15.1 图形的轴对称同步练习 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

15.1.1 轴对称及其性质 【基础堂清】 知识点1　轴对称图形的判断 1.(中考真题)下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 知识点2　轴对称的性质 2.如图,△ACD与△ABD关于AD所在的直线成轴对称,B,D,C三点共线.若AC=3,BD=2,则△ABC的周长为　　　　.  3.如图,△ABC和△DEF关于直线l对称,已知∠A=115°,∠E=42°,DF=5.求∠F的度数和AC的长. 知识点3　线段的垂直平分线的定义 4.如图,线段AB与A'B'关于直线l对称,连接AA',AA'与直线l相交于点O,直线l是线段AA'的　　　　,则线段OB　　　　OB'.(填“>”“=”或“<”)  【能力日清】 5.图中由“○”“□”和“◇”组成的图形是轴对称图形,该图形的对称轴是直线 ( ) A.l1　　　　　　B.l2 C.l3　　　　　　D.l4 6.如图,在△ABC中,C,C'关于DE对称,写出∠1,∠2,∠C'的数量关系,并说明理由. 【素养提升】 7.如图,O为△ABC内部一点,OB=3,P和R为O分别以直线AB和直线BC为对称轴的对称点. (1)请写出当∠ABC等于多少度时,会使得PR的长度等于6?并说明PR的长度为何在此时会等于6. (2)根据(1)小题,请判断当∠ABC不是(1)中写出的角度时,PR的长度是小于6还是大于6?并说明理由. 参考答案 1.C　2.10 3.解:∵△ABC和△DEF关于直线l对称,∠A=115°,∠E=42°,DF=5, ∴∠D=115°,AC=5. 在△DEF中,∠D=115°,∠E=42°, ∴∠F=180°-∠D-∠E=23°. 4.垂直平分线;= 5.C 6.解:2∠C'=∠1+∠2. 理由:∵∠CDE+∠C'DE+∠C+∠C'+∠CED+∠C'ED=360°, ∠CDE+∠C'DE+∠1+∠CED+∠C'ED+∠2=360°, ∴∠1+∠2=∠C+∠C'. ∵在△ABC中,C,C'关于DE对称, ∴∠C=∠C', ∴2∠C'=∠1+∠2. 7.解:(1)如图,当∠ABC=90°时,PR=6. 理由:连接PB,RB,PO,RO. ∵P和R为O分别以直线AB和直线BC为对称轴的对称点, ∴PB=OB=3,RB=OB=3. ∵∠ABC=90°, ∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°, ∴P,B,R三点共线, ∴PR=2×3=6. (2)PR的长度小于6. 理由:若∠ABC≠90°, 则P,B,R三点不在同一直线上, ∴PB+BR>PR. ∵PB+BR=2OB=2×3=6, ∴PR<6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.2 课时2 作轴对称图形的对称轴 【基础堂清】 知识点1　用尺规作图作线段的垂直平分线 1.已知线段AB,利用直尺和圆规作AB的垂直平分线PQ,下列4个作图中正确的有 ( ) A.1个　　　　　　B.2个　　　　　　C.3个　　　　　　D.4个 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点M,N,作直线MN分别交BC,AB于点D,E,连接AD.若∠B=32°,则∠CAD的度数为　　　　.  知识点2　画轴对称图形的对称轴 3.下列图形中,对称轴条数最多的是 ( ) A. 　　　　　　B. C . 　　　　　　 D. 4.美术字中,汉语拼音字母“H”可以看作轴对称图形,则它的对称轴的条数是　　　　.  5.请画出下列各轴对称图形的对称轴,并指出图中标出的点关于对称轴的对称点. 【能力日清】 6.将如图所示的正方形网格图中的两个白色方格涂上阴影,使阴影部分组成的图形有4条对称轴.正确的涂色位置是 ( ) A.①② B.①④ C.②③ D.①③ 7.如图,已知钝角三角形ABC. (1)尺规作图:作AC的垂直平分线,与边AB,AC分别交于点D,E(保留作图痕迹,不写作法). (2)尺规作图:在(1)的条件下,作BH⊥AC,垂足为H,连接CD,并求证:∠CDE=∠ABH. 【素养提升】 8.尺规作图:(不要求写作法,保留作图痕迹) (1)如图1,在长方形ABCD中,将长方形纸片折叠,使点B与点D重合,请在图中画出折痕所在的直线l. (2)如图2,在四边形ABCD中,E为边DC上一点,在四边形内作一点P,使EP∥BC,且直线AP为∠BAD的对称轴. 参考答案 1.C　2.26°　3.C　4.2 5.解:对称轴见图中虚线. 在图1中,点B的对称点是点C,点A的对称点是本身; 在图2中,点B的对称点是点C,点A的对称点是点D; 在图3中,点B的对称点是点D,点A,C的对称点是本身. 6.C 7.解:(1)如图,直线DE即所求. (2)如图,BH即所求. 证明:∵DE垂直平分AC,∴DE⊥AC,DA=DC, ∴DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE. ∵BH⊥AC,∴BH∥DE, ∴∠ADE=∠ABH, ∴∠CDE=∠ABH. 8.解:(1)如图1,直线l即所求. 图1 (2)如图2,点P,直线AP即所求. 提示:先在CD的左侧作∠DEQ=∠C,再作∠DAB的平分线,交射线EQ于点P,则点P,直线AP即所求. 图2 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.2 课时1 线段的垂直平分线的性质与判定 【基础堂清】 知识点1　线段的垂直平分线的性质 1.(中考真题)如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是　 　.  知识点2　线段的垂直平分线的判定 2.如图,AC=AD,BC=BD,则 ( ) A.CD平分∠ACB B.CD垂直平分AB C.AB垂直平分CD D.CD与AB互相垂直平分 知识点3　原命题与逆命题、互逆定理 3.“两直线平行,同旁内角互补”与　　　　　　　　　　　　　是互逆定理.  4.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假. (1)如果两个角是直角,那么它们相等. (2)如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个有理数的平方也相等. 【能力日清】 5.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC. (1)求∠PAQ的度数. (2)若△APQ的周长为12,BC长为8,求PQ的长. 6.如图,在△ABC中,AD垂直平分BC,点E在BC的延长线上,且满足AB+BD=DE,求证:点C在线段AE的垂直平分线上. 【素养提升】 7.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=25 cm,DA=15 cm,CB=10 cm.动点E从A点出发,在AB上以2 cm/s的速度向B点移动,设移动的时间为x s. (1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上? (2)若点E在线段CD的垂直平分线上,判断DE与CE的位置关系,并说明理由. 参考答案 1.13　2.C 3.同旁内角互补,两直线平行 4.解:(1)逆命题为如果两个角相等,那么两个角是直角.逆命题错误,为假命题. (2)逆命题为如果两个有理数的平方相等,那么这两个数的绝对值也相等.逆命题正确,为真命题. 5.解:(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z. ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC, ∴AP=PB,AQ=CQ, ∴∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y. ∵∠BAC=80°, ∴∠B+∠C=100°, 即x+y+z=80°,x+z+x+y=100°, ∴x=20°, ∴∠PAQ=20°. (2)∵△APQ的周长为12, ∴AQ+PQ+AP=12. ∵AQ=CQ,AP=PB, ∴CQ+PQ+PB=12, ∴CQ+BQ+2PQ=12, ∴BC+2PQ=12. ∵BC=8, ∴PQ=2. 6.证明:∵AD垂直平分BC, ∴BD=DC,AB=AC. 又∵AB+BD=DE, ∴AC+DC=DE. 又∵DE=DC+CE,∴AC=CE, ∴点C在线段AE的垂直平分线上. 7.解:(1)当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上. 理由:当x=5时,AE=2×5=10 cm=BC. ∵AB=25 cm,DA=15 cm,CB=10 cm, ∴BE=AD=15 cm. 在△ADE和△BEC中, ∴△ADE≌△BEC(SAS), ∴DE=CE, ∴点E在线段CD的垂直平分线上, 即当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上. (2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE. 理由:∵△ADE≌△BEC, ∴∠ADE=∠CEB. ∵∠A=90°, ∴∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED+∠CEB=90°, ∴∠DEC=180°-(∠AED+∠CEB)=90°, ∴DE⊥CE. 学科网（北京）股份有限公司 $