第11章 专题特训5 因式分解的方法、技巧及应用-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训川五 因式分解的方法、技巧及应用 类型一 因式分解的常规方法 (2)(a+2b)2+6(a+2b)(a-2b)+9(a-2b)2. (一)提公因式法 1.把多项式x2(a-1)+x(1一a)分解因式的结 果为 (二)公式法 (五)多次运用公式法 2.把下面多项式分解因式： 5.把下面多项式分解因式： (1)9a2-4(a-b)2. (1)-16+xy4. (2)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81. (2)9(x+2y)2-30(x+2y)+25. 类型二因式分解的技巧 (三)先提再套法 (一)先展开再分解法 3.把下面多项式分解因式： 6.分解因式：8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy= (1)(x-1)+b(1-x). (二)分组分解法 7.新考法·阅读理解题阅读下面的材料，解决问题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公 式继续分解的方法称为“分组分解法”. (2)-16axy-8ax2-8ay2. 例如：下面两个式子因式分解的方法就称为 “分组分解法”. D am+an+bm+on=(am+bm)+(an+ bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n); (四)先套再提法 ②x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)= 4.把下面多项式分解因式： x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1). (1)(x+y+z)2-(x-y+z)2. 试用上述方法分解因式： (1)4a2-x2+4xy-4y2. 42 第11章整式的乘除 (2)a.x+a2-2ab-bx+b2. 类型三因式分解的应用 (一)简便计算 9.利用简便方法计算： (1)2×572-2×4282= (2)20252-2025×4048+2024= (三)十字相乘法 (二)判断整除性 8.(ax+b)(cx+d)=acx2+adx+ 10.248一1可以被60和70之间的某两个数整 bcx+bd=acx2+(ad+bc)x+bd 除，求这两个数 反过来写可得acx2+(ad+bc)x+ bd=(ax十b)(cx十d).我们就得到一个关于 x的二次三项式的分解因式的一个新的公 式.通过观察，我们发现公式左边二次项系数 为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理 (三)化简求值 数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理 数交叉相乘再相加的结果（如图①）.这种因 1.(1)已知b-a=-3,ab=-2,求-号 式分解的方法称为“十字相乘法”， a2b2- 2ab的值 例如：分解因式：12x2-5.x-2. 解：如图②，观察可知12x2一5x一2=(3x (2)已知4m+n=40,2m-3m=5,求(m+ 2)(4x+1). 2n)2-(3m-n)2的值. ad+bc 3×1+(-2)×4=-5 ① ② (第8题) 请根据上述方法，对下面多项式进行因式 分解： (四)判断三角形的形状 (1)2x2+7x+6. 12.已知a、b、c为△ABC的三条边的长，b2+ 2ab=c2+2ac. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由， (2)若a=4,b=3,求△ABC的周长. (2)6.x2-7x-3. 439.A 10.n≥4解析：.多项式a3b4 ab”c的公因式为ab,∴.单项式 a3b4、ab”c中a、b的最小指数分别为 1、4.∴.整数n的取值范围是n≥4. 11.(a+b-1)2解析：原式=(a十 b)(a+b-1)-(a+b-1)=(a+b- 1)(a+b-1)=(a+b-1)2. 12.3或一3解析：(x+2)(2x 一1)一(x十2)可以分解因式得 2(x+m)(x+n),∴.(x+2)(2x 1)-(x+2)=(x+2)(2x-2)= 2(x+2)(x-1)=2(x+m)(x+n). .m=2,n=-1或m=-1,n=2. .m-n=3或-3. 13.(1)原式=-2x3y(4.x-3y+1). (2)原式=(2a-3b)(x+3+3.x 1-5x-7)=(2a-3b)(-x-5)= -(2a-3b)(x+5). (3)原式=a(2a-x)2(2u-2a十 ）=子ax(2a-x)月. 易错警示 分解因式时漏项或弄错符号 (1)当多项式的第一项的系数是负 号时，一般先提出负号，提出负号 后，括号内的各项都要变号 (2)分解因式时不要漏项 14.(1)原式=m(m+n)(m-n m-n)=-2mn(m+n). 当m十n=1,m=时， 原式=-2×号×1=-1. (2)原式=7y(x-3y)2+2(x 3y)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]= (x-3y)2(7y+2x-6y)=（x 3y)2(2x+y. |2x+y=6, x-3y=1, .原式=12×6=6. 15.(1)提公因式法；2. (2)2025:(1+x)2026 (3)1+x+x(x+1)+x(x+ 1)2+…+x(x+1)”=(1十x)+1. 第2课时公式法 1.D2.D3.A4.2(x-1)2 5.3 6.(1)原式=(7m+5n)(7m一5n). ②原式=（号-）》 (3)原式=(x-2)(x2-16)=(x 2)(x十4)(x-4) (4)原式=-xy(x2-10x+25)= -xy(x-5)2 7.D 8.D解析：16-8x+x2=(4-x)2 x>4,.(4一x)2的算术平方根 为x一4.该正方形的边长为(x一 4)cm.'.该正方形的周长是4(x 4)=(4.x-16)cm 9.D 10.D解析：根据题意，得2a+2b 14,ab=10,∴.a+b=7.∴.a3b+ ab3+2a262=ab (a2+62+2ab)= ab(a+b)2=10×72=490. 11.士12解析：：多项式4x2 mxy十9y2能用两数和（差）的平方公 式因式分解，∴.一mxy=士2X2xX 3y,则一m=士2×2×3=士12，解得 m=士12 12.17解析：.(n+17)2一n2= (n+17+n)(+17-n)=17(2n+ 17),且n为任意整数，∴.(n十17)2 n2的值总可以被17整除.∴k的值 为17. 13.9解析：原式=x2十4xy 2xy+y2=x2+2xy+y2=(x+y)2. x十y十3=0，x十y=-3..原 式=(-3)2=9. 14.(1)原式=x2(x-y)-y2(x y)=(x2-y2)(x-y)=(x+y)(x y)(x-y)=(x+y)(x-y)2. (2)原式=3a2(x+y)[(x+y)2 9a2]=3a2(x+y)(x+y+3a)(x+ y-3a. (3)原式=(x2+9y2+6.xy)(x2+ 9y2-6xy)=(x+3y)2(x-3y)2. (4)原式=(y2-1)(x2+2x+1)= (y+1)(y-1)(x+1)2 (5)原式=-m[(a2+2)2-6(a2+ 2)+9]=-m(a2+2-3)2=-m· (a2-1)2=-m(a+1)2(a-1)2. 一方法归纳 因式分解的一般步骤 (1)提，指多项式中若含有公因式， 则一般先用提公因式法分解」 (2)套，指提取公因式后，若含有符 合两数和（差）的平方公式或平方 差公式特征的多项式，则均可套用 公式进行因式分解 (3)查，一查括号，即因式分解的结 果只能出现小括号，若过程中出现 中括号、大括号，则需要转化成小 括号的形式，同时化简括号内的多 项式：二查各项是否分解彻底，即 要分解到不能再分解为止， 15.a2-b2-5=0,c2-d2-2=0, .(a+b)(a-b)=5,(c+d)(c d)=2. ∴.原式=(ac+bd+ad+bc)(ac+ bd-ad-bc)=[c(a+b)+d(a+ b)][c(a-b)-d(a-b)]=(a+ b)(c+d)(a-b)(c-d)=(a+ b)(a-b)(c+d)(c-d)=5×2=10. 16.(1)C. (2)不彻底：(x一2)4 (3)设x2-2x=a. ∴.原式=a(a+2)+1=a2+2a+1= (a+1)2=(x2-2.x+1)2=(x-1)4. 专题特训五因式分解的 方法、技巧及应用 1.x(a-1)(x-1) 2.(1)原式=[3a+2(a-b)][3a 2(a-b)]=(5a-2b)(a+2b). (2)原式=[3(x+2y)-5]2=(3.x+ 6y-5)2 3.(1)原式=(x-1)-b2(x-1)= (.x-1)(1一b2)=(x-1)(1+b)· (1-b). (2)原式=-8a(2.xy+x2+y2) -8a(x+y)2. 4.(1)原式=[(x+y十之)+(x y十)][(x+y+x)-(x-y十名)]= (x+y+2+x-y+z)(x+y+之 x+y-)=2y(2.x+22)=4y (x十之). (2)原式=[(a+2b)+3(a-2b)]= [4(a-b)]2=16(a-b)2. 5.(1)原式=xy-16=(x2y2+4)· (x2y2-4)=(x2y2+4)(xy+2)· (xy-2). (2)原式=(x2十6.x+9)2=[(x十 3)2]2=(x+3)4 6.(x+4y)(x-4y) 解析：原式= 8.x2-16y2-7x2-xy+xy=x2 16y2=(x+4y)(x-4y). 7.(1)原式=4a2-(x2-4xy+ 4y2)=4a2-（x-2y)2=(2a+x 2y)(2a-x+2y). (2)原式=(a.x-bx)+(a2-2ab+ b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)· (x+a-b). 8.(1)如图①，原式=(x十2)(2x十3). (2)如图②，原式=(2.x一3)(3x+1). 3 3 1×3+2×2=-7 2×1+(-3)×3=-7 ① ② (第8题) 9.(1)288000 解析：原式=2× (572+428)×(572-428)=2× 1000×144=288000. (2)1解析：原式=20252一2× 2025×2024+20242=(2025 2024)2=1. 10..248-1=(224-1)×(224十 1)=(22-1)×(212+1)×(224+ 1)=(26-1)×(2+1)×(212+1)× (224+1)=63×65×(212+1)× (224+1), ∴.28一1可以被63和65这两个数 整除 1)原式=-号ab(a2-2ab十 b2)=1 ca-b=-2cb6-a月. b-a=-3,ab=-2, :原式=号×(-2)×(-3)=9， (2)原式=(m+2n+3m一n)(m+ 2-3m+n)=(4m+n)(3n 2m)=-(4m+n)(2m-3). 当4m+n=40,2m-3=5时， 原式=-40×5=-200. 12.(1)△ABC是等腰三角形 理由：a、b、c为△ABC的三条边的 长，b2+2ab=c2+2ac, .b2-c2+2ab-2ac=0, 即(b-c)(b+c+2a)=0. :b+c+2a>0, .b-c=0. .b=c. ∴.△ABC是等腰三角形 (2).b=3, .c=b=3. 又a=4, .'.△ABC的周长为a+b+c=4+ 3+3=10. 第11章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D [变式]C 典例216 解析：4”=16,8"= 512,.（22)m=16,(23)”=512. .20=16,20=512.2-3m+1= 20÷2×2=16÷512×2=6 1 [变式]1解析：：9+1一32”=72 ∴.9”X9-9”=72..∴.8×9”=72，即 9”=9..n=1. 典例3D [变式]A 典例4C解析：把a十b=10两边 同时平方，得(a+b)2=a2+b2+ 2ab=100.把ab=11代入，得a2+ b2=78..原式=78-11=67. [变式]16解析：(x-y)2=4, xy=3,∴.(x+y)2=(x-y)+ 13 4xy=4+4×3=4+12=16. 典例5小红说得对： 理由：[(x+2y)2+(x+y)(y-x) 5y2]÷(-2x)=(x2+4xy+4y2+ y2-x2-5y2)÷(-2x)=4xy÷ (-2x)=-2y. :化简后的结果不含x, ∴这道题的答案与x的值无关，是可 以求解的，即小红说得对. 当y=一1时，原式=一2X (1)=2. [变式]原式=（x2-4y2-x2十 2xy-y2+y2+2xy)÷（-2y)= (4xy-4y2)÷(-2y)=-2x+2y. 当x=1,y=-2时，原式=-2×1+ 2×(-2)=-2-4=-6. 典例6(1)原式=a(x4-8x2y2+ 16y)=a(x2-4y2)2=a[(x+ 2y)(x-2y)Y=a(x+2y)2(x-2y)2. (2)原式=m2(m4-81n)=m2(m2 92)(m2+9n2)=m2(m+3n)(m- 3n)(m2+9n2). (3)原式=x[16ab2-(a2+ 4b2)2]=x[4ab+(a2+4b2)][4ab (a2+4b2)]=-x(a2+4ab+4b2)· (a2-4ab+4b2)=-x(a+2b)2(a 2b)2. 易错警示 因式分解要注意选择方法 对于较复杂的因式分解题，首 先要考虑的方法不是公式法，而是 提公因式法，如第(1)小题，如果先 考虑公式法，就不好分解因式：第 (2)小题，若先运用公式法分解因 式，则容易出现分解不彻底的 错误。 [变式](1)原式=2x(x2+2x+ 1)=2x(.x+1)2」 (2)原式=x2(x4一y4)=x2(x2 y2)(x2+y2)=x2(x-y)(x+ y)(x2+y2). (3)原式=(a2+9-6a)(a2+9+ 6a)=(a-3)2(a+3)2. 典例7(1)根据题意，得A区的面积