湖北省团风中学2025-2026学年高三实验班上学期数学滚动测试卷（09.03）

团风中学2026届高三实验班数学滚动测试卷（2025-09-03） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知非空集合A、B、C满足：，．则（   ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 4．已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知且，且，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若， 均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则的最小值是 ． 13．已知函数，若，则的取值范围为 ． 14．已知函数，则函数存在 个极值点；若方程有两个不等实根，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 16．设函数是定义域为R的偶函数. (1)求p的值； (2)若在上最小值为，求k的值； (3)若不等式对任意实数x都成立，求实数m的范围. 17．已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 18．已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)证明：在上恒成立； (3)讨论方程在上的根的个数. 试卷第1页，共3页 《2025年9月3日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B B D B BD ACD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】根据给定条件，利用相等集合的定义，借助韦恩图判断即得. 【详解】，则，而，则，于是，因此， 由，同理得，从而，D正确； 非空集合A、B、C满足：，，作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图， 由图知，ABC错误，D正确. 故选：D 2．D 【分析】结合已知条件，利用一元二次不等式的解以及韦达定理求出和，进而求出的解，再利用必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】因为若不等式的解集为， 所以与3是方程的两个根，且， 由韦达定理可知，，， 所以可化为，解得． 由A，B，C，D四个选项中可知，只有选项D满足是的真子集， 从而成立的一个必要不充分条件是. 故选：D. 3．C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 4．B 【分析】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 5．B 【分析】函数为偶函数，有，代入函数解析式，化简得恒成立，则有． 【详解】由题意可知，，即， 所以，因为，所以恒成立，所以． 故选：B. 6．B 【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 7．D 【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可. 【详解】由题意得． 因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点． 当时，在上恒成立，不符合题意． 当时，令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 所以，则，即实数的取值范围是. 故选：D． 【点睛】方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤： （1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点； （2）求导，得函数的单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况，进而求解． 8．B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 9．BD 【分析】A选项，先得到，，进而构造，，求导后得到在上单调递增，进而得到，A错误； B选项，变形为，利用基本不等式进行求解； C选项，化简得到，根据基本不等式得到，从而得到，C错误； D选项，将式子变形得到，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为，且，所以，， A选项，构造，， 则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，A错误； B选项，因为， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，B正确； C选项，因为，所以 ， 其中，当且仅当时，等号成立， 但，故等号取不到，， 故，C错误； D选项，因为，所以 ， 因为，所以，故， 其中 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，D正确. 故选：BD 10．ACD 【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断. 【详解】对于A，由题，， 所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得， 故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 如图，由图象性质可知， 又由A得，故， 所以，故B错； 对于C，由上即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由和得即，二是数形结合明确零点的取值范围为且，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断. 11．BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 12．/． 【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． 13． 【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可. 【详解】由条件知，令， 则， 易知，即为奇函数， 又， 易知在时单调递减， 由复合函数的单调性及奇函数的性质得在R上单调递减， 对于， 所以. 故答案为：. 14． 4； 【分析】利用导数研究的单调性和极值，作出的图象；由关于的方程有两个不相等的实数根，得到函数与有一个交点，利用图象法求解． 【详解】对于函数． 当时，． 令，解得：或；令，解得：； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 而，；，． 当时，． 令，解得：；令，解得：； 所以在上单调递减，在上单调递增． 而；，，． 作出的图象如图所示： 所以函数存在4个极值点. 解关于的方程有两个不相等的实数根, 即关于的方程有两个不相等的实数根， 只有一个实数根，所以关于的方程有一个非零的实数根， 即函数与有一个交点，横坐标． 结合图象可得：或， 所以的取值范围是． 故答案为：4；. 15．【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 求导得，当且仅当时取等号， 即在上单调递减， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）当时，恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，则当时，， 令，依题意，，恒成立， 令，求导得，则函数在上单调递增， 当时，，因此， 所以实数m的取值范围. 16．【详解】（1）是偶函数，恒成立， 即恒成立，即， . （2）由（1）知， ，. 令，为增函数，，则， ，， 为对称轴为直线，开口向上的抛物线， ①当时，在递增，所以， ，（不合题意）， ②当时，， ，解得或（舍去）， 的最小值为-4时，的值为. （3）不等式，即， ，当且仅当x=1时等号成立. ， 令，，则，， 又对勾函数在上递增，，. 故实数m的取值范围为. 17．【详解】（1）由题意知：定义域为：且 令， ， 在上单调递减，在上单调递减 在上单调递减 又， ，使得 当时，；时， 即在上单调递增；在上单调递减 则为唯一的极大值点 即：在区间上存在唯一的极大值点. （2）由（1）知：， ①当时，由（1）可知在上单调递增     在上单调递减 又 为在上的唯一零点 ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又     在上单调递增，此时，不存在零点 又 ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，此时不存在零点 ③当时，单调递减，单调递减 在上单调递减 又， 即，又在上单调递减 在上存在唯一零点 ④当时，， 即在上不存在零点 综上所述：有且仅有个零点 18．【详解】（1）时，，定义域为，且， 所以函数是偶函数； （2）（ⅰ）当时，， 当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以， 的对称轴是， 当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是 当时，即，函数的最小值是，的最小值是， 综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是 （ⅱ）由题意可知，， ，，设，则， 函数的最小值是， 由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立， 当时，的最小值是，则 则，，则， 综上可知， 19．(1)当时，单调递减；当时，单调递增 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性即可； （2）令，先利用导数证明恒成立，即可证明在上恒成立； （3）由（2）可知在上的根的个数即方程的根的个数，令，利用导数求的单调性进而得到的范围即可求解. 【详解】（1）由题意当时，则， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． （2）先证明对任意，， 令，， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，即， 故对任意成立，且当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以在上恒成立． （3）由（2），在上恒成立，当且仅当时等号成立， 也即的根为的根，下讨论方程的根的个数， 化简得，令，则， 令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又，且当时，，时，， 故当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根， 综上所述当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $