15.1 轴对称图形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形与轴对称 基础进阶 幻素能攀升 1.新考向·传统文化“二十四节气”是中华农耕 5.*(2025·池州青阳期末)如图，下列图形中， 文明的智慧结晶.下列四幅图形分别代表“立 是轴对称图形的有 春”“芒种”“清明“小满”，其中是轴对称图形 的为 ) ▣0@公减 (第5题) A.2个B.3个 C.4个D.5个 h B. 6.易错题有下列说法：①角是轴对称图形，对 称轴是它的平分线：②两个全等的三角形一 定成轴对称；③若两个图形关于某条直线对 称，则这两个图形一定分别位于这条直线的 D. 两侧；④到直线1距离相等的两点关于1对 2.(2024·宿州泗县段考)如图，若△ABC与 称.其中，不正确的有 () △DEF关于直线l对称，BE交L于点O,则 A.3个 B.2个 下列说法不一定正确的是 () C.1个 D.4个 A.AB∥EF B.AC=DF 7.(2024·安庆潜山期中)如图，在Rt△ABC C.AD⊥L D.BO=EO 中，∠A=90°，∠C=65°，E,F分别是AB, BC上的点，沿着EF将△BEF折叠得到 △DEF.若DE∥AC,则∠DFE的度数为 ( (第2题) (第3题) 3.如图，△ABC与△DEF关于直线1对称.若 A.110° B.115 ∠A=65°，∠B=80°，则∠F= C.120° D.125 4.如图，作出与△ABC关于直线L对称的 △A'B'C'. D (第7题) (第8题) 8.(2024·池州贵池期末)如图所示为4×4的 正方形网格，其中已有3个小方格涂色.现在 (第4题) 要从其余13个白色小方格中选出一个也涂 色，使整个涂色图形成为轴对称图形，这样的 白色小方格有 个 80 第15章轴对称图形与等腰三角形 9.易错题如图，在△ABC中，∠BAC 思维拓展 120°，D,E为边BC上两动点，连接 12.如图，O为△ABC内一点，OB=3 AD,AE,将△ABC的边AB和边 P,R分别为点O关于直线AB AC分别沿着射线AD,AE翻折后展平，B, BC的对称点，连接PR, C两点翻折后的对应点为B',C',作射线 (1)当∠ABC的度数为多少时，PR=6?请 AB',AC(AB'和AC'均落在∠BAC内部).若 说明理由 ∠B'AC=30°，则∠DAE (2)当∠ABC不是(1)中的角度时，PR的 长是小于6还是大于6？请说明理由， 0 (第9题) p 10.如图，在4×4的正方形网格中，我们称每个 (第12题) 小正方形的顶点为“格点”，以“格点”为顶点 的三角形叫作“格点三角形”.△ABC是一 个“格点三角形”，请你在图①②③中分别画 出一个与△ABC成轴对称的“格点三角形” (所画的三个图不能重复)： ① ② (第10题) 11.如图，点P在∠AOB的内部，M,N分别是 点P关于直线OA,OB的对称点，线段MN 交OA,OB于点E,F,连接MP,NP, EP,FP. (1)若MN=20,求△PEF的周长. (2)若∠AOB=35°，求∠EPF的度数. M (第11题) 81 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第2课时 亚面直角坐标系中的轴对称 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·雅安)在平面直角坐标系中，将点5.在平面直角坐标系中，点A与点A1关于 P(1,一1)向右平移2个单位长度后，得到的 x轴对称，点A与点A2关于y轴对称.已知 点P,关于x轴的对称点坐标是 ) 点A(1,2),则点A2的坐标为 () A.(1,1) B.(3,1) A.(-2,1) B.(-2,-1) C.(3,-1) D.(1,-1) C.(-1,2) D.(-1,-2) 2.(2024·合肥巢湖期末)点P(a,b)与点Q(-2, 6.已知点P(一1一2a,5)关于x轴的对称点和 3)关于y轴对称，则a的值为 点Q(3,b)关于y轴的对称点相同，则b一2a 的值为 () A.-6B.-8C.8 A.8 B.2 C.-1D.-7 3.已知点P(1一a,a+2)关于y轴的对称点在 7.新考法·新定义题已知有序数对(a,b)及常数 第二象限，则a的取值范围是 k,我们称有序数对(ka+b,a一b)为有序数 4.(2024·宿州捅桥期末)如图，△ABC三个顶 对(a,b)的“k阶结伴数对”.如(3,2)的“1阶 点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(3,2). 结伴数对”为(1×3+2,3一2)，即(5,1).若有 (1)请作出△ABC关于x轴对称的 序数对(a,b)(b≠0)的对应点与它的“k阶结 △A1B1C1. 伴数对”的对应点关于y轴对称，则k的值为 (2)写出点A1的坐标 () (3)计算△ABC1的面积 A.-2 B.一2 C.0 8.已知点P1关于x轴的对称点P2(3一2a, 2a一5)是第三象限内的整点（横、纵坐标都为 整数的点称为整点)，则点P,的坐标是 9.如图，在平面直角坐标系中，点A,C的坐标 (第4题) 分别为(4,3)，(0,1)，直线1过点C且垂直于 y轴. (第9题) (1)若△ABC是关于直线1对称的轴对称图 形，则点B的坐标为 (2)设点D的坐标为(0，a),直线'过点D 82 第15章轴对称图形与等腰三角形 且垂直于y轴，且△ABD是关于直线'对称 △ABC关于y轴对称的图形是△A1B,C1, 的轴对称图形，则点B的坐标为 △A,B,C1关于直线L对称的图形是 10.新考法·规律探究题如图，在平面 △A2B2C2,写出△A2B2C2的三个顶点的 直角坐标系中，对△ABC进行循 坐标. 环往复的关于坐标轴的轴对称变 (2)若点P的坐标是(-a,0),其中a>0, 换.若原来点A的坐标是(2,3)，则经过第 点P关于y轴的对称点是P,点P1关于 2025次变换后所得的点A的坐标是 直线l的对称点是P,求线段PP,的长 OB C 第1次 第2次 C B B (第12题) 第3次 第4次 (第10题) 11.(2024·安庆期末)如图，在正方形网格中， 建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角 形（顶点都在格点上的三角形）， (1)画出△ABC关于y轴对称的△A,B1C. (2)画出将△A1B1C1向下平移5个单位长 度得到的△A2B2C2. (3)若P(m,n)为△ABC边上一点，请直接 写出点P经过(1)(2)两次图形变换后的对 应点P2的坐标 (第11题) 思维拓展 12.如图，在平面直角坐标系中，直线1 过点M(3,0),且平行于y轴， (1)若△ABC三个顶点的坐标分 别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2), 83△BCE≌△FDE,.AB=AF,BC FD.AF=AD+FD=AD+BC, .AB=AD+BC..AB与CD不 一定相等，∴.BC+AD=CD不一定 成立.故选项A可能错误，符合题意. (第2题) 3.32 4.2或号 解析：由题意，得AP 2t cm,BP=(6-2t)cm,BQ=xt cm. 当△ACP≌△BPQ时，∴.AP=BQ. ,运动时间相同，∴P,Q的运动速 度也相同.∴.x=2.当△ACP≌ △BQP时，AC=BQ=4cm,PA= PB,∴.2t=6-2t,解得t=1.5. :=4÷1.5=号综上所述，x的值 为2或器 5.(1)①CD=BE. 解析：：AD⊥CM,BE⊥CM, ∴.∠ACB=∠ADC=∠CEB=90°. .'∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+ ∠B=90°.∴.∠ACD=∠B.在 △ACD和△CBE 中， I∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠B, '.△ACD≌ AC=CB, △CBE(AAS).∴.CD=BE ②AD=BE+DE. ,△ACD≌△CBE, .AD=CE,CD=BE. CE=CD+DE=BE+DE, .AD=BE+DE. (2)(1)②中的结论不成立. DE=AD+BE.解析：：AD⊥ CM,BE⊥CM,.∠ACB= ∠CEB=∠D=90°..∠ACD十 ∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90. '.∠ACD=∠B.在△ACD和 ∠D=∠CEB, △CBE中， ∠ACD=∠B, AC=CB, .△ACD≌2△CBE(AAS).'.AD CE,CD=BE..DE=CD+CE= BE+AD,即DE=AD+BE, 第15章 轴对称图形 与等腰三角形 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形与轴对称 1.A2.A3.35 4.如图所示。 (第4题) 5.B 一方法归纳 “火眼金睛”识别轴对称图形 在识别轴对称图形时，通常的 依据是轴对称图形的概念，识别方 法如下：将图形沿某条直线折叠， 再观察直线两旁的部分是否完全 重合，能够完全重合的就是轴对称 图形，否则就不是轴对称图形 6.D解析：·角是轴对称图形，它 的平分线所在的直线就是它的对称 轴，.①不正确.两个全等的图形 不一定成轴对称，.②不正确.若 两个图形关于某条直线对称，则这两 个图形不一定分别位于这条直线的两 侧，∴.③不正确.到直线1距离相 等的两点不一定关于1对称，.④不 正确.综上所述，不正确的有4个 易错警示 未正确理解轴对称中的概念致错 (1)对称轴是一条直线，而不 是射线或线段 (2)成轴对称的两个图形一定 全等，但全等的两个图形不一定成 轴对称 7.A 8.4解析：如图，有4个位置可以使 整个涂色图形成为轴对称图形 2 1 3 (第8题)》 31 9.75或45°解析：如图①，由折叠 可得，∠BAD=∠BAD,∠CAE= ∠C'AE,∠BAC'=30°，∠BAC= 120°，∠BAB'+∠CAC'=∠BAC ∠B′AC=120°-30°=90°， ∴.∠DAE=∠B'AC'+∠B'AD+ ∠CAE=∠BAC'+(∠BAB+ ∠CAC)=30+号×90=75如图 ②，由折叠可得，∠BAD=∠B'AD, ∠CAE=∠C'AE,∠BAC'=30°， ∠BAC=120°，∠BAB'+∠CAC'= ∠BAC+∠B'AC'=120°+30°= 150°，∴.∠DAE=∠B′AD+ ∠C'AE-∠BAC'=(∠BAB+ ∠CAC)-∠B'AC'=×150- 30°=45°.综上所述，∠DAE=75 或45°. B ①D ② (第9题) 易错警示 考虑问题不全面致错 此题应分△AB'D与△AC'E 不重合和有重合时两种情况考虑， 防止漏解」 10.答案不唯一，如图①②③所示 ③ (第10题) 11.(1)M,N分别是点P关于直 线OA,OB的对称点， .ME=PE,NF=PF .MN=20, .ME+EF+NF=20. .PE+EF+PF=20,即△PEF的 周长是20. (2)设MP与OA交于点R,NP与 OB交于点T. :M,N分别是点P关于直线OA, OB的对称点， .OA垂直平分PM,OB垂直平 分PN. ∴.∠PRE=∠PTF=90,ME=PE, NE=PE. ∴.易得∠M=∠MPE,∠N= ∠NPF,在四边形OTPR中， ∠MPN+∠AOB=180°. 在△MPN中，∠MPN+∠M+ ∠N=180, '.∠M+∠N=∠AOB=35. .∠EPF=180°-35×2=110°. 12.(1)当∠ABC=90时，PR=6. 理由：连接PB,RB. P,R分别为点O关于直线AB, BC的对称点， .'PB=OB=3,RB=OB =3, ∠ABP=∠ABO,∠CBR=∠CBO. ,∠ABC=90, ∴.∠ABO+∠CBO=∠ABP+ ∠CBR=90. .'.∠ABP+∠CBR+∠ABO+ ∠CBO=180. .P,B,R三点共线 .PR=PB+RB=6. (2)PR的长小于6. 理由：当∠ABC≠90时，P,B,R三点 不在同一条直线上 ∴.PB+RB>PR. :PB+RB=6, .PR<6. 第2课时平面直角坐标系 中的轴对称 1.B2.D3.-2<a<1 4.(1)如图，△A1B1C即为所求 (2)由图可得，点A,的坐标为(2， -4). (3)△A,B,C的面积为2×1+ 2X8-号×2x1-号×12=号 5 1-1= 2 543-21.011 (第4题) 5.D6.D 7.B解析：.·有序数对(a,b)(b≠ 0)的“k阶结伴数对”是(ka十b,a b),点(a,b)与点(ka+b,a-b)关于 a-b=b, y轴对称，. ..k= la+ka+b=0. 8.(-1,1)解析：点P2(3-2a, /3-2a<0, 2a-5)在第三象限，. 2a-5<0, 解得1.5<a<2.5.又P2(3-2a, 2a-5)是整点，∴2a为整数. .1.5<a<2.5,∴.3<2a<5. .2a=4,解得a=2.∴.点P2的坐 标是(-1，一1).点P1,P2关于 x轴对称，.点P,的坐标是（一1,1） 9.(1)(4,-1)(2)(4,2a-3) 10.(2,一3)解析：由题图，可知 4次变换为一个循环.2025÷4= 506…1,.第2025次变换后与第 1次变换后所得的点A的坐标相同. :原来点A的坐标是(2,3)，第1次 变换后所得的点A的坐标是(2， 一3)，.第2025次变换后所得的点 A的坐标是(2，一3) 11.(1)如图，△A1B,C,即为所 求作. (2)如图，△A2B,C2即为所求作. (3)点P,的坐标为（一m,n-5). 4 012345 (第11题) 12.(1)△A2B2C2的三个顶点的坐 32 标分别是A2(4,0),B2(5,0), C2(5,2). (2)P,P1两点关于y轴对称，点 P的坐标为（一a,0), .点P1的坐标为(a,0) 又，P1,P2两点关于直线1对称， ∴.设点P2的坐标为(x,0),则 +a=3,即x=6-a. 2 ∴.点P2的坐标为(6a,0). ∴.PP2=6-a-(-a)=6-a+ a=6. 15.2线段的垂直平分线 1.C2.C3.B 4.(1)如图，直线MN即为所求. (2)由(1)可知，直线MN是线段BC 的垂直平分线， .DC=DB. '.△ACD的周长=AC+CD+ AD-AC+AD+BD-AC+AB. AB=8,AC=4, .△ACD的周长为8+4=12. D M (第4题) 5.A6.A7.D 8.15解析：BD垂直平分AG .BA=BG=BF+FG=1+3=4. CE垂直平分AF,∴.AC=FC= GC+FG=2+3=5..BC=1+3+ 2=6,.△ABC的周长为AB+ AC+BC=4+5+6=15. 9.4解析：连接BP.直线m是 △ABC中边BC的垂直平分线，∴.点 B与点C关于直线m对称.∴.BP= CP..AP+PC=AP+BP.∴.当点 P位于直线m与AB的交点处时， AP+PC取得最小值，即AB的长. ∴.△APC的周长的最小值为AB十 AC..AB=2.5,AC=1.5, ∴.△APC的周长的最小值为2.5+ 1.5=4. 10.如图，连接OA,OC. :OE,OF分别是AC,BD的垂直平 分线， ∴.OA=OC,OB=OD,∠BFO=