第13章 专题特训4 三角形中有关角的计算-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

12.(1)如图，延长CD交AB于 点G :∠BGD是△ACG的外角， ∴.∠BGD=∠A+∠C=56°+ 22°=78. ∠BDC是△BDG的外角， ∴.∠BDC=∠ABD+∠BGD. .BE平分∠ABD,∠EBD=23°， ∴.∠ABD=2∠EBD=46. ∴.∠BDC=46°+78=124. DF平分∠BIDC, 1 .∠BDF=2∠BDC=62: ,∠BDF是△BDE的外角， ∴.∠BDF=∠EBD+∠E. '.∠E=∠BDF-∠EBD=62° 23°=39°. F (第12题) 13.(1)95或80°. (2)BP,CP分别是∠ABC的“邻 BC三分线”和∠ACB的“邻CB三 分线”， ·∠PBC=3∠ABC,∠PCB= 日∠ACR 在△ABC中，∠ABC+∠ACB= 180°-∠A=180°-60°=120°， ·.∠PBC+∠PCB=3∠ABC+ 3∠ACB=号（∠ABC+∠ACB) 号×120=4. ∴.∠P=180°-（∠PBC+ ∠PCB)=180°-40°=140°. (3)①当BP是“邻BA三分线”，CP 是“邻CA三分线”时，如图①. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+, ÷∠PBC=号∠ABC=号W 2 3n, ∠PCD=号∠ACD=号(m+. 2 ,∠PBC+∠BPC=∠PCD, 号a+∠BC=号m+w. &∠BrC=号n ②当BP是“邻BC三分线”，CP是 “邻CD三分线”时，如图②. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+1, &∠Pc=寸∠ABc- 1 3n, ∠PCD=号∠ACD-号m+. :∠PBC+∠BPC=∠PCD, :子n+∠BPC=子(m+n). ∠BPC=3m. 1 ③当BP是“邻BA三分线”，CP是 “邻CD三分线"”时，如图③. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+I, ÷∠PBC=号∠ABC=号 、2 3n, ∠PCD=3∠ACD=子(m+. :∠PBC+∠BPC=∠PCD, 2 1 ·.3n+∠BPC=3(m+n),. 1 ∠BPC=3m-3u ④当BP是“邻BC三分线”，CP是 “邻CA三分线”时，如图④. :∠ACD=∠A+∠ABC=m+n, ·.∠PBC=3∠ABC= 1 3, ∠PCD= 2 ∠PBC+∠BPC=∠PCD, 2 3n+∠BPC=3(m+n). ·∠BPC=2 1 3m+3. 综上所述，∠BPC的度数为子m或 11 2 3m或3m-3n或行m+3 ① ② 19 ③ D ④ (第13题) 专题特训四三角形中有关 角的计算 1.B2.D3.27°4.180 5.(1),∠BEC=∠ABE+∠A, ∠A=62°，∠ABE=18°， .∠BEC=62°+18°=80. ,'∠CFE+∠BEC+∠ACD=180°， ∴.∠CFE=180°-∠BEC- ∠ACD=180°-80°-38°=62°. (2).·∠DFE=∠BEC+∠ACD, ∠BEC=∠A+∠ABE, ∴.∠DFE=∠ABE+∠A+ ∠ACD. 又：∠A=∠ABE+∠ACD, ∠DFE=∠BFC, ∴.∠DFE=2∠A 又∠A+∠DFE=210°， .3∠A=210 .∠A=70°. 6.A解析：，AD是边BC上的高， ∠ABC=60°，..∠BAD=30° ∠BAC=50°，AE平分∠BAC, 1 :∠BAE=2 ∠BAC=25 ∴.∠DAE=30°-25°=5°.∠C= 180°-∠ABC-∠BAC=70° .∠DAE+∠C=5°+70°=75. 7.C解析：如图①，当△ABC是锐 角三角形时，BD,CE是△ABC的 高，.∠ADB=∠BEC=90°.在 △ABD中，∠A=45, ∴.∠ABD=90°-45°=45. ∴.∠BHE=90°-45°=45. ∴.∠BHC=180°-∠BHE=135. 如图②，当△ABC是钝角三角形时， BD,CE是△ABC的高， ∴.∠AEC=∠BDC=90°.∴.∠A+ ∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD= 90°.，∠ACE=∠HCD, ∴.∠BHC=∠A=45.综上所述， ∠BHC的度数是135或45. ① D H ② (第7题) 8.48解析：由题意，得∠ABA,= ∠A1BC,∠ACA1=∠A1CD, '∠ABC+∠A=∠ACD, ∠A,BC+∠A,=∠A,CD= 合∠AD2ZA,度+2∠A, 2∠A1CD=∠ACD.∴.2∠A,BC+ 2∠A1=∠ABC+∠A=∠ACD. ∴.2∠A1=∠A.同理，可得2∠A2= ∠A1·∴.4∠A2=2∠A,=∠A. ∠A2,∠A,∠A的度数和为84， .∠A+∠A,+∠A2=4∠A2+ 2∠A2+∠A2=84..∠A2=12. ∴.∠A=4∠A2=4X12°=48. 9.(1)CD是△ABC的高， ∴.∠CDB=90. ∠ABC=64°，BE是△ABC的角 平分线， ·∠ABE=7∠ABC=X 1 64°=32°」 ∴.∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+ 32°=122 (2)∠A=80, ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 180°-80°=100° :BE,CD是△ABC的角平分线， 1 ·∠OBC=2∠ABC,∠OCB= 2∠ACB. ·∠OBC+∠OCB=号（∠ABC+ ∠ACB)-2X10=0 ∴.∠BOC=180°-（∠OBC+ ∠OCB)=180°-50°=130° 10.C 11.A解析：延长DC交AE于点 F.AB∥CD,∠BAE=92, ∴.∠EFC=∠BAE=92°， :∠DCE=∠EFC+∠E=115, .∴.∠E=∠DCE-∠EFC=115° 92°=23° 方法归纳 添加辅助线化分散为集中 当利用题目中的已知条件和 已有的图形不能解决问题时，往往 需要考虑添加辅助线，将不相关、 分散的条件进行转移与转化，构造 出一些基本的几何图形，搭建已知 和未知之间的桥梁 12.∠A=60°，∠F=45,∠B= ∠D=90° .∠C=90°-∠A=90°-60°=30， ∠DEF=90°-∠F=90°-45°=45. DE⊥BC, ∴.∠CED=90° ∴.∠CEH=∠CED+∠DEF= 90°+45°=135°. 在△CEH中，∠C=30°，∠CEH= 135°， ∴.∠CHE=180°-∠C-∠CEH= 180°-30°-135°=15. 13.A解析：如图，设DA'交AC于 点F.由折叠的性质，得∠A=∠A' ,∠BDA'=∠A+∠AFD, ∠AFD=∠A'+∠CEA', ∴.∠BDA'=∠A+∠A'+∠CEA. ∠A=a,∠CEA'=B,∠BDA'= y,∴.y=a+a+3=2a+3. A E D形F B (第13题) 14.(1)60 (2)3=2a解析：如图，连接AA'.由 折叠可知，∠BAC=∠DA'E=a, :∠1=∠DAA'+∠AA'D,∠2 ∠EAA'+∠AA'E,∴.∠1+∠2= 20 ∠DAA'+∠EAA'+∠DA'A+ ∠EA'A=∠BAC+∠DA'E= 2∠BAC=2a,即3=2a. B D A (第14题) 第13章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)设底边长为acm,则腰 长为2acm. ,这个等腰三角形的周长为18cm, 2u+2a十a=18,解得a=18 5 2a-05 三边长是9cm,的cm9cm (2)当4cm为腰长时，设底边长为 x cm. .4+4十x=18,解得x=10,此时， 三边长是4cm,4cm,10cm,不符合三 角形的三边关系，不能组成三角形. 当4cm为底边长时，设腰长为ycm. ∴.y十4+y=18,解得y=7,此时，三 边长是7cm,7cm,4cm,符合三角形 的三边关系. 综上所述，另两边长是7cm,7cm. [变式]B 典例2(1)如图，EF即为所求作. (2)AD为△ABC的中线，BE为 △ABD的中线， 1 .SaA=ZSAC,S△BE= 2S△Am. 1 ·SAmE=4S△ANc· '△ABC的面积为60，BD=5, x5EP=1×0 ∴.EF=6. B (典例2图)》 [变式]B拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 专题特训四三角形中有关角的计算 类型一利用三角形内、外角性质求角度 (2)若∠A+∠DFE=210°，且∠A= 1.(2025·芜湖一模)如图，在△ABC中，点E ∠ABE+∠ACD,求∠A的度数， 在CB的延长线上，过点E作ED⊥AB,交 AB于点D,交AC于点F,∠ABE=60°， ∠C=35°，则∠A的度数为 A.35°B.25 C.20°D.15 (第1题) (第2题) 2.一名运动员在冰面上滑出了如图所示的几何 图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度 数为 ) 类型二结合三角形角平分线、高求角度 A.360°B.270°C.240°D.180° 6.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高， 3.(2025·铜陵一模)如图，ABCD,点E在线 AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线. 段AD上（不与点A,D重合），连接CE.若 若∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠DAE+ ∠C=23°，∠AEC=50°，则∠BAD的度数是 ∠C的度数为 () A.75°B.80° C.85°D.90° (第3题 (第4题) B ED C (第6题) (第8题) 4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数 7.分类讨论思想在非直角三角形ABC 是 中，∠A=45°，高BD与CE所在的 5.(2024·淮北期中)如图，在△ABC中，D是 直线交于点H,则∠BHC的度数为 边AB上一点，E是边AC上一点，BE,CD 相交于点F A.45 B.125°或45 C.135°或45 D.135 8.(2024·六安舒城期末)如图，在△ABC中， ∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1, (第5题) ∠A1BC和∠A,CD的平分线交于点A2,若 (1)若∠A=62°，∠ACD=38°，∠ABE ∠A2,∠A1,∠A的度数和为84°，则∠A 18°，求∠CFE的度数. 54 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 9.(2024·安庆岳西段考)如图，在△ABC中， 类型四三角尺拼图中的求角度问题 BE是角平分线，点D在边AB上（不与点 12.把一副三角尺按如图所示的方式摆放， A,B重合)，CD与BE交于点O ∠B=∠D=90°，∠A=60°，∠F=45°， (1)若∠ABC=64°，CD是高，求∠BOC的 DE⊥BC,AC与EF交于点H,求∠CHE 度数. 的度数. (2)若∠A=80°，CD是△ABC的角平分线， 求∠BOC的度数. (第12题) (第9题) 类型五图形折叠中的求角度问题 13.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠， 使点A落在△ABC外的点A'处，折痕为 DE.如果∠A=a,∠CEA'=3,∠BDA'= 类型三与平行线性质结合求角度 Y,那么下列式子一定正确的是 () A.y=2a+3 B.y=a+23 10.(2024·蚌埠三模)如图，小明将一块直角三 C.Y=a+B D.y=180°-a-3 角尺摆放在直尺上，已知∠A=30°， A ∠ACB=115°，则∠DEF的度数是() E A.35°B.45°C.55° D.65 D B H (第13题) (第14题) 14.(2024·六安期中)如图，将三角形 (第10题) (第11题) 纸片ABC沿DE折叠，使点A落 11.*乐乐观看“抖空竹”表演时发现，可以将某 在点A'处，连接BA',CA',BA'平 一时刻的情形抽象成数学问题：如图，AB 分∠ABC,CA'平分∠ACB, CD,∠BAE=92°，∠DCE=115°，则∠E的 (1)若∠BA'C=120°，则∠A的度数为 度数为 () A.23 B.26 (2)若∠BAC的度数为a,∠1+∠2的度数 C.28° D.32° 为B,则α与B的数量关系是 55