 [变式]已知9+1一32"=72，则n= 考点三整式的乘除运算 小白 小红 (典例5图) 典例3下列运算正确的是 A.(-5a)·(2a2-3a+1)=-10a3+15a2 B.(2m+3)(m-2)=2m2-6 C.(5m+2m)2=25m2+4n2 D.(27m4-18m2)÷(-3m)2=3m2-2 提示 根据各个选项中的式子，利用相关的运算法则 变式]先化简，再求值：[(x一2y)(x+2y)一 计算出结果，即可作出判断. (x-y)2+y(y+2x)]÷(-2y),其中x=1, y=-2. [变式]有下列计算：①（一x2y)2÷(一2xy)= 7y:@(r-4oy-r-8y-16y,®(a 1)(-3a-1)=1-9a2;④(3a+2b)(-2b 3a)=9a2+12ab+462.其中，正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 45 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 考点六因式分解 考点七整式运算的实际应用 典例6易错题把下列各式分解因式： 典例7新情境·日常生活某全民健身中心的长 (1)ax4-8ax2y2+16ay4. 方形游泳场设计方案如图所示，A区为成人泳 (2)m6-81m2n4. 区，B区为儿童泳区，其余为草坪 (3)16.xa2b2-x(a2+4b2)2. (1)泳区和草坪的面积各是多少？ 一提示 (2)游泳场的面积是成人泳区的面积的多少倍？ (1)首先提取公因式a,再用两数差的平方公式 .5a 分解，最后用平方差公式分解.(2)首先提取公因式 3a m,然后用平方差公式分解，最后把其中的一个因式 用平方差公式分解.(3)首先提取公因式x,然后用 3a 3a A 平方差公式分解，最后把两个因式用两数和（差）的平 3a 方公式分解. 2 (典例7图) 一提示 (1)由题意，知成人泳区的形状是长方形，它的 长为4a,宽为3a,利用长方形的面积公式即可求出 A区的面积，儿童泳区的形状是圆，它的直径为3a, 利用圆的面积公式即可求出B区的面积，相加即可 得到泳区的面积，由整个游泳场（大长方形）的面积减 [变式]把下列各式分解因式： 去A区（小长方形）的面积减去B区（圆）的面积，即 (1)2x3+4x2+2x. 可表示出草坪的面积.(2)表示出游泳场的面积及成 人泳区的面积，利用整式的除法列式计算即可 (2)x6-x2y4. [变式]边长分别为a和b(a>b)的两个正方形 按如图所示的方式摆放，则图中涂色部分的面 积为 (3)(a2+9)2-36a2. A a2+b2 2 B.2ab C.tab D. a2-62 2 46 第11章整式的乘除 综合素能提升 1.已知254×5%=56,4÷4=4，则代数式 7.已知代数式(ax-3)(2x+4) a2+ab+3c的值为 ( x2一b化简后不含x2项和常数 A.3 B.6 C.7 D.8 项，求： 2.若定义 表示(2x),定义日园表 (1)a、b的值. (2)[(a+4b)(a-4b)-(a+2b)2-2(a+ 示-4acb,则计算 m n ÷23 的结果为 2b)(a-5b)]÷a的值. A.-16n B.16n C.mn D.-mn 3.在日常生活中，取款、上网等活动都需要密 码.有一种用“因式分解法”产生的密码，方便 记忆，如对于多项式x4一y,分解因式的结 果是(x-y)(x十y)(x2+y2),取x=9,y 9时，各个因式的值为x一y=0,x十y=18, x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一 个六位数的密码.对于多项式9x4一x2y2,取 8.发现：任意五个连续整数的平方和是5的 x=8,y=11时，用上述方法产生的密码不可 倍数 能是 ( 验证：(1)（一1）2+0+1+22+32的结果是 A.643513 B.643153 5的几倍？ C.641335 D.356413 (2)设五个连续整数的中间一个整数为n,写 4.将4张长为a、宽为b(a>b)的长方 出它们的平方和，并说明结果是5的倍数 形纸片按如图所示的方式拼成一个 延伸：(3)任意三个连续整数的平方和能被3 边长为a十b的正方形，图中空白部 整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结 分的面积为S1,涂色部分的面积为S2,若 论，并说明理由、 S1=2S2,则a、b满足 A.2a=5b B.2a=3b C.a=3b D.a=2b (第4题) 5.若p+2与g一8q+16互为相反数，则多项 式(x2+y2)一(pxy十q)分解因式的结果为 6.若(a-b)2=17,ab=-3,则代数式[8(a+ b)7-4(a+b)5+(-a-b)3]÷[2(a+b)3] 的值为 474.(1)原式=[(x+y+之)+(x y十x)][(x+y+z)-(x-y十x] (x+y十之+x一y+之)(x+y十之一 x+y-x)=2y(2x+22)=4y· (x十x). (2)原式=「(a+2b)+3(a-2b) [4(a-b)]2=16(a-b)2. 5.(1)原式=xy-16=(x2y2+4)· (x2y2-4)=(x2y2+4)(xy+2)· (xy-2). (2)原式=(x2+6.x+9)2=[(x+ 3)2]2=(x+3)4 6.(x+4y)(x一4y)解析：原式= 8x2-16y2-7.x2-xy+xy=x2- 16y2=(x+4y)(.x-4y). 7.1)原式=4a2-(x2-4xy+ 4y2)=4a2-(x-2y)2=(2a+x 2y)(2a-x+2y). (2)原式=(a.x-bx)+(a2-2ab+ b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)· (x+a-b). 8.(1)如图①，原式=(x十2)(2x+3). (2)如图②，原式=(2x一3)(3x+1). 3 3 3 1×3+2×2=7 2×1+(-3)×3=-7 ① ② (第8题) 9.(1)288000解析：原式=2× (572+428)×(572-428)=2× 1000×144=288000. (2)1解析：原式=20252-2× 2025×2024+20242=(2025 2024)2=1. 10..28-1=(224一1)×(224十 1)=(22-1)×(22+1)×(224+ 1)=(26-1)×(26+1)×(212+1)× (224+1)=63×65×(212+1)× (224+1), ∴.28-1可以被63和65这两个数 整除 1山.(1)原式=-2ab(a2-2ab+ 6)--2ub(a-b--@-u. .b-a=-3,ab=-2, 原式=-7×(-2)X(-3)=9. (2)原式=(m+21+3m-n)(m+ 2-3m+n)=(4m+n)(3n- 2m)=-(4m+n)(2m-3n). 当4m十n=40,2m-3n=5时， 原式=-40×5=-200. 12.(1)△ABC是等腰三角形 理由：，a、b、c为△ABC的三条边的 长，b2+2ab=c2+2ac, .∴.b2-c2+2ab-2ac=0, 即(b-c)(b+c+2a)=0. b+c+2a>0, ..b-c=0. ..b=c. '.△ABC是等腰三角形 (2).b=3, ∴.c=b=3. 又a=4, ∴.△ABC的周长为a+b+c=4+ 3+3=10. 第11章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D [变式]C 典例216 解析：，4"=16,8”= 512,.(22)m=16,(23)”=512. .2=16,2m=512..22咖-3+1= 20÷20×2=16÷512×2=16 1 [变式]1解析：9+1一32”=72， ∴.9”X9-9”=72..8X9”=72,即 9”=9..∴.n=1. 典例3D [变式]A 典例4C解析：把a十b=10两边 同时平方，得(a+b)2=a2十b2+ 2ab=100.把ab=11代入，得a2+ b2=78.∴.原式=78-11=67. [变式]16解析：：(x-y)2=4, xy=3,∴.(x+y)2=(x-y)2+ 13 4xy=4+4×3=4+12=16. 典例5小红说得对. 理由：[(x+2y)2+(x+y)(y-x)- 5y2]÷(-2x)=(x2+4xy+4y2+ y2-x2-5y2)÷(-2x)=4xy÷ (-2x)=-2y. 化简后的结果不含x, ∴.这道题的答案与x的值无关，是可 以求解的，即小红说得对. 当y=一1时，原式=一2× (-1)=2. [变式]原式=(x2-4y2-x2+ 2axy-y2+y2+2.xy)÷(-2y)= (4xy-4y2)÷(-2y)=-2x+2y. 当x=1,y=-2时，原式=-2×1+ 2×(-2)=-2-4=-6. 典例6(1)原式=a(x4一8x2y2+ 16y)=a(x2-4y2)2=a[(x十 2y)(x-2y)=a(x+2y)(x-2y)2. (2)原式=m2(m-81n4)=m2(m2 9m2)(m2+9n2)=m2(m+3n)(m- 3)(m2+92). (3)原式=x[16ab2-(a2+ 4b2)2]=x[4ab+(a2+4b2)][4ab- (a2+4b2)]=-x(a2+4ab+4b2)· (a2-4ab+4b2)=-x(a+2b)2(a 2b)2. 一易错警示 因式分解要注意选择方法 对于较复杂的因式分解题，首 先要考虑的方法不是公式法，而是 提公因式法，如第(1)小题，如果先 考虑公式法，就不好分解因式：第 (2)小题，若先运用公式法分解因 式，则容易出现分解不彻底的 错误。 变式](1)原式=2.x(x2+2x+ 1)=2x(x+1)2. (2)原式=x2(x4-y4)=x2(x2 y2)(x2+y2)=x2(x-y)(x+ y)(x2+y2). (3)原式=(a2+9-6a)(a2+9+ 6a)=(a-3)2(a+3)2. 典例7(1)根据题意，得A区的面积 为4a·3a=12a2,B区的面积为 (受)=，则泳区的面积为 12x+T,草坪的面积为(a十十 5a)(受+3a+受)-(12w2+4) 48a2-9a2 4 (2)根据题意，得(a十4a+5a) 3 2 3u+3a ÷(3a·4a）=60a2÷ 2 12a2=5,即游泳场的面积是成人泳区 的面积的5倍。 [变式]A解析：如图，正方形 ABCF的边长为a,正方形CDEG的 边长为b.FG=FC-CG=a-b, ·'.S涂色部分=S正方无AxF十S正方CDG十 S三角形G一S三角形AD=a2十b2十 6a-b0)-2aa+b)=a于 1 2 B ←bD [综合素能提升] 1.B解析：.25×50=5×5必 52a+w=5,4÷45=4c=4,∴.2a+ 2b=6,b-c=1,即a+b=3,c=b- 1.∴.a2+ab+3c=a(a+b)+3(b- 1)=3a+3b一3=3(a+b)-3=3× 3-3=9-3=6. m n 2.A解析： m In 2 ÷23 (2mnX2)3÷(-4m3n2)=64m3n3÷ (-4m3n2)=-16n 3.B解析：9x4一x2y2=x2(9x2 y2)=x2(3.x-y)(3.x+y).当x=8, y=11时，x2=64,3.x-y=13,3.x+ y=35,产生的密码应包括数64、13、 35,∴.产生的密码不可能是643153. 1 4.D解析：S,=2b(a十b)×2+ 26x2+(a-by=a2+26,S, (a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+ 2b2)=2ab-b2.S1=2S2,∴.a2+ 2b2=2(2ab-b2),整理，得(a 2b)2=0..a-2b=0.∴.a=2b. 5.(x十y+2)(x十y-2)解析：由 题意，得p十2|+(g2-8g十16)=0， 即|p+2+(g-4)2=0.:|p+ 2|≥0，(g-4)2≥0，.p+2=0,9 4=0,解得p=一2，g=4..(x2十 y2)-(pxy+q)=(x2+y2) (-2xy+4)=x2+y2+2xy-4= (x+y)2-22=(x+y+2)(x+y-2). 6解析：原式=[8(a+b) 4(a+b)5-(a+b)3]÷[2(a+ b门=4a+6-2a+6)2-2 ,(a-b)2=17,ab=-3,.(a+ b)2=(a-b)2+4ab=17+4× (-3)=5.∴.原式=4[(a+b)2] 2a+6)P-7=4×52-2×5 1179 2=2 7.(1)(ax-3)(2x+4)-x2-b= 2a.x2+4ax-6.x-12-x2-b= (2a-1)x2+(4a-6)x+(-12-b). ,:该代数式化简后不含x2项和常 数项， 1 /2a-1=0, 解得 a=2 -12-b=0, b=-12. (2)原式=[a2-16b2-(a2+4ab+ 4b2)-2(a2-3ab-10b2)]÷a= (a2-16b2-a2-4ab-4b2-2a2+ 6ab+20b2)÷a=(-2a2+2ab)÷ a=-2a+2b 当a=分6=-12时，原式=-2× 号+2X(-12)=1-24=25 8.(1)(-1)2+02+12+22+32= 1+0+1+4+9=15=5×3, ∴.(-1)2+02+12+22+32的结果 是5的3倍. 14 (2)··五个连续整数的中间一个整 数为n, ∴.另外四个整数为n一2、n一1、n十 1、n+2. ∴.它们的平方和为(n一2)2+(1一 1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2. (n-2)2+(n-1)2+n2+(n+ 1)2+(n+2)2=5n2+10,(5n2+ 10)÷5=n2+2, .它们的平方和是5的倍数， (3)不能被3整除，余数是2. 理由：设三个连续整数的中间一个整 数为m,则另外两个整数为m一1， m+1. (m-1)2+m2+(m+1)2= 3m2+2, .不能被3整除，余数是2 第12章 全等三角形 12.1命题、定义、定理 与证明 第1课时命题 1.B2.C3.C4.两直线平行 内错角相等 5.(1)改写为“如果两个数的符号相 同，那么这两个数的和一定不是负 数”，条件是两个数的符号相同，结论 是这两个数的和一定不是负数，该命 题是假命题 (2)改写为“如果两个数互为倒数，那 么这两个数的积为1”，条件是两个数 互为倒数，结论是这两个数的积为1， 该命题是真命题 6.B解析：①③没有对事情作出判 断，不是命题；②④对事物作出了明确 的判断，是命题. 7.D解析：五边形的内角和为(5 2)×180°=540°，故选项A为假命题： 三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，故选项B为假命题： 正六边形是轴对称图形，故选项C是 假命题：三角形的外角和为360°，故选 项D为其命题， 8.C解析：在C选项图中，将∠a、 ∠3的非公共边分别延长，相交于一