10.1 平方根和立方根-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第10章 数的开方 10.1平方根和立方根 第1课时平方根 1.D2.C 3.2 易错警示 忽略带根号的式子的意义而 导致错误 求带根号的数√ā的算术平方 根时，容易误认为是求√a的值. 4.1 5.(1)士/169=士13，/169=13. (2)士√0.0004=士0.02， /0.0004=0.02. 6.(1)34. (2)6.7. (3)5.72. (4)1.29. 7.A8.C 9.C解析：，一个正数的平方根是 士a,.这个正数是a2..比这个正数 大1的数是a2+1.a2+1的平方根 是士√a+1,.比这个正数大1的 数的平方根是士√a十1. 10.B解析：两个相邻的正方形 的面积分别是x2(x>0)和4，.它们 的边长分别为x和2.∴.涂色部分是 一个一边长为2、另一边长为x一2的 长方形..涂色部分的面积为 2(x-2)=2.x-4. 11.B解析：：0的绝对值是0，且0 的算术平方根是0；1的绝对值是1， 且1的算术平方根是1，.这个数是 0或1. 12.2 13.2解析：单项式2xmy与 3xym+"是同类项，.m=1,m十n= 3.∴.n=2...2m+n=2+2=4. ∴.√2m十n=4=2. 14.士4 解析：2a+1的平方根 是02a十1=0，解得a=一2 :b-a的算术平方根是26 a=子b=-h= (2)×(←)=6b的 平方根为士子。 15.10102103102025 解析：√g+19=10=10,√992+199= 100=102,√9992+1999=1000= 103,·,发现计算的结果都是10的正 整数次幂，且这个指数的大小与根号 下每个数所含的9的个数相同，由此， 可得999+1999=102. 2025个92025个9 16.(1)x=2或x=-2. (2四x=子或x=- 1 17.,正数x的平方根是m和m十b, .∴.(m+b)2=x,m2=x. ,m2x十(m十b)2x=4, .x2十x2=4. ∴.x2=2,解得x=士√2】 x>0, .x=√2 18.,'3a-1的算术平方根是2， ∴.3a-1=2 .a=1. 2是3a十b-1的一个平方根， ∴.3a+b-1=4. .3×1+b-1=4. .b=2. ∴.a+2b=1十2×2=5. .a十2b的平方根是士√5. 19.9x2-16=0, :.x=士3 4 当x三3时，21-3x=21-3× ,.21一3x的算术平方根是√17 当x=- 3时，213x=21-3× (）=25 1 .21一3x的算术平方根是25=5. 综上所述，21一3x的算术平方根是 /17或5. 20.(1)20cm. (2)设裁出的长方形的长为4.xcm, 宽为3.xcm(x>0). 根据题意，得4x·3x=360, .x=√30. ,裁出的长方形的长为4√30cm. .30>25, .√30>5. .430>20,即裁出的长方形的长 大于20cm. ∴.沿着大正方形边的方向裁出一个 长方形，不能使裁出的长方形的长、宽 之比为4：3，且面积为360cm. 第2课时立方根 1.C2.D3.1-644.-0.76 5.10cm6.3 1 7.(1)-3 (2)-0.4. (3)3 8.C 9.A解析：64=4，故64的立方 根是4，此选项说法不正确，符合题 意；512=8，故512的立方根是2， 此选项说法正确；√64=8，故√64的 立方根是2，此选项说法正确： 一64=一8，故一√64的立方根 是一2，此选项说法正确， 10.C解析：，大于√17的最小整 数是5，大于的最小整数是3，∴.这 两个正整数的和的最小值为8. 11.-1解析：，|a-1+(b+ 2)2=0,a-1|≥0，(b+2)2≥0， .a-1=0,(b+2)2=0..a=1, b=-2..(a+b)2025=(1-2)2025= (一1)225=-1.：-1的立方根是 -1,.(a十b)225的立方根是-1. 12.3解析：根据题意，得长方体容 器的容积=正方体容器的容积.设正 方体容器的棱长是acm,则a3=9 1×3,.a=27=3. 13.0或-10解析：·x2=(一5)2， 9W=-5,.x=±5，y=-5.当 x=5,y=-5时，x+y=0;当x= -5,y=-5时，x+y=-10.综上所 述，x十y的值为0或一10. 14.(1)x=13. 15.(1)5.848;12.60. (2)在开立方运算中，当被开方数的 小数点向左或向右移动3位时，立方 根的小数点就相应地向左或向右移动 n位(n为正整数) 16.设截去的小正方体的棱长为xcm 由题意，得1000一8x3=488, .8x3=512,解得x=4. ∴.截去的小正方体的棱长是4cm, 17.(1)答案不唯一，如8的立方根是 2,一8的立方根是一2 .·2+(-2)=0,8+(-8)=0. .结论“若两个数的立方根互为相反 数，则这两个数也互为相反数”成立. (2)根据(1)中的结论，可知1一2x 与9/3.x一5的被开方数也互为相反 数，即1-2x十3x-5=0,解得x=4. .-7-元=-7-4=-7-2=-9. ∴.一7一√x的立方根是一9=一. 方法归纳 已知两个数的立方根的关系， 求式子的值的思路 一个数有且只有一个立方根： 如果两个数互为相反数，那么它们 的立方根也互为相反数.已知两个 数的立方根的关系，求式子的值 时，常见的有两种类型：(1)已知 A=B,利用A=B列方程求 解：(2)已知A与B互为相反 数，利用A十B=0列方程求解. 10.2实数 1.C2.B3.D4.D5.1 6.(1)>(2)< 7.(1)④⑤(2)①③⑥ (3)②⑦⑧ 一易错警示 对无理数的概念理解不透彻 此类题易把无理数与无限小 数及带根号的数混为一谈，造成这 种错误的原因是没有理解“无限不 循环小数叫做无理数”这一概念 在判断一个数是不是无理数时，一 定要根据概念，看它是不是“无限” 且“不循环”的小数.常见的无理数 有以下几类：(1)含有根号，且被开 方数开方开不尽，如5、一√2等； (2)圆周率π及一些含有π的数， 如号等：(3)具有特定结构的数， 如0.7171171117…（每相邻两个 7之间1的个数逐次加1)等. 8.(1)16.51 (2)3.07. 9.D10.C 11.D解析：一|-√25|= -2②=-5，-日的倒数为-6， 64的相反数是一64=一4， -9<-√7I<-8,.-√7I< 一6<-5<-4..最小的数是一√7. 12.4解析：.1<W2<2,55.1 6,.在√2和5.1之间的整数为2、3、 4、5..A、B两点之间表示整数的点 有4个 13.小额解析：4<6<9，.√4 √6<，即2<w6<3..1<6-1< 2..赢家是小颖 14.-2 15.√2一3解析：5一√2关于1的平 衡数是2一(5一√2)=√2一3. 16.(1)-1.28. (2)-0.22. 17.(1)正方形ABCD的面积为4× 1 4-2X1X3×4=10. 2 (2)正方形ABCD的面积为10， .正方形ABCD的边长为√10. ∴.AE=AD=W10 ∴.点E表示的数比一1大√0，即点 E表示的数为一1十√0， 18.,m是满足不等式-√3<a<6 的所有整数a的和， .m=-1+0+1+2=2. .637<7, 2×v37-25 2 21 :m是满足不等式≤37-的最 2 大整数， .n=2. ∴.m十n=2+2=4. ∴.m+n的平方根是士2. 19.(1)x≥0. (2)当输入x的值为16时，取16的 算术平方根，为4,4是有理数，再取4 的算术平方根，为2,2也是有理数，然 后取2的算术平方根，为2，√2是无 理数，故输出y的值为2. (3)存在.当输入x的值为0或1时， 始终输不出y值 (4)输入x的值不唯一，如3、9. 专题特训一 运用实数的有关 概念及运算解题 1.C解析：由正方体的表面积公式 和体积公式可得，6a2=m,a3=n, a2-得a是行的算术平方根。 a是n的立方根√6 =a.故选项 A、B、D错误，选项C正确 2.D解析：：立方根等于它本身的 数是0、1或-1，算术平方根等于它本 身的数是0或1，，一个数的立方根 与它的算术平方根相同的是0或1. 3.-2 4.由题意，得这个物体的最高点与地 面的距离是AB+BC. :AB=27=3(cm),BC=512=第10章 数的开方 10.1平方根和立方根 第1课时平方根 ☑基础进阶 司素能攀升 1.下列说法正确的是 7.有下列说法：①0.25的平方根是0.5；②只有 A.10的平方根是100 正数才有平方根；③ B.100的平方根是10 的平方根是士号： C.一3是一9的平方根 ④一7是一49的一个平方根.其中，正确的有 ( 品的平方根是士号 D. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列式子中，正确的是 8.(2024·天津)估计J10的值在 () A.土√/64=8 B.√0.36=-0.6 A.1和2之间 B.2和3之间 C.97 42 C.3和4之间 D.4和5之间 D.√121=±11 9.若一个正数的平方根是士a,则比这 3.易错题√16的算术平方根是 个正数大1的数的平方根是( 4.若2m一4与3m一1是同一个数的两个平方 A.±(a+1) B.士a+1 根，则m的值为 C.±√a2+1 D.土√a+I 5.求下面各数的平方根和算术平方根： 10.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积 (1)169. (2)0.0004. 分别是x2(x>0)和4，那么涂色部分的面 积为 () 6.用计算器计算（后两题精确到0.01）： (第10题) (1)√1156， (2)√44.89. A.2x+4 B.2x-4 C.x2-4 D.2x-2 11.若一个数的绝对值的算术平方根等于它本 身，则这个数为 () A.±1 B.0或1 (3)√32.746. C.-1或0 D.0或±1 12.新趋势·与物理融合 物体自由下落的高度 h(m)与下落时间t(s)之间的关系是h 4.9t2.现有一物体从19.6m高的建筑物上 自由下落，到达地面需要 S. 2 注：标“★的题目设有方法归纳”，标“易错题”的设有”易错警示”评见答案与解析” 第10章数的开方 13.若单项式2x”y3与3xy"+"是同类项，则18.已知3a-1的算术平方根是2,2 √2m十n的值为 是3a+b一1的一个平方根，求a+ 14.已知2a+1的平方根是0，b-一a的算术平方 2b的平方根， 根是2则26的平方根为 15.新考法·规律探究题利用计算器计算下列各 式的值： √92+19= √/992+199= √/999+1999= 思维拓展 … 观察所得结果，尝试发现其中蕴含的 19.已知9x2一16=0，求21一3x的算术平 规律，由此，可得√99…9+199…9 方根 2025个92025个9 16.根据平方根的意义求下面各式中x的值： (1)2x2-8=0.(2)4(2x-1)2=9. 20.如图，用两个面积为200cm的小正方形拼 成一个大正方形 (1)大正方形的边长是 (2)沿着大正方形边的方向裁出一个长方 形，能否使裁出的长方形的长、宽之比为 4:3,且面积为360cm? 17.已知正数x的平方根是m和m十b.若 m2x+(m十b)2x=4,求x的值. (第20题) 3 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时 立方根 自基础进阶 幻素能攀升 1.16的立方根是 C 8.新情境·游戏活动如图，二阶魔方 A.8 B.4 C.16 D.土16 为2×2×2的正方体结构，本身只 2.下列说法正确的是 ( 有8个方块，没有其他结构的方（第8题） A.一个数的平方根有两个，它们互为相反数 块.如果二阶魔方的体积约为72cm3(方块之 B.一个数的立方根不是正数就是负数 间的缝隙忽略不计)，那么每个方块的棱长 C.负数没有立方根 约为 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么 A.2 cm B.2 cm C.9 cm D.72 cm 这个数是-1或0或1 9.下列说法中，不正确的是 () 3.若2+5是5的立方根，则b= 若 A.64的立方根是士2 a=-4,则a= B.512的立方根是2 4.用计算器计算：一0.432≈ (精确 C.√64的立方根是2 到0.01) D.一√64的立方根是一2 5.已知甲正方体的棱长是5cm,乙正方体的体 10.有两个正整数，一个大于√/17，一个 积是甲正方体体积的8倍，则乙正方体的棱 大于，则这两个正整数的和的最 长是 小值为 （) 6.如果x一4是16的算术平方根，那么x+19 A.6 B.7 C.8 D.9 的立方根是 11.已知a一1|+(b+2)2=0,则(a+b)225的 7.计算： 立方根是 31 (1)27 12.在一个长、宽、高分别为9cm、1cm、3cm的 长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒 入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的 厚度忽略不计)，则此正方体容器的棱长是 (2)-30.064. cm 13.如果x2=(-5)2,y=-5,那么x十y的 值为 14.根据立方根的意义求下列各式中x的值： 3 10 (3),/5 (1)(x-5)3=512. 271 第10章数的开方 (2)-3-x3= 16.已知一个正方体的体积是1000cm 8 现要在它的八个角上分别截去一 个大小相同的小正方体.若截去小 正方体后，余下几何体的体积是488cm3,则 截去的小正方体的棱长是多少厘米？ (3)125(x+1)3-64=0. 思维拓展 15.(1)观察下列式子，并填空. 17.*我们知道当a十b=0时，a3十b3=0也成 立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立 /0.002≈0.1260； 方根，则我们能得出这样的结论：若两个数 3/0.02≈0.2714： 的立方根互为相反数，则这两个数也互为相 3/0.2≈0.5848； 反数， 82≈1.260； (1)试举出一个例子说明上述结论成立， /20≈2.714； (2)若1一2x与3x-5互为相反数，求 /200≈ 一7一√无的立方根. 3/2000≈ (2)通过类比(1)中各式，你能得到什么规 律？用一句话描述出来 5