15.3 等腰三角形 同步练习 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

15.3.1 课时2 等腰三角形的判定 【基础堂清】 1.如图,下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是 ( ) A.∠B=∠C B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD C.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD D.AD⊥BC,BD=CD 2.(中考真题)四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=90°,在射线BA上找一点D,使△ACD为等腰三角形,则∠ACD的度数为　 　.  【能力日清】 4.如图,这是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能得到两个等腰三角形纸片的是 ( ) A. B. C. D. 5.如图,将一张长方形纸条ABCD沿EF所在直线折叠,若折叠角∠FEC=64°. (1)求∠1的度数. (2)求证:△EFG是等腰三角形. 【素养提升】 6.如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作BC平行线分别交AB,AC于E,F两点. (1)请写出图1中线段EO和BE的数量关系:　　　　.  (2)请写出图1中线段EF与BE,CF之间的数量关系:　　　　　　.  (3)如图2,若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG的平分线交于点O,过点O作BC的平行线交AB于点E,交AC于点F.请写出EF与BE,CF之间的数量关系,并说明理由. 参考答案 1.C　2.B 3.70°或40°或20° 4.B 5.解:(1)∵是将一张长方形纸条ABCD沿EF所在直线折叠,且折叠角∠FEC=64°, ∴∠GEF与∠FEC重合, ∴∠GEF=∠FEC=64°. ∵AD∥BC, ∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°. (2)证明:∵∠FGE=∠1=52°,AD∥BC, ∴∠GFE=∠FEC=64°, ∴∠GEF=180°-52°-64°=64°, ∴∠GEF=∠GFE,∴GE=GF, ∴△EFG是等腰三角形. 6.解:(1)EO=BE. (2)EF=BE+CF. (3)EF=BE-CF. 理由:∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC. ∵OB平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC, ∴∠ABO=∠EOB,∴OE=BE. ∵EF∥BC,∴∠FOC=∠OCG. ∵OC平分∠ACG, ∴∠FCO=∠OCG, ∴∠FOC=∠FCO, ∴OF=CF, ∴EF=OE-OF=BE-CF. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2 课时2 含30°角的直角三角形的性质 【基础堂清】 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm,则斜边的长为 ( ) A.2 cm　　　　　　B.4 cm C.6 cm　　　　　　D.8 cm 2.有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( ) A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ADC=60°,∠B=30°,若CD=3,则BD的长为　 　.  【能力日清】 4.某市在旧城改造中,计划在市内一块空地(如图)上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米的售价为a元,则购买这种草皮至少需要　 　.  5.如图,灯塔C在海岛A的北偏东75°方向,某天上午8点,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度由西向东航行,10时整到达B处,此时,测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离. (2)已知在以灯塔C为中心,周围16海里的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请你说明理由. 【素养提升】 6.如图,在等边△ABC中,AB=AC=BC=10 cm,DC=4 cm.已知点M以3 cm/s的速度运动. (1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动.它们同时出发,且点N的运动速度与点M的运动速度相等. ①经过2 s后,△BMN和△CDM是否全等?请判断并说明理由; ②当两点的运动时间为多少时,△BMN是一个直角三角形? (2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿△ABC三边运动,经过25 s点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是　　　cm/s.  参考答案 1.B　2.B 3.6 4.150a元 5.解:(1)根据题意得∠BAC=90°-75°=15°,∠CBE=90°-60°=30°,AB=15×2=30(海里), ∴∠C=30°-15°=15°, ∴∠BAC=∠C, ∴BC=AB=30(海里). 答:B处到灯塔C的距离为30海里. (2)如图,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D. ∵∠CBD=30°,BC=30(海里), ∴CD=BC=15(海里). ∵15<16, ∴这条船继续由西向东航行会有触礁的危险. 6.解:(1)①△BMN≌△CDM. 理由:∵vN=vM=3 cm/s,且t=2 s,∴CM=2×3=6(cm),BN=2×3=6(cm), ∴BM=BC-CM=10-6=4(cm),BN=CM. ∵CD=4 cm,∴BM=CD. ∵∠B=∠C=60°,∴△BMN≌△CDM(SAS). ②设当运动时间为t时,△BMN是直角三角形,有两种情况: (Ⅰ)当∠NMB=90°时,∵∠B=60°, ∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°, ∴BN=2BM,∴3t=2×(10-3t),∴t=. (Ⅱ)当∠BNM=90°时,∵∠B=60°, ∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°, ∴BM=2BN,∴10-3t=2×3t,∴t=, ∴当t= s或t= s时,△BMN是直角三角形. (2) 3.8或2.6. 提示:分两种情况讨论: (Ⅰ)若点M的运动速度快,则 3×25-10=25vN,解得 vN=2.6. (Ⅱ)若点N的运动速度快,则 25vN-20=3×25,解得vN=3.8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2 课时1 等边三角形的性质与判定 【基础堂清】 知识点1　等边三角形的性质 1.等边三角形两条中线相交所成的锐角等于 ( ) A.30°　　　　　　B.45°　　　　　　C.60°　　　　　　D.75° 2.如图,直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点B,C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹锐角为28°,则∠α的度数为　 　.  知识点2　等边三角形的判定 3.下列命题中,正确的有 ( ) ①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形; ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形; ③有一边上的高也是这条边上的中线的等腰三角形是等边三角形; ④三个外角都相等的三角形是等边三角形. A.4个　　　　　　B.3个　　　　　　C.2个　　　　　　D.1个 4.(中考真题)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为　 　cm.  【能力日清】 5.如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点,OC=6 cm,动点P从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿射线OA以1 cm/s的速度移动,点P,Q同时出发,用t(单位:s)表示移动的时间,当t=　　　　s时,△POQ是等边三角形.  6.如图,以△ABC的边AB,AC向外作等边△ABE和等边△ACD,连接BD,CE,交于点F. (1)线段CE和BD有什么数量关系?请判断并证明你的结论. (2)求∠DFC的度数. 7.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求证:△CEF是等腰三角形. (2)若CD=3,求DF的长. 【素养提升】 8.如图,O是等边△ABC内的一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD. (1)求证:△OCD是等边三角形. (2)当∠BOC=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由. (3)当∠BOC为多少度时,△AOD是等腰三角形? 参考答案 1.C 2.32° 3.C 4.2　5.6 6.解:(1)CE=BD. 证明:∵△ABE和△ACD是等边三角形, ∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=60°, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠CAE=∠BAD, ∴△ABD≌△AEC(SAS), ∴CE=BD. (2)∵△ABD≌△AEC(已证), ∴∠ADG=∠FCG. 又∵∠AGD=∠FGC, ∴∠DFC=∠DAC=60°. 7.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60°. ∵DE∥AB, ∴∠B=∠EDC=60°,∠A=∠CED=60°. ∵EF⊥ED,∴∠DEF=90°,∴∠F=30°. ∵∠CED+∠FEC=∠DEF=90°, ∴∠F=∠FEC=30°,∴CE=CF, ∴△CEF为等腰三角形. (2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°, ∴CE=DC=3. 又∵CE=CF,∴CF=3, ∴DF=DC+CF=3+3=6. 8.解:(1)证明:∵△BOC≌△ADC, ∴OC=DC. ∵∠OCD=60°, ∴△OCD是等边三角形. (2)△AOD是直角三角形. 理由:∵△OCD是等边三角形, ∴∠ODC=60°. ∵△BOC≌△ADC,∠BOC=150°, ∴∠ADC=∠BOC=150°, ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°, ∴△AOD是直角三角形. (3)∵△OCD是等边三角形, ∴∠COD=∠ODC=60°. ∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC, ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-∠BOC-60°=190°-∠BOC,∠ADO=∠ADC-∠ODC=∠BOC-60°, ∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-∠BOC)-(∠BOC-60°)=50°. ①当∠AOD=∠ADO时,190°-∠BOC=∠BOC-60°, ∴∠BOC=125°. ②当∠AOD=∠OAD时,190°-∠BOC=50°, ∴∠BOC=140°. ③当∠ADO=∠OAD时,∠BOC-60°=50°, ∴∠BOC=110°. 综上所述,当∠BOC为125°或140°或110°时,△AOD是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1 课时1 等腰三角形的性质 【基础堂清】 知识点1　等边对等角 1.(中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 ( ) A.70°　　　　　　B.100°　　　　　　C.110°　　　　　　D.140° 2.一个等腰三角形有一个角是40°,则它的底角的度数是　 　.  3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以B为圆心,BC的长为半径作弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD 的度数为　 　.  知识点2　等腰三角形“三线合一” 4.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6 cm,AD平分∠BAC,则BD=　 　cm.  5.如图,在△ABC中,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是　 　.  【能力日清】 6.(中考真题)如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=　 　°.  7.(中考真题)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是　 　.  8.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,点E和点F分别在BA和BC边上,且BE=BF,连接EF并延长交AC的延长线于点G,∠G=20°,取EF的中点O,连接BO并延长,交AC于点D. (1)求∠BEF的度数. (2)求∠BDC的度数. 【素养提升】 9.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠B=40°.点D在边BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交边AC于点E. (1)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?请判断并说明理由. (2)在点D的运动过程中,当△ADE是等腰三角形时,求∠BAD的度数. 参考答案 1.C 2.40°或70° 3.36° 4.3 5.6 6.52 7.90°或50° 8.解:(1)∵BE=BF,∴∠BEF=∠BFE. ∵∠ABC=50°, ∴∠BEF=(180°-∠ABC)=×(180°-50°)=65°,即∠BEF的度数为65°. (2)∵EF的中点为O, ∴OE=OF,即BO是△BEF的中线. 又∵BE=BF,∴BO⊥EF,∴∠DOG=90°. 又∵∠G=20°, ∴∠BDC=180°-∠DOG-∠G=180°-90°-20°=70°,即∠BDC的度数为70°. 9.解:(1)当DC=6时,△ABD≌△DCE. 理由:∵AB=AC,∠B=40°, ∴∠C=∠B=40°. ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=40°, ∴∠BAD=∠CDE, ∴当DC=AB=6时,△ABD≌△DCE(ASA). (2)∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°. ①∵点D不与点B重合, ∴AD≠AE; ②当DA=DE时,∠DAE=(180°-∠ADE)=×(180°-40°)=70°, ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°; ③当EA=ED时,∠DAE=∠ADE=40°, ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°. 综上所述,当△ADE是等腰三角形时,∠BAD的度数为30°或60°. 学科网（北京）股份有限公司 $