15.2 线段的垂直平分线-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

线OA,OB的对称点， .ME=PE,NF=PF .MN=20, .ME+EF+NF=20. .PE+EF+PF=20,即△PEF的 周长是20. (2)设MP与OA交于点R,NP与 OB交于点T. :M,N分别是点P关于直线OA, OB的对称点， .OA垂直平分PM,OB垂直平 分PN. ∴.∠PRE=∠PTF=90,ME=PE, NE=PE. ∴.易得∠M=∠MPE,∠N= ∠NPF,在四边形OTPR中， ∠MPN+∠AOB=180°. 在△MPN中，∠MPN+∠M+ ∠N=180, '.∠M+∠N=∠AOB=35. .∠EPF=180°-35×2=110°. 12.(1)当∠ABC=90时，PR=6. 理由：连接PB,RB. P,R分别为点O关于直线AB, BC的对称点， .'PB=OB=3,RB=OB =3, ∠ABP=∠ABO,∠CBR=∠CBO. ,∠ABC=90, ∴.∠ABO+∠CBO=∠ABP+ ∠CBR=90. .'.∠ABP+∠CBR+∠ABO+ ∠CBO=180. .P,B,R三点共线 .PR=PB+RB=6. (2)PR的长小于6. 理由：当∠ABC≠90时，P,B,R三点 不在同一条直线上 ∴.PB+RB>PR. :PB+RB=6, .PR<6. 第2课时平面直角坐标系 中的轴对称 1.B2.D3.-2<a<1 4.(1)如图，△A1B1C即为所求 (2)由图可得，点A,的坐标为(2， -4). (3)△A,B,C的面积为2×1+ 2X8-号×2x1-号×12=号 5 1-1= 2 543-21.011 (第4题) 5.D6.D 7.B解析：.·有序数对(a,b)(b≠ 0)的“k阶结伴数对”是(ka十b,a b),点(a,b)与点(ka+b,a-b)关于 a-b=b, y轴对称，. ..k= la+ka+b=0. 8.(-1,1)解析：点P2(3-2a, /3-2a<0, 2a-5)在第三象限，. 2a-5<0, 解得1.5<a<2.5.又P2(3-2a, 2a-5)是整点，∴2a为整数. .1.5<a<2.5,∴.3<2a<5. .2a=4,解得a=2.∴.点P2的坐 标是(-1，一1).点P1,P2关于 x轴对称，.点P,的坐标是（一1,1） 9.(1)(4,-1)(2)(4,2a-3) 10.(2,一3)解析：由题图，可知 4次变换为一个循环.2025÷4= 506…1,.第2025次变换后与第 1次变换后所得的点A的坐标相同. :原来点A的坐标是(2,3)，第1次 变换后所得的点A的坐标是(2， 一3)，.第2025次变换后所得的点 A的坐标是(2，一3) 11.(1)如图，△A1B,C,即为所 求作. (2)如图，△A2B,C2即为所求作. (3)点P,的坐标为（一m,n-5). 4 012345 (第11题) 12.(1)△A2B2C2的三个顶点的坐 32 标分别是A2(4,0),B2(5,0), C2(5,2). (2)P,P1两点关于y轴对称，点 P的坐标为（一a,0), .点P1的坐标为(a,0) 又，P1,P2两点关于直线1对称， ∴.设点P2的坐标为(x,0),则 +a=3,即x=6-a. 2 ∴.点P2的坐标为(6a,0). ∴.PP2=6-a-(-a)=6-a+ a=6. 15.2线段的垂直平分线 1.C2.C3.B 4.(1)如图，直线MN即为所求. (2)由(1)可知，直线MN是线段BC 的垂直平分线， .DC=DB. '.△ACD的周长=AC+CD+ AD-AC+AD+BD-AC+AB. AB=8,AC=4, .△ACD的周长为8+4=12. D M (第4题) 5.A6.A7.D 8.15解析：BD垂直平分AG .BA=BG=BF+FG=1+3=4. CE垂直平分AF,∴.AC=FC= GC+FG=2+3=5..BC=1+3+ 2=6,.△ABC的周长为AB+ AC+BC=4+5+6=15. 9.4解析：连接BP.直线m是 △ABC中边BC的垂直平分线，∴.点 B与点C关于直线m对称.∴.BP= CP..AP+PC=AP+BP.∴.当点 P位于直线m与AB的交点处时， AP+PC取得最小值，即AB的长. ∴.△APC的周长的最小值为AB十 AC..AB=2.5,AC=1.5, ∴.△APC的周长的最小值为2.5+ 1.5=4. 10.如图，连接OA,OC. :OE,OF分别是AC,BD的垂直平 分线， ∴.OA=OC,OB=OD,∠BFO= ∠DFO=90° 又：OF=OF, .△BFO2△DFO ∴.∠OBD=∠ODB. AB=CD,OA=OC,OB=OD, ∴.△ABO≌△CDO. ∴.∠ABO=∠CDO. 设∠OBD=∠ODB=a,∠ABO= ∠CDO=B, a+3=120°，3-a=38. .a=41°. ∴.∠OBD=41° A (第10题) 11.(1),在△ABC中，边AB的垂 直平分线l1交BC于点D,边AC的 垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2 相交于点O, ∴.AD=BD,AE=CE. ,△ADE的周长为8cm, .'AD+DE+AE=8 cm. ∴.BC=BD+DE+CE=AD+ DE+AE=8 cm. (2),在△ABC中，边AB的垂直平 分线l,交BC于点D,边AC的垂直 平分线12交BC于点E,l与l2相交 于点O, ∴.OA=OB,OA=OC .OA=OB=OC. :△OBC的周长为18cm, .'OB+OC+BC=18 cm. ,BC=8 cm, ∴.OB+OC=10cm. .∴.OB=OC=5cm. ∴.OA=5cm. 12.(1)由题意，得BD是∠ABC的 平分线， '.∠EBD=∠FBD ·DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠BED=∠BFD=90. 在△BED和△BFD中， ∠BED=∠BFD, ∠EBD=∠FBD, BD=BD, .△BED≌△BFD. .'DE=DF,BE=BF ∴点B,D在EPF的垂直平分线上 .BD所在直线是EF的垂直平 分线. (2)成立. 同理(1)，可证△BEG≌△BFG, ∴.GE=GF,BE=BF. .点B,G在EF的垂直平分线上. ∴.BG所在直线是EF的垂直平分 线，即BD所在直线是EF的垂直平 分线 (3)成立 一方法归纳 证明一条直线是某条线段的 垂直平分线的条件 (1)存在两点：直线上有两个 不同的点. (2)到线段两端距离相等：两 点到线段两个端点的距离分别相 等.根据两点确定一条直线，推导 出这两个点所在的直线就是这条 线段的垂直平分线 15.3角的平分线 第1课时角的平分线的画法 与性质定理 1.A2.B 3.(1)如图，OB即为所求作. (2).AE//ON, .∠MON=∠MAE=48. .OB平分∠MON, ∠NOB=2∠MON=24, .AB//ON, .∠OBE=180°-∠NOB=180°- 24°=156° M N (第3题) 4.·OM是∠AOB的平分线，CD⊥ OA,CE⊥OB, .∠FOD=∠FOE,CD=CE, ∠CDO=∠CEO=90°. 在Rt△CDO和Rt△CEO中， CD=CE, oc=oc. '.Rt△CDO≌Rt△CEO. 33 .OD=OE 在△DFO和△EFO中， OD=OE, ∠DOF=∠EOF, OF=OF, .'.△DFO2△EFO. .∠DFO=∠EFO. 5.B6.A7.6 8.14解析：如图，过点O作OE1 AC,OF⊥AB,垂足分别为E,F,连 接OA.,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD=3,∴.OD=OE= OF=3.△ABC的面积是21， '.S△AC=S△0BC+S△0AC+S△0AB= 21.·.2OD·BC+2OE·AC+ 2OF,AB=21.OD·(BC+ AC+AB)=21.'OD=3,.BC+ AC+AB=14.∴.△ABC的周长 为14. B (第8题) 方法归纳 三角形的周长 和三角形面积的关系 已知△ABC的三条角平分线 的交点为O,点O到△ABC的边 BC的距离为r,△ABC的周长为 L,则△ABC的面积=2r, 1 9.如图，过点D分别作AE,AF的垂 线，交AE于点M,交AF于点N,则 ∠CMD=∠BND=90. :AD是∠EAF的平分线， .DM=DN. :∠ACD+∠ABD=180°， ∠ACD+∠MCD=180°， ∴.∠MCD=∠NBD. 在△CDM和△BDN中， I∠CMD=∠BND, ∠MCD=∠NBD, DM=DN, '.△CDM≌△BDN.拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 15.2线段的 自基础进阶 1.用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作 法正确的是 1十 2.新情境·游戏活动(2025·马鞍山期末)在联 欢会上，A,B,C三名同学分别站在一个三角 形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏， 要求在他们中间放一张凳子，谁先抢到凳子 准获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当 的位置是在△ABC的 A.三边中线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三边垂直平分线的交点处 D.三边上高的交点处 3.（2024·六安期末)如图，在 △ABC中，∠C=90°，AC= 16cm,AB的垂直平分线MN A 交AC于点D,连接BD.若 (第3题)》 CD:DB=3:5,则CD的长为 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 4.(2024·滁州凤阳期末)如图，在△ABC中， AB>AC. (1)用直尺和圆规作BC的垂直平分线，交 AB于点D(要求保留作图痕迹)： (2)连接CD,若AB=8,AC=4,求△ACD 的周长 (第4题) 84 垂直平分线 幻素能攀升 5.(2025·淮南潘集期末)如图，在△ABC中， 分别以点A和点B为圆心，大于AB的长 为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线 MN交BC于点D,连接AD.若△ADC的周 长为16，AB=10,则△ABC的周长为() A.26 B.24 C.20 D.4 D 米M 01x (第5题) (第6题) 6.如图，点A,B的坐标分别为(2,3)，(4,1)，在 x轴或y轴上有一点P,且点P到点A和点 B的距离相等，则点P的坐标为 () A.(1,0)或(0，-1)B.(-1,0)或(0,1) C.(0,3)或(4,0)D.(2,0)或(0,1) 7.在△ABC中，AB<BC,用尺规作图的方法 在BC上取一点P,使得PA+PC=BC.下 列作法中，正确的是 BP A B C D. 8.如图，BD垂直平分AG于 点D,CE垂直平分AF于 点E.若BF=1,FG=3, B F G GC=2,则△ABC的周长 (第8题) 为 9.如图，在△ABC中，AB= 2.5,AC=1.5,直线m是 △ABC中边BC的垂直平 B 分线，P是直线m上一动 (第9题) 点，则△APC的周长的最小值为 10.如图，OE,OF分别是AC,BD的垂直平分 线，垂足分别为E,F,且AB=CD, ∠ABD=120°，∠CDB=38°，求∠OBD的 度数 0 (第10题) 11.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1 交BC于点D,边AC的垂直平分线l2交 BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的 周长为8cm. (1)求BC的长， (2)连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为 18cm,求OA的长. 0 (第11题) 第15章轴对称图形与等腰三角形 舒思维拓展 2.*已知BD是△ABC的角平分线， (1)如图①，DE⊥AB于点E DF⊥BC于点F,连接EF,求证 BD所在直线是EF的垂直平分线， (2)如图②，当点G从点D向点B运动时 (不与点B重合)，GE⊥AB于点E,GF⊥ BC于点F,此时(1)中的结论是否成立？请 证明 (3)如图③，当点G从点D沿线段BD的延 长线运动时，GE⊥BA(或其延长线)于点 E,GF⊥BC(或其延长线)于点F,此时(I) 中的结论是否成立（不需要证明）？ B ① D G ③ (第12题) 85