第14章 专题特训6 构造全等三角形解题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

∠ABG=∠CAF, AB=CA, ∠BAG=∠ACF, ,'.△ABG≌△CAF(ASA). ..AG=CF. (2)在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°， .∴.∠ABC=∠ACB=45. ·CF⊥AC, ∴.∠DCE=∠FCE=45°，∠F+ ∠CAF=90°. .AE⊥BD, ∴.∠CAF+∠ADB=90°. ∴∠F=∠ADB. 又，∠ADB=∠CDE, .∠CDE=∠F. 在△CDE和△CFE中， ∠DCE=∠FCE, ∠CDE=∠F, CE=CE, ..△CDE≌△CFE(AAS). .DC=FC. .∠BAC=90°，CF⊥AC, ∴.∠ACF=∠BAD=90°. 在△ACF和△BAD中， '∠ACF=∠BAD, ∠F=∠ADB, AC=BA, .'.△ACF2△BAD(AAS). ∴.CF=AD .AD=DC. 专题特训六 构造全等 三角形解题 1.延长AD交BC于点E. BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠EBD AD⊥BD, '.∠BDA=∠BDE=90. 又BD=BD, .△BDA≌△BDE(ASA). ..∠2=∠BEA. .∠BEA=∠1+∠C, .∠2=∠1+∠C. 2.如图，过点B作BG⊥CB,交CF 的延长线于点G,则∠CBG=90. ∠ACB=90,CF⊥AD, ∴.∠CAD+∠ADC=∠BCG+ ∠ADC=90°. .'.∠CAD=∠BCG. 在△ACD和△CBG中， I∠CAD=∠BCG, ·{AC=CB, ∠ACD=∠CBG=90°， '.△ACD≌△CBG(ASA). '.CD=BG,∠ADC=∠G D为CB的中点， .CD=BD. .'BG=BD. 易得∠ABC=45°， .'.∠FBG=∠FBD=45. 在△BFG和△BFD中， BG=BD ∠FBG=∠FBD, BE=BE, ∴.△BFG≌△BFD(SAS). ∴.∠G=∠BDF ∴.∠ADC=∠BDF D B (第2题) 3.(1)如图①，把△ADF绕点A按 顺时针方向旋转90°得到△ABG,则 AG=AF,BG=DF,∠GAF= ∠BAD=90°，∠ABG=∠D. :易得∠D=∠BAD=∠ABE= 90°， .'.∠ABG=90 ∴.∠ABG+∠ABE=180°. ∴点G在CB的延长线上. ,∠EAF=45, ∠EAF=2∠GAPE .∠EAG=∠EAF, 在△AEG和△AEF中， (AG=AF, .{∠EAG=∠EAF, AE-AE. ∴.△AEG≌△AEF(SAS). .EG=EF. ,·EG=BE+BG=BE+DF, .'EF=BE+DF. (2)(1)中的结论仍然成立. 如图②，把△ADF绕点A按顺时针 方向旋转∠DAB的度数得到 △ABG,则∠D=∠ABG,∠GAF= ∠BAD,AG=AF,BG=DF. 28 ∠ABC+∠D=180°， .∠ABC+∠ABG=180° .点G在CB的延长线上 :∠EAF=S∠BAD. &∠EAF=∠GAr. ∴.∠EAG=∠EAF. 在△AEG和△AEF中， AG-AF, ∠EAG=∠EAF, AE-AE, ,'.△AEG2△AEF(SAS) .EG=EF. .·EG=BE+BG=BE+DF, .EF=BE+DF. (① G B E ② (第3题) 4.如图，延长AE至点F,使EF= AE,连接DF. .AE是△ABD的中线， ∴.BE=DE. 在△ABE和△FDE中， AE=FE. ∠AEB=∠FED, BE=DE, .△ABE≌△FDE(SAS). ∴.∠B=∠EDF,AB=FD. .BA=BD, .∠BAD=∠BDA,BD=DF :∠ADF=∠BDA+∠BDF, ∠ADC=∠BAD+∠B, .∠ADF=∠ADC. ,AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD .DF=CD 在△ADF和△ADC中， AD-AD. ∠ADF=∠ADC, DF=DC, .'.△ADF≌△ADC(SAS). 六AC=AF=2AE,即AE=AC. B ED C (第4题) 5.AB=AC+BD. 理由：如图，在AB上截取AF=AC, 连接EF. AE平分∠CAB, ∴.∠CAE=∠FAE. 在△CAE和△FAE中， AC=AF, ∠CAE=∠FAE, AE=AE, .'.△CAE≌△FAE(SAS). .∠C=∠AFE. AC//BD, .∠C+∠D=180° .∠EFB+∠AFE=180°， .∠D=∠EFB. .BE平分∠ABD, '.∠DBE=∠FBE 在△BEF和△BED中， ∠EFB=∠D, ∠FBE=∠DBE, BE=BE, ..△BEF≌△BED(AAS). ∴.BF=BD AB AF+BF,AC AF, BF=BD, .'AB=AC+BD. E D B F (第5题) 6.如图，过点D作DH⊥BC,交BC 的延长线于点H. .BD平分∠ABC,DE⊥AB, DH⊥BH, .∠DBE=∠DBH,∠DEB = ∠H=90. 在△BDE和△BDH中， I∠DBE=∠DBH, ∠DEB=∠H, BD=BD, '.△BDE≌△BDH(AAS). .BE=BH,DE-DH. DE⊥AB, ∴.∠AED=90=∠H. 在Rt△DEA和Rt△DHC中， AD=CD, DE-DH, ∴.Rt△DEA≌Rt△DHC(HL). ∴.AE=CH .BE=BH=BC+CH=BC+AE, 即AE+BC=BE. D E 第6题) 7.如图，过点Q作QE⊥BC于点E, 则∠QEB=∠QEC=90. :∠BAC=60°，∠C=40, '.∠ABC=80. BQ平分∠ABC, :∠CBQ=2 1 ∠ABC= 80°=40. .∠CBQ=∠C. 在△QBE和△QCE中， ∠QEB=∠QEC, ∠QBE=∠C, QE=QE, ∴.△QBE≌△QCE(AAS). ∴.BQ=CQ. ∴.BQ+AQ=CQ+AQ=AC. 过点P作PDBQ,交CQ于点D,过 点D作DF⊥BC于点F,则 ∠CPD=∠CBQ=40°. .∠CPD=∠C=40°. 同理，可得DP=DC. ∠ADP=∠CPD+∠C=40°+ 40°=80°. ∴.∠ABC=∠ADP. AP平分∠BAC, ∴.∠BAP=∠DAP. 在△ABP和△ADP中， ∠ABP=∠ADP, ∠BAP=∠DAP, AP-AP, ∴.△ABP≌△ADP(AAS). .'AB=AD,BP=DP. .AB+BP=AD+DP=AD+ 29 DC=AC. 又.BQ+AQ=AC, ∴.AB+BP=BQ+AQ. PE (第7题) 第14章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B解析：如图，延长C'D交 AB'于点H.,△AEB≌△AEB', .∠ABE=∠AB'E.C'H∥EB', .∠AHC=∠AB'E..∠ABE= ∠AHC.△ADC≌△ADC, ∴.∠ACD=∠C.:∠BFC= ∠DBF+∠BDF,∠BDF= ∠DAC+∠ACD,∴.∠BFC= ∠AHC'+∠C'+∠DAC.易得 ∠DAC=∠DAC'=∠CAB'=40°， .∠CAH=120.∴.∠C'+ ∠AHC'=60.∴.∠BFC=60°+ 40°=100°. D (典例1图) [变式]65 典例2ACDF,AEBF, ∴.∠D=∠C,∠FHD=∠AGC. .DG=CH, ∴.DG+HG=CH+HG,即 DH=CG. 在△DFH和△CAG中， ∠D=∠C DH=CG, N∠FHD=∠AGC, ∴.△DFH≌△CAG(ASA). [变式]DE⊥AC,BF⊥AC, .∴.∠DEC=∠BFA=90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， (AB=CD. BF=DE, ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HI). 典例3(1)，AB⊥CD, '.∠AFC=90.拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 专题特训六构造 类型一补形法 1.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD,垂足为D.求证：∠2=∠1十∠C B (第1题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= CB,D为CB的中点，CE⊥AD于点E,延 长CE交AB于点F,连接DF.求证： ∠ADC=∠BDF. (第2题) 74 全等三角形解题 类型二旋转法 3.在四边形ABCD中，点E,F分别在I 边BC,DC上，连接AE,AF,EF. (1)如图①，若四边形ABCD为正 方形，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF. (2)如图②，若在四边形ABCD中，AB= AD,∠ABC+∠D=180°，∠EAF= ∠BAD,(1中的结论是否仍然成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由 E ② (第3题) 类型三倍长中线法 4.如图，AD,AE分别是△ABC和△ABD的 中线，且BA=BD,求证：AE=2AC B E D (第4题) 类型四截长补短法 5.如图，AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和 ∠DBA,点E在CD上.AB与AC+BD相 等吗？请说明理由. (第5题) 第14章全等三角形 类型五作垂线法 6.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BD平 分∠ABC,DE⊥AB于点E.求证：AE十 BC=BE. (第6题) 类型六作平行线法 7.如图，在△ABC中，∠BAC=60° ∠C=40°，AP平分∠BAC交BC 于点P,BQ平分∠ABC交AC于 点Q.求证：AB+BP=BQ十AQ B P (第7题) 5