第14章 全等三角形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

'.△ADF≌△ADC(SAS). 六AC=AF=2AE,即AE=2AC B E/D C (第4题) 5.AB-ACBD. 理由：如图，在AB上截取AF=AC, 连接EF. ,AE平分∠CAB, ∴.∠CAE=∠FAE. 在△CAE和△FAE中， AC=AF, ∠CAE=∠FAE, AE=AE, ∴.△CAE≌△FAE(SAS). ∴.∠C=∠AFE. .AC∥BD, .∠C+∠D=180°. .∠EFB+∠AFE=180°， ∴.∠D=∠EFB. .BE平分∠ABD, ,'.∠DBE=∠FBE 在△BEF和△BED中， ∠EFB=∠D, ∠FBE=∠DBE, BE=BE. '.△BEF≌△BED(AAS) .BF=BD. AB AF+BF,AC=AF, BF=BD, .'AB=AC++BD. C E D B A F (第5题) 6.如图，过点D作DH⊥BC,交BC 的延长线于点H. ,BD平分∠ABC,DE⊥AB, DH⊥BH, ∴.∠DBE=∠DBH,∠DEB= ∠H=90° 在△BDE和△BDH中， I∠DBE=∠DBH, ∠DEB=∠H, BD=BD, ∴.△BDE≌△BDH(AAS) .BE=BH,DE=DH. ,DE⊥AB, ∴.∠AED=90°=∠H. 在Rt△DEA和Rt△DHC中， AD=CD, DE=DH. ,.Rt△DEA≌Rt△DHC(HL). .AE=CH. .BE=BH=BC+CH=BC+AE, 即AE+BC=BE. H E (第6题) 7.如图，过点Q作QE⊥BC于点E, 则∠QEB=∠QEC=90°. :∠BAC=60°，∠C=40°， .∠ABC=80° :BQ平分∠ABC, 1 ∴.∠CBQ=2 ∠ABC= 2 80°=40°. .∠CBQ=∠C. 在△QBE和△QCE中， I∠QEB=∠QEC, ∠QBE=∠C, QE=QE, ∴.△QBE≌△QCE(AAS). .BQ=CQ. ∴.BQ+AQ=CQ+AQ=AC. 过点P作PDBQ,交CQ于点D,过 点D作DF⊥BC于点F,则 ∠CPD=∠CBQ=40°. ∴.∠CPD=∠C=40° 同理，可得DP=DC. :∠ADP=∠CPD+∠C=40°+ 40°=80. .∠ABC=∠ADP, AP平分∠BAC, ∴.∠BAP=∠DAP. 在△ABP和△ADP中， I∠ABP=∠ADP, ∠BAP=∠DAP. AP=AP. ∴.△ABP≌△ADP(AAS). ∴.AB=AD,BP=DP. .AB+BP=AD+DP=AD+ 29 DC=AC. 又.BQ+AQ=AC, .AB+BP=BQ+AQ. (第7题) 第14章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B解析：如图，延长C'D交 AB'于点H.△AEB≌△AEB', .∠ABE=∠AB'E.C'HEB', .∠AHC'=∠AB'E..∠ABE= ∠AHC.:△ADC≌△ADC, ∴.∠ACD=∠C'.:∠BFC= ∠DBF+∠BDF,∠BDF= ∠DAC+∠ACD,∴.∠BFC= ∠AHC'+∠C'+∠DAC.:易得 ∠DAC=∠DAC'=∠CAB'=40°， ∴.∠CAH=120°..∠C+ ∠AHC'=60°.∴.∠BFC=60°+ 40°=100°. D (典例1图) [变式]65 典例2，'ACDF,AEBF, .∠D=∠C,∠FHD=∠AGC. DG=CH, .DG+HG=CH+HG,即 DH=CG. 在△DFH和△CAG中， ∠D=∠C, DH=CG, ∠FHD=∠AGC, .△DFH≌△CAG(ASA). [变式]：DE⊥AC,BF⊥AC, ∴.∠DEC=∠BFA=90. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， (AB=CD, BF=DE, ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). 典例3(1)，AB⊥CD, .∴.∠AFC=90°. .∠BAC+∠ACF=90° .∠ACB=90°， ∴.∠DCE+∠ACF=90° ∴.∠BAC=∠DCE. 在△ABC和△CDE中， ∠BAC=∠DCE, AC=CE, ∠ACB=∠CED, .△ABC≌△CDE(ASA). (2).·△ABC≌△CDE, .BC=DE=10 cm,AC=CE. ·B是CE的中点， ,∴.CE=2BC=20cm. .∴.AC=CE=20cm. [变式](1).·EF⊥AC, .∠E=90°. .∠ACB=90°， ∠DCB=90°. .∠E=∠DCB=90°. 在△DEF和△DCB中， ∠E=∠DCB, ∠EDF=∠CDB, EF=CB, '.△DEF≌△DCB(AAS). .'DE=DC. (2).'DE=DC. .CE=2DC. .'AG=2CD, .AG=CE. ..AG+CG=CE+CG. .AC=EG. 在△FEG和△BCA中， EF=CB, ∠E=∠ACB, EG=CA, ∴.△FEG≌△BCA(SAS). .∠FGE=∠BAC. 典例4由题意可知，∠CEO= ∠ODB=90°，OB=OC,BD=1.4m, CE=1.8m, .∠BOC=90°， ∠COE+∠BOD=∠BOD十 ∠OBD=90. ..∠COE=∠OBD 在△COE和△OBD中， ∠CEO=∠ODB, ∠COE=∠OBD, OC=BO, .△COE≌△OBD(AAS). .CE=OD=1.8 m,OE BD= 1.4m. ,.DE=OD-OE=1.8-1.4= 0.4(m). ∴.CN=EF=DE+DF=0.4十1= 1.4(m). [变式][问题背景]EF=BE十DF. 理由：如图①，延长FD到点G,使 DG=BE,连接AG. :∠ADF=90, .∠ADG=90°. .∠B=∠ADG. 在△ABE和△ADG中， AB=AD. ∠B=∠ADG, BE=DG, .△ABE≌△ADG(SAS). ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG. :∠BAD=120°，∠EAF=60, ∴.∠BAE+∠DAF=60. ∴.∠DAG+∠DAF=60°，即 ∠GAF=60. ∴.∠EAF=∠GAF. 在△AEF和△AGF中， AE-AG. ∠EAF=∠GAF, AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF(SAS). .EF=GF. .·GF=DG+DF, ∴.EF=BE+DF. [拓展应用]如图②，连接EF. :∠AOB=40°+90°+(90°-80)= 140°，∠EOF=70°， ∴.∠AOE+∠BOF=140°-70°= 70°. 延长FB到点G,使BG=AE,连接 OG,则∠OBG+∠OBF=180°. 又，∠OAE+∠OBF=(90°- 40°)+(80°+50°)=180°， ∴.∠OAE=∠OBG. 在△AOE和△BOG中， OA=OB, ∠OAE=∠OBG, AE=BG, .∴.△AOE≌△BOG(SAS) ∴.∠AOE=∠BOG,OE=OG. .∴.∠BOG+∠BOF=70°，即 ∠GOF=70°. ∴.∠EOF=∠GOF 在△OEF和△OGF中， 30 OE=OG ∠EOF=∠GOF, OF=OF, ∴.△OEF≌△OGF(SAS). .'EF=GF. GF=BG+BF, .'EF=AE+BF. 由题意，得AE=80×2=160(海里)， BF=70×2=140(海里)， .EF=160+140=300(海里). .此时甲、乙两舰艇之间的距离是 300海里 G ↑北 ② [综合素能提升] 1.B 2.A解析：如图，延长BE,AD交于 点F.:AD∥BC,.∠ABC+ ∠BAD=180°.：AE平分∠BAD, BE平分∠ABC,.∠BAE= 1 1 ∠BAD,∠ABE=2∠ABC, .∠BAE+∠ABE=90. ∴.∠AEB=90°.故选项C正确，不合 题意.∴.∠AEF=∠AEB=90°. :AE平分∠BAD,.∠BAE= ∠FAE.又AE=AE,.△ABE≌ △AFE(ASA).∴.BE=FE.·AD∥ BC,∴.∠C=∠EDF.又，∠BEC= ∠FED,∴.△BCE≌△FDE(AAS). ∴.CE=DE.∴.E为CD的中点.故 选项B正确，不合题意.△BCE≌ △FDE,.SAE=SAFDE. ∴.S△AF=S网边形AD.:E为CD的 中点，∴.S△AE=之 SAABF. 1 ·S△AE=2S两边形AD.故选项D正 确，不合题意.，△ABE2△AFE, △BCE≌△FDE,∴.AB=AF,BC=CE,CD=BE.∴.DE=CD+CE= FD.AF-AD+FD-AD+BC. BE+AD,即DE=AD+BE .AB=AD+BC..·AB与CD不 第15章 轴对称图形 一定相等，∴.BC+AD=CD不一定 成立.故选项A可能错误，符合题意。 与等腰三角形 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形与轴对称 1.A2.A3.35 4.如图所示. (第2题) 3.32 42或8 解析：由题意，得AP= (第4题) 2t cm,BP=(6-2t)cm,BQ=xt cm. 5.B 当△ACP≌△BPQ时，.AP=BQ. 方法归纳 运动时间相同，∴P,Q的运动速 度也相同..x=2.当△ACP≌ “火眼金睛”识别轴对称图形 在识别轴对称图形时，通常的 △BQP时，AC=BQ=4cm,PA= 依据是轴对称图形的概念，识别方 PB,,.2t=6-2t,解得t=1.5. =4÷1.5=号综上所述，的值 法如下：将图形沿某条直线折叠， 再观察直线两旁的部分是否完全 为2或号 重合，能够完全重合的就是轴对称 图形，否则就不是轴对称图形. 5.(1)①CD=BE. 6.D解析：角是轴对称图形，它 解析：，AD⊥CM,BE⊥CM, 的平分线所在的直线就是它的对称 .∠ACB=∠ADC=∠CEB=90°， 轴，.①不正确.，两个全等的图形 ∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+ 不一定成轴对称，∴.②不正确.若 ∠B=90°.∴.∠ACD=∠B.在 两个图形关于某条直线对称，则这两 △ACD 和 △CBE 中， 个图形不一定分别位于这条直线的两 I∠ADC=∠CEB, 侧，∴.③不正确.：到直线1距离相 ∠ACD=∠B, ..△ACD≌ 等的两点不一定关于1对称，∴.④不 AC=CB, 正确.综上所述，不正确的有4个 △CBE(AAS).∴.CD=BE 易错警示 ②AD=BE+DE. 未正确理解轴对称中的概念致错 .△ACD≌△CBE, (1)对称轴是一条直线，而不 .AD=CE,CD=BE. 是射线或线段 CE=CD+DE=BE+DE, (2)成轴对称的两个图形一定 ∴.AD=BE+DE 全等，但全等的两个图形不一定成 (2)(1)②中的结论不成立. 轴对称 DE=AD十BE. 解析：AD⊥ CM,BE⊥CM,∴.∠ACB= 7.A ∠CEB=∠D=90°.∴.∠ACD十 8.4解析：如图，有4个位置可以使 ∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90° 整个涂色图形成为轴对称图形. ∴.∠ACD=∠B.在△ACD和 2 ∠D=∠CEB, △CBE中， ∠ACD=∠B, AC=CB. 1 3 .∴.△ACD≌△CBE(AAS)...AD= (第8题) 31 9.75°或45°解析：如图①，由折叠 可得，∠BAD=∠B'AD,∠CAE= ∠C'AE,:∠B'AC'=30°，∠BAC 120°，∠BAB'+∠CAC'=∠BAC ∠B'AC=120°-30°=90°， .∠DAE=∠B'AC'+∠B'AD+ ∠CAE=∠BaC'+(∠BAB'+ ∠CAC)=30+号×90=75如图 ②，由折叠可得，∠BAD=∠B'AD, ∠CAE=∠C'AE,∠B'AC'=30, ∠BAC=120°，∠BAB'+∠CAC'= ∠BAC+∠B'AC'=120°+30°= 150°，.∠DAE=∠B'AD+ ∠CAE-∠B'AC'=(∠BAB+ ∠CAC-∠BAC=号×150 30°=45°.综上所述，∠DAE=75 或45°. R ① ② (第9题》 易错警示 考虑问题不全面致错 此题应分△AB'D与△ACE 不重合和有重合时两种情况考虑， 防止漏解。 10.答案不唯一，如图①②③所示. ③ (第10题) 11.(1)·M,N分别是点P关于直拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第14章整合拔尖 知识体系构建 对应角相等 全等三角形的性质尸 对应边相等 边角边(SAS) 角边角(ASA) 般三角形 边边边(SSS) 角角边(AAS) 全等三角形的判定 全等三角形 般三角形的判定方法 直角三角形 斜边、直角边(HL)】 找夹角(SAS) 已知两边 找直角(HL) "SSA”“AAA” 找第三边(SSS) 不能证明两个 找已知角的另一边(SAS) 三角形全等 边为角的邻边 找已知边的对角(AAS) 方法选择 已知一边一角 找夹已知边的另一角(ASA) 边为角的对边，找任意角(AAS) 找两角的夹边(ASA) 已知两角 找一角的对边(AAS) 9幻高频考点突破 考点一全等三角形的性质 提示 延长C'D交AB'于点H.利用全等三角形的性 典例1如图，在锐角三角形ABC中，D,E分 质、平行线的性质、三角形的外角的性质证明 别是边AB,AC上的点，△ADC≌△ADC', ∠BFC=∠AHC'+∠C'+∠DAC,再求出∠C'+ △AEB≌△AEB',且C'D∥EB'∥BC,BE,CD ∠AHC'即可解决问题. 交于点F.若∠BAC=40°，则∠BFC的度数是 [变式](2024·淮南潘集期末)如图，△ABC≌ △ADE,点D在边BC上，∠E=35°，∠DAC 30°，则∠BDA的度数为 D (典例1图) A.105° B.100° C.110° D.115° 76 第14章全等三角形 考点二全等三角形的判定 (2)若B是CE的中点，DE=10cm,求AC 典例2如图，AC∥DF,B为线段AC上一点， 的长 连接BF交DC于点H,过点A作AE∥BF,分 别交DC,DF于点G,E,DG=CH.求证： △DFH≌△CAG. (典例3图) (典例2图) [变式](2024·六安金寨期末)如图，在 [变式](2025·合肥包河段考)如图，AB=CD, Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长AC至点E,过 DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足，DE=BF,求 点E作EF⊥AC,使EF=BC,连接BF交CE 证：△ABF≌△CDE. 于点D. D (1)求证：DE=DC. (2)若G是AC上一点，满足AG=2CD,连接 FG,求证：∠FGE=∠BAC. G 考点三全等三角形的性质与判定的综合 典例3如图，△ABC和△CDE均是直角三角 形，∠ACB=∠CED=90°，AC=CE,AB⊥CD 于点F. (1)求证：△ABC2△CDE. 77 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 考点四全等三角形的实际应用 [变式]新考法·探究题[问题背景]如图①，在 典例4新情境·游戏活动(2024·安庆太湖期末) 四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， 小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图，小丽 ∠B=∠D=90°.E,F分别是BC,CD上的点， 坐在秋千的起始位置A处，OA与地面MN垂 且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,DF之 直，OA的延长线交MN于点F.她两脚在地面 间的数量关系，并说明理由， 上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸 [拓展应用]如图②，在某次军事演习中，舰艇甲 爸在C处接住她.已知点B距地面的高度 在指挥中心（点O处）北偏西40°的点A处，舰 BM=DF=1m,点B,C到OA的水平距离 艇乙在指挥中心南偏东80°的点B处，并且两舰 BD,CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90°， 艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰 点C距地面的高度CN=EF,求此时CN的长， 艇甲向正东方向以80海里/时的速度前进，同时 0 舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/时的速度 前进，2小时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇 E B 分别到达，点E,F处，两舰艇与指挥中心之间的 、.4- 夹角为70°，试求此时甲、乙两舰艇之间的距离. M (典例4图) 北 78 第14章全等三角形 ]综合素能提升 1.(2024·毫州蒙城期末)如图，AC=DB,添加5.已知∠ACB=90°，AC=CB,AD⊥ 下列条件，仍不能判断△ABC≌△DCB的是 CM,BE⊥CM,垂足分别为D,E. ( (1)如图①. A.∠A=∠D=90°B.∠ABC=∠DCB ①线段CD和BE之间的数量关系是 C.∠ACB=∠DBCD.AB=DC ②请写出线段AD,BE,DE之间的数量关 系并证明. (2)如图②，(1)②中的结论还成立吗？如果 不成立，请直接写出线段AD,BE,DE之间 E (第1题) (第2题)》 的数量关系， 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.若 ∠BAD的平分线AE交CD于点E,连接 BE,且BE平分∠ABC,则下列判断可能错 误的是 ( ② (第5题) A.BC+AD=CD B.E为CD的中点 C.∠AEB=90° D.S△ABE= 2S四边形ABCD 3.(2024·宣城期末)如图，在△ABC中，D是 AC的中点，AD=5cm,DE⊥AC交AB于 点E,连接CE,若△BCE的周长是22cm,则 △ABC的周长为 cm (第3题) (第4题) 4.(2024·滁州天长期末)如图，AB= 6cm,AC=BD=4cm,∠CAB= ∠DBA.点P在线段AB上以 2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点 Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运 动的时间为ts.设点Q的运动速度为xcm/s, 若△ACP与△BPQ全等，则x的值为 79