14.2 三角形全等的判定-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 14.2三角形全等的判定 第1课时 两边及其夹角分别相等的两个三角形 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，AB平分∠DAC,要用“SAS”判定 5.如图，在△ABC中，∠B=∠C,BF=CD △ABC≌△ABD,还需添加条件 BD=CE,∠FDE=65°，则∠A的度数为 A.CB=DB B.AB=AB C.AC-AD D D.∠C=∠D (第1题) 2.新情境·日常生活如图，有一个池塘，要测量 B D (第5题) 池塘两端A,B之间的距离，可以先在平地上 A.50° B.55 取一个不经过池塘，但可以直接到达点A,B C.60 D.65 的点C,连接AC并延长至点D,使CD= 6.如果AD是△ABC的边BC上的中 CA,连接BC并延长至点E,使CE=CB,连 线，AB=12,AC=8,那么中线AD 接ED.若量出ED=58米，则A,B之间的 长的取值范围是 ( 距离为 米 A.2<AD<10 B.4<AD<20 C.1<AD<4 D.以上都不对 D (第2题) (第3题) 7.(2024·蚌埠期末)数学活动课上，小明在正 3.易错题如图，点A,E,B,D在同一条直线 方形网格中一笔画成如图所示的图形，则 上，AC∥DF,AC=DF,若利用“SAS”来判定 ∠A+∠C= △ABC≌△DEF,则需要补充一个条件： 4.(2024·淮南凤台期末)如图，AB与CD相交 于点E,AB=CD,DE=BE.求证：∠A= (第7题) ∠C. 8.如图，C为BE上一点，点A,D分别在BE 的两侧，AB∥ED,AB+BC=ED+CE= BE.若∠A=100°，∠B=45°，则∠D= (第4题) (第8题) 62 第14章全等三角形 9.(2024·安庆期末)如图，在△ABC中，AB= 世思维拓展 CB,D是边AC上一点，E为△ABC外的任 11.新考法·探究题如图①，BD,CE 意一点，连接BD,BE,DE,其中BE=BC, 是△ABC的高，点P在BD的延 ∠ABD=∠EBD. 长线上，CA=BP,点Q在CE上 (1)求证：∠A=∠E. QC=AB,连接AP,AQ.设∠ACE=∠1， (2)若AD=BD,BE=6,AC=10,求 ∠ABP=∠2. △BDC的周长. (1)探究AP与AQ之间的关系， (2)若把(1)中的△ABC改为钝角三角形， AC>AB,∠A是钝角，其他条件不变，上 述结论是否成立？在图②中补全图形，并证 明你的结论 (第9题) ① ② (第11题) 10.如图，AB=EF,ABEF,点A,C,D,F在 同一条直线上，AC=FD,点B,E在直线 AF的异侧.求证： (1)BC=ED. (2)BD//CE. (第10题) 63 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第2课时 两角及其夹边分别相等的两个三角形 白基础进阶 幻素能攀升 1.如图，∠C=∠E,AC=AE,欲证明△ABC≌ 5.如图，△ABC的面积为6cm,AP与∠ABC △ADE,依据是“ASA”,只需补充一个条件， 的平分线垂直，垂足为P,连接PC,则 这个条件可以是 △PBC的面积为 () A.AB-AD B.BC=DE C.∠1=∠2 D.以上都不对 B D (第5题) A.3 cm2 B.2.5 cm (第1题) (第2题) C.3.5cm2 (第3题) D.4 cm2 2.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB∥ 6.如图，要测量池塘的宽度AB,可从点A出发 DE,AB=DE,∠A=∠D,BE=2,EC=3, 在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从 则EF= 点C观测，在BA的延长线上测得一点D,使 3.新情境·日常生活小明不小心将一块三角形 ∠ACD=∠ACB,这时量得AD=160m,则 玻璃碎成如图所示的四块，他应该带 池塘的宽度AB是 m. B 号碎块（填“1”“2”“3”或“4”）去，就能配一块 与原来大小一样的三角形玻璃，这利用了三 角形全等中的 原理 (第6题) 4.(2024·池州期末)如图，点B,E,C,F在一 7.如图，在△ABC中，AD,BE是△ABC的高， 条直线上，AC=DE,AC∥DE,∠A=∠D, AD与BE相交于点F.若AD=BD=6, (1)求证：△ABC≌△DFE. △ACD的面积为12，则AF的长为 (2)若BC=7,EC=4,求CF的长， D (第4题) D D (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB> BC,点D在边BC上，且CD 2BD,点E,F在线段AD上，且满 足∠BED=∠CFD=∠BAC.若S△ABC= 24,则S△ABE十SACDE= 64 第14章全等三角形 9.★如图，要测量湖中小岛E距岸边A和D的 【实际应用】(3)如图③，对△ABC进行如 距离，方法如下：(1)任作线段AB,取其中点 下操作：①用量角器作∠ABC的平分线 O;(2)连接DO并延长至点C,使CO=DO; BD;②过点A作AD⊥BD于点D.已知 (3)连接BC;(4)用仪器测量使点E,O,F BC=15,AB=10,△ABC的面积为30，请 在同一条直线上，并交BC于点F.要测量 直接写出△ABD的面积 AE,DE的长，只需测量出BF,CF的长即 【拓展延伸】(4)如图④，在△ABC中， 可，为什么？ AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB, BE⊥CD,交CD的延长线于点E,试探究 BE和CD之间的数量关系，并证明你的 结论. (第9题)》 B ① ② (第10题) 思维拓展 10.新考法·探究题【问题情境】(1)利 用角平分线是构造全等三角形常 用的方法.如图①，OP平分 ∠MON,A为OM上一点，过点A作AC⊥ OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可 直接根据 (填字母依据)证明 △AOC≌△BOC. 【类比解答】（2)如图②，在△ABC中， ∠B+∠BAC=130°，CD平分∠ACB,点 D在AB上，AE⊥CD于点E,延长AE交 BC于点F,求∠AFC的度数. 65 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第3课时 三边分别相等的两个三角形 白基础进阶 (2)探究AD与BC的位置关系，并证明你的 1.如图，在△ABC中，AB=AC,BE=CE,可 结论. 直接利用“SSS”判定 ) D (第5题) (第1题) A.△ABD≌△ACEB.△ABE≌△DCE C.△ABE≌△ACED.△BED≌△CED 2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的 道理是 ) A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 幻素能攀升 C.三角形具有稳定性 6.(2024·合肥肥东期末)下列各组条件中，能 D.两直线平行，内错角相等 判定△ABC和△DEF全等的是 ) 3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕 A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D 迹如图所示，则作图的依据是 B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF C.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F D.AB-DE,BC=EF,AC-DF A 0 7.如图，点D在线段BC上，BC=ED,AC= (第3题)》 4.(2024·安庆期末)如图，在△ABC与△ADE CD,AB=CE,且∠ACE=180°-∠B- 中，点E在边BC上，AD=AB,AE=AC, (2x)°，则下列角中，度数为x的角是() DE=BC,若∠1=25°，则∠2的度数为 A.∠EFC B.∠B C.∠FDC D.∠DFC 2 B D (第4题) (第7题) (第8题) 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC 8.如图，△ABC是等边三角形.若在它边上的 上的中线 一点与这边所对角的顶点的连线恰好将 (1)猜想∠BAD与∠CAD的大小关系，并 △ABC分成两个全等三角形，则这样的点共 证明猜想的正确性 有 个 66 第14章全等三角形 9.新考法·新定义题两组邻边分别相等 11.如图，AB=AC,BD=CD,∠A=80°， 的四边形叫作“筝形”.如图，四边形 ∠BDC=120°.求∠B的度数. ABCD是一个“筝形”，其中AD CD,AB=CB.有下列结论：①△ABD≌ △CBD;②AO=CO= AC:ACLBD. (第11题)》 其中，正确的有 个 (第9题) 10.★如图，AE=DB,BC=EF,AC=DF,点 A,B,E,D在同一条直线上.求证： (1)AC∥DF. (2)CB//EF. 箭思维拓展 12.如图，D是四边形AEBC内一点 (第10题) 连接DA,DB.已知CA=CB DA=DB,EA=EB,则C,D,E 三点在同一条直线上吗？为什么？ E (第12题) 67 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第4课时其他判定两个三角形全等的条件 白基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·合肥包河期末)如图，∠C=∠D, 5.如图，AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥ED.若 AC=AD,增加下列条件仍不能判定 AB=CD,CE=8,BF=6,AD=10,EF △ABC≌△AED的是 ( 的长为 () A.AB=AE A.4 C.3 E B.2 D.2 B.BC=ED C.∠1=∠2 D.∠B=∠E (第1题) 2.如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D F D B0% 90°，∠1+∠2=90°，BC=3,则CD的长为 (第5题)》 (第6题) ( ) 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC, A.4 B.1 C.2 D.3 点B的坐标为（一1,0），点C的坐标为(1， 4),则点A的坐标为 1 A.(5,2)B.(4,2)C.(-5,2)D.(-4,2) 7.如图，在四边形ABCD中，ABDC,E为BC 的中点，连接DE,AE,AE⊥DE.若AB=5, (第2题) (第3题) CD=3,则AD的长为 () 3.新考法·条件开放题(2024·滁州天长期末) A.2 B.5 C.8 D.11 如图，AB=AD,∠1=∠2，在不改变图形的 B 情况下，请你添加一个条件，使△ABC≌ △ADE,则需添加的条件是 (填一个即可) (第7题) (第8题) 4.(2024·淮南寿县期末)如图，点A,D,C,F 8.(2024·毫州期末)如图，在△ABC中， 在同一条直线上，AB∥DE,∠B=∠E, ∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E, AD=CF. AD⊥CE于点D,DE=8,AD=12,则BE (1)求证：△ABC≌△DEF. 的长是 (2)若∠A=50°，∠F=70°，求∠B的度数. 9.如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥ B CE于点E,AD⊥CE于点D,连接 BD.若AD=8,DE=5,则△CDB 的面积为 (第4题) (第9题) 68 第14章全等三角形 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为 思维拓展 AC的中点，连接DE并延长，交BC于点F. 12.如图①，在Rt△ABC中，∠BAC= (1)求证：DE=FE 90°，AD⊥BC于点D,可知 (2)若AD=12,BF:CF=2:3,求BC ∠BAD=∠C 的长. (1)如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个 角的内部，点B,C分别在∠MAN的边 AM,AN上，且AB=CA,CF⊥AE于点F, BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF. (第10题)》 (2)如图③，点B,C分别在∠MAN的边 AM,AN上，点E,F在∠MAN内部的射 线AD上，∠1，∠2分别是△ABE,△CAF 的外角，且AB=CA,∠1=∠2=∠BAC. 求证：△ABE≌△CAF. 11.新趋势·跨物理学科小明在物理课上学习了 发声物体的振动实验后，对其作了进一步的 B 探究：在一个支架的横杆的点O处用一根 D 细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆 ② 动，如图①，OA表示小球静止时的位置.当 小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆 D 到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点 D,当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好 ③ 垂直（图中的点A,B,O,C在同一平面内）， (第12题) 过点C作CE⊥OA于点E,其示意图如图 ②示，测得BD=8cm,OD=17cm. (1)求证：∠COE=∠B. (2)求DE的长 A ① ② (第11题) 69 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第5课时两个直角三角形全等的判定 白基础进阶 (2)若AB=6,CF=2,求AC的长」 1.用三角尺可按下面的方法画角的平分线：按 如图所示摆放三角尺，使PM=PN,画射 线OP,则OP平分∠AOB.作图过程用了 △OMP≌△ONP,那么△OMP≌△ONP (第4题) 所用的判定定理是 ( (第1题) A.SSS B.AAS C.HL D.ASA 2.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B, D,C,E在同一条直线上，点C和点E重合， ∠B=∠DEF=90°，AB=DE.若添加一个 条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌ 幻素能攀升 Rt△DEF,则添加的条件是 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E是AB上 一点，且BE=BC,DE⊥AB于点E.若 AC=8,则AD+DE的值为 A.7 D C(E) (第2题) B.8 A.BC=EF B.∠BCA=∠F C.9 A D C.BA//EF D.AC-DF D.10 (第5题) 3.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直 6.如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB= 的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑 ∠CED=90°，AB=CD,CE=AC,则下列结 梯水平方向的长度DF相等.若DF=6m, 论中，错误的是 () DE=8m,AD=4m,则BF= m. A.∠B=∠D B.AC∥DE C.CB=CD D.AB⊥CD D B (第3题)》 4.(2024·淮北期末)如图，DE⊥AB,交AB的 延长线于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD, (第6题) (第7题) ∠DBE=∠C 7.如图，AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E, (1)求证：△ADE≌△ADF. BC=AE,AB=AD,则∠BAD= 70 第14章全等三角形 8.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线 缈思维拓展 MN上，点B,C在直线PQ上，点E在AB 11.在△ABC和△DEF中，AC=DF, 上，AD+BC=7,AD=BE,DE=EC,则 BC=EF,∠B=∠E, AB= (1)如图①，当∠B是直角时，根据 定理，可证得△ABC≌△DEF. (2)如图②，∠B,∠E都是钝角，求证： △ABC≌△DEF. P B C 0 C D (3)当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不 (第8题) (第9题) 9.易错题如图，在△ABC中，AC⊥！ 一定全等.请你用尺规在图③中作出 BC,AC=8,BC=4,AP⊥AC于点 △DEF,使△DEF和△ABC不全等（保留 A,现有两点D,E分别在AC,AP 作图痕迹，不写作法) 上运动，运动过程中总有DE=AB.当AD (4)当∠B,∠E都是锐角时，∠B还要满足 的长为 时，△ADE和△ABC全等. ,就可以使△ABC≌△DEF. 10.(2024·合肥庐阳期末)如图，在△ABC和 △EDC中，∠B=∠D=90°，AB=DE, EC=AC,AB分别与CE,DE交于点F, H,AC与DE交于点G.求证： (1)∠BCE=∠DCA. (2)HA=HE. (第11题) D (第10题) 71.'BC=EB=3. .AE=AB-EB=8-3=5. (2).△ABC2△DEB, .∠A=∠D=20°，∠DBE= ∠C=65° ∴.∠AED=∠DBE+∠D=65°+ 20°=85°. 5.B6.C 7.7解析：，△ABC≌△DEF, .BC=EF..BF=EC.BE= 10 cm,CF=4 cm,.'.BF+CE=6 cm. .'BF=EC=3 cm..'BC=BF+ FC=3+4=7(cm). 8.5或4解析：：两个三角形全等 13a-2b=5'或 u-2b=7'解得 a+2b=7 a+2b=5, a=3,a=3, 或 .a+b=5或4. b=2{b=1. 9.(1)∠BAE=∠CAD. 理由：，△ABD≌△ACE, .∠BAD=∠CAE. ,∠BAE=∠BAD+∠DAE, ∠CAD=∠CAE+∠DAE, ∴.∠BAE=∠CAD. (2)BE=CD. 理由：·△ABD≌△ACE, .'BD=CE BE=BD+DE,CD=CE+DE, .BE=CD. 10.(1)△ABD≌△EBC, .'BD=BC=3 cm,AB=EB=2 cm. ∴.DE=BD-EB=1cm. (2)AC⊥BD. 理由：△ABD≌△EBC, ∴.∠ABD=∠EBC. 又，点A,B,C在同一条直线上， ∴.∠ABD+∠EBC=180, .∠EBC=90°. ∴.AC⊥BD. (3)直线AD与直线CE垂直. 理由：延长CE交AD于点F. :△ABD≌△EBC, .∠D=∠C .易得∠A十∠D=90, .∠A+∠C=90° ∴.∠AFC=90°. ∴.直线AD与直线CE垂直 方法归纳 平面内两条直线常见的特殊 位置关系：平行和垂直 (1)证平行：证明两条直线平 行，通常考虑两个角的相等或互补 关系，当题目中涉及全等三角形 时，要灵活运用全等三角形对应角 相等的性质. (2)证垂直：根据90°角的补角 为90°或两角互余来证垂直.由于 全等三角形的对应边相等，对应角 相等，所以我们常利用全等三角形 的性质探索新的线段的关系与角 的关系. 11.(1)①当点P在AC上时， △APC不存在 ②当点P在BC上时，如图①. :△APC的面积等于△ABC面积 的一半， :.易得CP=2BC=2cm 9 .此时点P运动的距离为AC+ cp=12+号2em 11 ③当点P在AB上时，如图②. ,△APC的面积等于△ABC面积 的一半， 易得BP=名AB-7am ∴.此时点P运动的距离为AC十 1557 BC+BP=12+9+=2(cm. ∴.t= ÷321 19 2 综上所述1的值为号或号 (2).△APQ≌△DEF, ∴.AP=DE=4cm,AQ=DF= 5 cm. ①当点P在AC上时，如图③. 此时点Q的运动速度为5÷(4÷3)= (cm/). ②当点P在AB上时，如图④. 此时点P运动的距离为9+12+15一 4=32(cm),点Q运动的距离为9+ 12+15-5=31(cm). 22 ∴ 点 Q 的运动速度为31÷(32÷ $$3 \right) = \frac { 9 3 } { 3 2 } \left( c m / s \right) .$$ 综上所述，点 Q 的运动速度为 $$\frac { 1 5 } { 4 } c m / s$$ $$\frac { 9 3 } { 3 2 } c m / s .$$ C P B ① A P C B ② A P Q C B ③ A P C B ④ (第11题) 14.2 三角形全等的判定 第1课时两边及其夹角分别 相等的两个三角形 1.C 2.58 3.答案不唯一，如 AB=DE 易错警示— 混淆判定方法致错 在 ”这个判定方法中，包 含了边和角两种元素，一定要记住 角是两边的夹角，不能混淆成某一 条边的对角. 4.∵AB=CD，DE=BE， '.AB-BE=CD-DE,即AE= EC. 在△AED和△CEB中， AE=CE, ,∠AED=∠CEB, DE=BE, ∴.△AED≌△CEB(SAS). .∠A=∠C. 5.A解析：在△BFD和△CDE中， BE=CD, ∠B=∠C,∴.△BFD≌ BD=CE, △CDE(SAS).∴.∠BFD=∠CDE. ,∠FDC=∠B+∠BFD= ∠FDE+∠CDE,.'.∠B= ∠FDE=65°=∠C.∴.∠A=180° ∠B-∠C=50°. 6.A解析：如图，延长AD至点E, 使AD=ED,连接EB.'AD是 △ABC的边BC上的中线，.BD= CD.又∠ADC=∠EDB,AD= ED,.△ACD≌△EBD(SAS). ∴.AC=EB.在△ABE中，易得 AB-EB<AE<AB+EB,.'.AB- AC<AE<AB+AC..12-8< AE<12+8,即4<AE<20.∴.2< AD10. (第6题) 7.45 8.35°解析：AB∥ED,∴.∠B ∠E.,AB+BC=ED+CE=BE BC+CE,∴.BC=ED,AB=CE ∴.△ABC≌△CED(SAS). .∠ACB=∠D.又：∠A=100°， ∠B=45,∴.∠ACB=180-∠A ∠B=35°.∴.∠D=35°. 9.(1).AB=CB,BE=BC, .'AB=EB. 在△ABD和△EBD中， AB=EB, :{∠ABD=∠EBD, BD=BD, ∴.△ABD≌△EBD(SAS). .∠A=∠E (2).BE=6, .'BE=AB=CB=6. .AD=BD,AC=10, ∴.△BDC的周长为CD+BD+ BC=CD+AD+BC=AC+BC=16. 10.(1).ABEF, ∴∠A=∠F. 在△ABC和△FED中， AB=FE, ,{∠A=∠F, AC-=FD, '.△ABC≌△FED(SAS) .BC=ED. (2)由(1)得，∠A=∠F」 .AC=FD, .AC+CD=FD+DC,即AD= FC. 在△ABD和△FEC中， AB=FE, :{∠A=∠F, AD=FC, ∴.△ABD≌△FEC(SAS). .∠ADB=∠FCE. .BD//CE. 11.(1):BD,CE是△ABC的高， '.BD⊥AC,CE⊥AB .∠1+∠CAB=90°，∠2+ ∠CAB=90°. ∴.∠1=∠2. 在△QAC和△APB中， (QC=AB, :{∠1=∠2， CA=BP, '.△QAC≌△APB(SAS) .AQ=PA,∠QAC=∠P 易得∠DAP+∠P=90, ∴.∠DAP+∠QAC=90°，即 ∠QAP=90. ∴.AP⊥AQ. 综上所述，AP=AQ,AP⊥AQ. (2)成立. 补全图形如图所示. BD,CE是△ABC的高， ∴.BD⊥AC,CE⊥AB. ∴.∠1+∠CAE=90°，∠2+ ∠DAB=90° ,∠CAE=∠DAB, .∠1=∠2 在△QAC和△APB中， 23 (QC=AB, ∠1=∠2， CA=BP, .△QAC≌△APB(SAS). .AQ=PA,∠QAC=∠P. .·易得∠P+∠PAD=90°， .∠QAC+∠PAD=90. .∠QAP=90°. .AP⊥AQ. 综上所述，AP=AQ,AP⊥AQ. (第11题) 第2课时两角及其夹边分别 相等的两个三角形 1.C2.53.2ASA 4.(1)AC∥DE, .∠ACB=∠DEF. 在△ABC和△DFE中， ∠A=∠D, AC=DE, ∠ACB=∠DEF, ∴.△ABC≌△DFE(ASA). (2)由(1)，得△ABC≌△DFE, .BC=FE. BC=7, ∴.EF=BC=7. 又，EC=4, ∴.CF=EF-EC=3. 5.A解析：如图，延长AP,交BC 于点D.AP⊥BP,.∠BPA= ∠BPD=90°.：BP平分∠ABC, '.∠ABP=∠DBP.在△ABP和 ∠ABP=∠DBP, △DBP中， BP=BP, ∠BPA=∠BPD, '.△ABP2△DBP(ASA). .S△ABP=S△DwP,AP=DP. .S△Acp=S△xp,·△ABC的面积 为6cm2,S△Px=S△DBP十 1 SAIP=2SAAn-3cm'. D (第5题) 6.160 7.2解析：AD,BE是△ABC的 高，.∴.∠BDF=∠ADC=∠BEC 90°.∴.∠DBF+∠C=∠DAC+ ∠C=90°.∴.∠DBF=∠DAC.在 △BFD 和△ACD 中， I∠DBF=∠DAC, BD=AD, ∴.△BFD≌ ∠BDF=∠ADC, △ACD(ASA).∴.△BDF的面积= △ACD的面积=12·合BD· DF=12..BD=6,.DF=4. .AF=AD-DF=6-4=2. 8.16解析：∠BED=∠CFD= ∠BAC,∠BED=∠BAE+∠ABE ∠BAC=∠BAE+∠CAF, ∠CFD=∠ACF+∠CAF, .∠ABE=∠CAF,∠BAE= ∠ACP.在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF, (AB=CA, ∴.△ABE≌ ∠BAE=∠ACF, △CAF(ASA).∴.S△ABE=S△CAF. '.S△AE+S△cF=S△CAF+S△CDF= S△Kn.:S△A=24,CD=2BD, 七SAm2 SAnc =16,即SAME十 S△cr=16. 9.O为AB的中点， .'AO=BO. 在△AOD和△BOC中， AO=BO, ∠AOD=∠BOC, DO-CO, '.△AOD≌△BOC(SAS). ∴.AD=BC,∠A=∠B. 在△AOE和△BOF中， |∠A=∠B, AO=BO, ∠AOE=∠BOF, '.△AOE≌△BOF(ASA): .AE=BF ∴.AD-AE=BC-BF,即DE= CF. ,.要测量AE,DE的长，只需测量出 BF,CF的长即可. 方法归纳 证明角或线段相等的步骤 (1)观察要证明的线段或角 (或通过等量代换得到的线段或 角)在哪两个可能全等的三角形 中，当待证角或线段不在这两个全 等三角形中时，常常添加辅助线构 造全等三角形 (2)分析需要证明全等的两个 三角形，确定已知条件（包含图形 中的隐含条件)是什么，还缺什么 条件. (3)设法证明所缺条件， (4)写出证明过程. 10.(1)ASA. (2)同理(1)，可得△AEC2△FEC, ∴.∠EAC=∠EFC. :∠B+∠BAC=130, .∠B+∠BAF+∠EAC=130. ∴.∠B+∠BAF+∠EFC=130°. .∠EFC+∠EFC=130. ∴.∠EFC=65. (3)如图①，延长AD交BC于点E 同理(1)，可得△ABD2△EBD, .AB=BE=10.AD=ED. BC=15, .∴.EC=BC-BE=15-10=5. “器-分 S△CE=1 S△AE2 ,△ABC的面积为30， .S△AE十S△ABE=30. 15ae=30X号=20 .AD=ED, △ABD的面积=SaE=10 (4)CD=2BE. 如图②，延长BE,交CA的延长线于 点F BE⊥CD, ∴.∠CEF=∠CEB=90°. :CD平分∠ACB, ∴.∠FCE=∠BCE. 在△CEF和△CEB中， ∠FCE=∠BCE, CE=CE, ∠CEF=∠CEB, 24 .'.△CEF≌△CEB(ASA). .FE=BE,即BF=2BE. :∠DAC=∠CEF=90, ∴.∠ACD+∠F=∠ABF+ ∠F=90. ∴.∠ACD=∠ABF. 在△ACD和△ABF中， 1∠ACD=∠ABF, .AC=AB, I∠CAD=∠BAF=90°， '.△ACD≌△ABF(ASA). .CD=BF. ∴.CD=2BE. C E D月 A ② (第10题) 第3课时三边分别相等的 两个三角形 1.C2.C3.SSs4.25 5.(1)∠BAD=∠CAD. :AD是边BC上的中线， .BD=CD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC, AD=AD. BD=CD, .△ABD≌△ACD(SSS). ∴.∠BAD=∠CAD. (2)AD⊥BC. .△ABD≌△ACD, ∴.∠ADB=∠ADC. ∠ADB+∠ADC=180°， .∠ADB=90°. ∴.AD⊥BC. 6.D 7.C解析：在△ABC和△CED中， BC ED,AC=CD,AB=CE, .'.△ABC≌△CED(SSS). ∴.∠ACB=∠CDE,∠B=∠E. ∠ACE=180°-∠B-(2x)°， .∠ACE+∠B=180°-(2x)°. :∠DFC=∠E+∠ACE, ∴.∠DF℃=180-(2x)°.，∠DFC+ ∠FDC+∠FCD=180°，∠FDC= ∠FCD,∴.∠FDC=∠FCD=x. 8.3解析：如图，设D,E,F分别为 △ABC各边的中点，连接AD,BE, CF.,△ABC是等边三角形， .AB=AC.:D为BC的中点， ∴.BD=CD.在△ABD和△ACD 中，AB=AC,BD=CD,AD= AD,'.△ABD≌△ACD(SSS).同 理，可证△BCE≌△BAE,△ACF≌ △BCF.∴.这样的点共有3个. D (第8题) 9.3解析：在△ABD和△CBD中， AD=CD, AB=CB,∴.△ABD≌△CBD DB=DB. (SSS).故①正确..∠ADB= ∠CDB.在△AOD和△COD中， AD-CD. ∠ADO=∠CDO,∴.△AOD≌ OD-OD. △COD(SAS)..∠AOD=∠COD, A0=OC=合AC,故©正确 :∠AOD+∠COD=180, .∠AOD=∠COD=90°..∴.AC⊥ BD.故③正确.综上所述，正确的有 3个. 10.(1):AE=DB, ∴.AE-BE=DB-BE,即AB= DE. 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, AC=DF, BC=EF, ..△ABC≌△DEF(SSS) .∠A=∠D,∠ABC=∠DEF ∴.AC∥DF. (2)由(1)，得∠ABC=∠DEF, .∠CBE=∠FEB. .CB//EF. 方法归纳 利用“SSS”判定三角形 全等的常用技巧 利用“SSS”判定三角形全等 时，当所给相等的线段不是要判定 的三角形的边时，往往利用等式的 性质，在等式的两边加上或减去同 一（或相等）线段，从而转化为三角 形的边相等 11.如图，连接AD并延长至点F. 在△BAD和△CAD中， AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴.△BAD≌△CAD(SSS) ∴.∠BAD=∠CAD,∠B=∠C. I∠BDF=∠B+∠BAD, ∠CDF=∠C+∠CAD, ∴.∠BDF+∠CDF=∠B+ ∠BAD+∠C+∠CAD. ∴.∠BDC=2∠B+∠BAC. :∠BAC=80°，∠BDC=120°， .∠B=20° (第11题) 12.C,D,E三点在同一条直线上. 连接CD,ED, 在△ADC和△BDC中， iCA=CB. DA=DB, CD=CD, ∴.△ADC≌△BDC(SSS)」 .'.∠ADC=∠BDC. 在△ADE和△BDE中. DA=DB, (EA=EB, ED-ED. .'.△ADE≌△BDE(SSS)】 .'.∠ADE=∠BDE :∠ADC+∠BDC+∠ADE+ ∠BDE=360°， .∴.2∠ADC+2∠ADE=360 ∴.∠ADC+∠ADE=180°. .C,D,E三点在同一条直线上 25 第4课时其他判定两个三角形 全等的条件 1.A2.D3.答案不唯一，如 ∠ACB=∠AED 4.(1)ABDE, .∠A=∠EDF AD=CF, .AD+DC=CF+DC,AC=DF. 在△ABC和△DEF中， I∠B=∠E, ·{∠A=∠EDF AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(AAS). (2)△ABC≌△DEF, ∴.∠ACB=∠F=70 :∠A=50°， .∠B=180°-∠A-∠ACB=60°. 5.A解析：AB⊥CD,CE⊥AD, ..∠C+∠D=90°，∠A+∠D= 90°，∠CED=90°..∠A=∠C BF⊥ED,.∠AFB=90 ∴.∠AFB=∠CED.在△ABF和 ∠A=∠C, △CDE中， ∠AFB=∠CED, AB-CD, '.△ABF≌△CDE(AAS).'.BF= DE=6,AF=CE=8...AE=AD- DE=10-6=4...EF=AF-AE= 8-4=4. 6.C解析：过点A作AD⊥x轴于 点D,过点C作CE⊥x轴于点E,则 ∠ADB=∠BEC=90°..∠BCE+ ∠CBE=90.:∠ABC=90, ∴.∠ABD+∠CBE=90°. ∴.∠ABD=∠BCE.又.AB=BC, ∴.△ABD≌△BCE(AAS)..AD= BE,BD=CE.又点B的坐标为 (-1,0),点C的坐标为(1,4)， ..OE=OB=1,CE=4...AD= BE=2,BD =CE=4...DO=4+ 1=5..点A的坐标为(-5,2). 7.C解析：如图，延长DE交AB的 延长线于点F.,E为BC的中点， .BE=CE.AB∥CD,.∠F= ∠CDE.在△BEF和△CED中， ∠F=∠CDE, :{∠BEF=∠CED,∴.△BEF≌ BE=CE, ACED(AAS)...EF=ED,BF= CD=3..AF=AB+BF =8. :AE⊥DE,∴.∠AEF=∠AED= 90°.在△AEF和△AED中， (AE-AE, :∠AEF=∠AED,∴.△AEF≌ EF=ED, AAED(SAS)..AF=AD=8. A E (第7题) 8.4 解析：∠ACB=90, .∠BCE+∠ECA=90°..·AD CE于点D,.∠ADC=90°. ∴.∠CAD+∠ECA=90°. ∴.∠CAD=∠BCE.BE⊥CE于 点E,∴.∠CEB=90°.∴.∠ADC= ∠CEB.又，AC=CB,∴.△ACD≌ △CBE(AAS).∴.CD=BE,AD= CE=8...BE=CD=CE-DE=8- 5=3.Sam=2CD·BE=× 3x82 10.(1).ADBC, .'.∠EAD=∠ECF,∠ADE= ∠CFE. .E为AC的中点， .AE=CE. 在△ADE和△CFE中， ∠EAD=∠ECF, ,∠ADE=∠CFE, AE-CE, ∴.△ADE≌△CFE(AAS). .DE=FE. (2)·△ADE≌△CFE, ∴.AD=CF=12. BF:CF=2:3, .BF=8. ∴.BC=BF+CF=8+12=20. 11.(1)OB⊥OC, .∠BOD+∠COE=90 又·CE⊥OA,BD⊥OA, '.∠CEO=∠ODB=90° .∠BOD+∠B=90° .∠COE=∠B. (2)由(1)，得∠CEO=∠ODB=90° ∠COE=∠B, 在△COE和△OBD中， I∠CEO=∠ODB, {∠COE=∠B, CO-OB, '.△COE≌△OBD(AAS). ∴.CE=OD=17cm,OE=BD= 8 cm. ∴.DE=OD-OE=9cm. 12.(1)CF⊥AE,BD⊥AE, '.∠CFA=∠ADB=90 .∠ABD+∠BAD=90. 又：∠MAN=90°， .∠BAD+∠CAF=90°. ∴.∠ABD=∠CAF. 在△ABD和△CAF中， I∠ADB=∠CFA, {∠ABD=∠CAF, AB=CA, ,∴.△ABD≌△CAF(AAS). (2):∠1=∠2=∠BAC,∠1= ∠BAE+∠ABE,∠BAC= ∠BAE+∠CAF,∠2=∠ACF+H ∠CAF, ∴.∠ABE=∠CAF,∠BAE= ∠ACF. 在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF, AB=CA, ∠BAE=∠ACF, .∴.△ABE≌△CAF(ASA). 第5课时两个直角三角形 全等的判定 1.C2.D3.18 4.(1).DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠E=∠DFC=90°. 在△DBE和△DCF中， I∠DBE=∠C, ∠E=∠DFC, BD=CD, ∴.△DBE≌△DCF(AAS). .DE=DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， DE=DF, AD=AD, .'.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). (2).△DBE≌△DCF,△ADE2 26 △ADF, .BE=CF=2,AE=AF. 又AB=6, ∴.AF=AE=AB+BE=8. '.AC=AF+CF=8+2=10 5.B解析：连接BD.DE⊥AB, .∠BED=90°=∠C.在Rt△BED (BD=BD, 和Rt△BCD中， BE=BC, .Rt△BED≌Rt△BCD(HL). .DE=DC..AD+DE=AD+ DC=AC=8. 6.C解析：在Rt△ABC和 (AB=CD, Rt△CDE中， AC=CE, ∴.Rt△ABC2Rt△CDE(HL,). .∠B=∠D,CB=ED,∠A= ∠DCE,故选项A正确，不合题意. CB=ED,∴.CB≠CD.故选项C 错误，符合题意.设AB与CD交于点 O.∠A+∠B=90°，∴∠DCE+ ∠B=90°..∴.∠COB=90°..∴.AB CD.故选项D正确，不合题意. ,∠ACB=∠CED=90, ∴.∠ACB+∠CED=180°..∴.AC∥ DE.故选项B正确，不合题意」 7.908.7 9.8或4解析：，AC⊥BC,AP AC,..∠ACB=∠EAD=90. DE=AB,.当AD=CA=8时， 根据“HL”可判定Rt△ADE≌ Rt△CAB:当AD=CB=4时，根据 “HL”可判定Rt△ADE≌Rt△CBA. 综上所述，当AD=8或4时，△ADE 和△ABC全等 易错警示 未注意对应边的不同致错 本题中，AD的对应边可以是 CB,也可以是CA,此题容易考虑 问题不全导致错误」 10.(1).∠B=∠D=90, 在Rt△ACB和Rt△ECD中， AB=ED. AC=EC, .Rt△ACB2Rt△ECD(HL). ∴.∠ACB=∠ECD. .'.∠ACB-∠ACE=∠ECD- ∠ACE,即∠BCE=∠DCA」 (2).·Rt△ACB2Rt△ECD, ,.BC=DC,∠A=∠E. 在△BCF和△DCG中， ∠BCF=∠DCG, BC=DC, ∠B=∠D, '.△BCF≌△DCG(ASA). .CF=CG. .AC=EC, ∴.EF=AG. 在△AGH和△EFH中， ∠A=∠E, ∠AHG=∠EHF, AG=EF, .∴.△AGH≌△EFH(AAS). .'HA=HE. 11.(1)Hl. (2)如图①，过点C作CG⊥AB,交 AB的延长线于点G,过点F作 FH⊥DE,交DE的延长线于点H, 则∠G=∠H=90. .∠ABC=∠DEF, .∠CBG=∠FEH. 在△CBG和△FEH中， ∠CBG=∠FEH, ∠G=∠H, BC=EF, .'.△CBG≌△FEH(AAS). .CG=FH. 在Rt△ACG和Rt△DFH中， (AC=DF, CG=FH, ,∴.Rt△ACG≌Rt△DFH(HI). .∠A=∠D 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, ∠ABC=∠DEF, AC=DF, '.△ABC2△DEF(AAS). (3)如图②，△DEF即为所求作. (4)∠B≥∠A. A B G D E H ① C(F) A D B(E ② (第11题) 专题特训五全等三角形的 常见模型 1.AD=CF, ,'.AD+CD=CF+CD,即AC= DF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE, ∠A=∠EDF, AC=DF. ∴.△ABC≌△DEF(SAS). .∠B=∠E. 2.0Q=100m. 理由：根据题意，得AB=PO, ∠A=∠P, 又：AB⊥BO,PO⊥BQ, .∠ABO=∠POQ=90. 在△ABO和△POQ中， ∠A=∠P, AB=PO, ∠ABO=∠POQ=90°， .△ABO≌△POQ(ASA). ..BO=OQ. ,B处与O处之间的距离为100m, .河宽OQ=100m. 3.AE=DB, .AE+EB=DB+EB,即AB= DE. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， 、AB=DE, AC=DF, .'.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 4.(1)CA平分∠DCB, .∠ACB=∠ACD. 在△ABC和△ADC中， CB=CD, ∠ACB=∠ACD, AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SAS). (2)·∠EAC=45°， ∴.∠DAC=180°-∠EAC=180°- 45°=135 由(1)，得△ABC≌△ADC, .∠BAC=∠DAC=135. ∴.∠BAE=∠BAC-∠EAC= 135°-45°=90° 5.AE和BD相交于点O, ∴.∠AOD=∠BOE. :∠A=∠B, '.∠BEO=∠2. 27 又，∠1=∠2， ∴.∠1=∠BEO. ∴.∠1+∠AED=∠BEO+∠AED, 即∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中， ∠A=∠B AE=BE, ∠AEC=∠BED, ∴.△AEC≌△BED(ASA). 6.(1)△CBD≌△CAE. 理由：：∠ACB=∠DCE=90°， .∴.∠ACB+∠ACD=∠DCE+ ∠ACD,即∠BCD=∠ACE. 在△CBD和△CAE中， BC=AC, ∠BCD=∠ACE, DC=EC, ∴.△CBD≌△CAE(SAS). (2)AE⊥BD. 理由：设AE,CD交于点O, 由(1)，得△CBD≌△CAE, ∴.∠CDB=∠CEA. :∠AOD=∠COE, ∴.∠OAD=∠OCE=90° .AE⊥BD 7.:∠B=∠C=∠FDE=80°， ∠BDF+∠EDC.=100°， ∠BDF+∠BFD=100. ∴.∠EDC=∠DFB. 在△BFD和△CDE中， |∠B=∠C, ∠DFB=∠EDC, DF=ED, .∴.△BFD≌△CDE(AAS). .BF =CD=1.5 cm,BD =CE= 2 cm. .BC=BD+DC=2+1.5= 3.5(cm). 8.(1)∠BGE=∠BAG+ ∠ABG,∠BAC=∠BAG+∠CAF, ∠BAC=∠BGE, ∴.∠BAG+∠ABG=∠BAG+ ∠CAF. ∴.∠ABG=∠CAF. 又·∠EFC=∠CAF十∠ACF, ∠BAC=∠EFC, '.∠BAG+∠CAF=∠CAF+ ∠ACF. ∴.∠BAG=∠ACF. 在△ABG和△CAF中，