湖北省黄冈市团风中学2025-2026学年高三上学期数学周考试卷（08.11）

高三数学周考试卷（2025.08.11） 一、单选题 1．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 5．函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，在上的导函数分别为，，且，，则当时，下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列有关最值的结论中，正确的是（    ） A．已知，则函数的最大值为0 B．已知，，则的最小值为8 C．已知，，则的最大值为4 D．已知，为实数，则的最大值为 11．（多选）已知，对，不等式成立，则的可能取值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 12．已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为 . 13．已知，则 ． 14．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为 ． 四、解答题 15．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 16．已知函数． (1)求函数的值域； (2)若，求的值． 17．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求证：在R上为增函数 (2)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 18．在中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高的长． 19．已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 试卷第1页，共3页 《高三数学周考试卷A组（2025.08.11）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A C A B C AC BCD 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 2．C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 3．C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 4．A 【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积. 【详解】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 5．C 【分析】利用函数的奇偶性可将不等式转化为，再利用单调性去掉，解不等式即可求解. 【详解】因为为奇函数，且，所以， 所以等价于， 由函数在上单调递减，可得， 解得：， 所以满足的的取值范围是， 故选：C. 6．A 【分析】将和平方后相加，结合已知值，建立方程求解. 【详解】令①， ∵②， 由①2＋②2，得， 又，∴． ∵，∴t＞0，∴． 故选：A. 7．B 【分析】由题可得，即，通过研究函数可得，然后通过研究， 可得，据此可得答案. 【详解】由题可得，其中，. ，则在上单调递减，从而. 则，其中. 令，则，. 令，， ， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而. 令，， 令，， 则在上单调递减，在上递增， 从而. 则. 故选：B 8．C 【分析】构造函数，求导，即可根据单调性求解. 【详解】由题可知，的正负无法判断，所以与0的关系无法判断，故AD错误； 设，，所以在单调递增， 因为，所以，所以当时，， 即，B错误，C正确． 故选：C 9．AC 【分析】对A：，化简即可判断；对B：，化简即可判断；对C：，结合对数函数性质化简即可判断；对D：即可判断. 【详解】对于A： 对，，恒成立. 左右平方得，化简得，显然恒成立，故A正确. 对B：对，，恒成立. 化简得显然不恒成立，故B不正确； 对于C，对，，恒成立 由在上单调递增，故， 化简可得，显然对恒成立，故C正确； 对D：， ，即，故D错误. 故选：AC. 10．BCD 【分析】利用基本不等式验证各选项的最值即可. 【详解】对于A，，则， ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，由，，得，且，， ， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，，由，得， 解得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，显然要取到最大值，必有， 此时， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛，本题各个选项均是求代数式的最值，所以考虑利用基本不等式求最值.基本不等式中最核心的点在于构造出定值，对代数式进行合理整理化简求得定值是本题的关键. 11．AB 【分析】通过构造辅助函数，再通过导数分析函数找零点，把导数符号判断转化为零点存在性分析，再结合零点的取值范围和题中条件，即可解出. 【详解】由题意可得，时，恒成立. 由，，即， 令，其， 令，其，所以在上单调递增， 又，所以在上存在唯一的零点且. 故在上也存在唯一的零点为. 当时，，当时，，即， 由，可得，所以，， 由（*）式等价于，又，所以或. 故选：AB. 12． 【分析】由命题为假命题，可得命题为真命题，根据恒成立问题即可求出实数的取值范围. 【详解】若命题为假命题，则命题为真命题， 即对恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13． 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，求得，由是函数上的极值，得到，求得或，分类讨论，结合函数的单调性和极值点的概念，进行判断，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点，可得， 即，解得或， 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在区间上单调递增，在区间单调递减， 此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得；令，解得或， 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 此时，在处函数取得极大值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 16．(1) (2) 【分析】（1）利用切化弦与二倍角公式，以及辅助角公式，化为正弦型函数，根据x的取值范围求的范围即得； （2）根据三角恒等变换和二倍角公式，利用同角的三角函数关系，求解即可． 【详解】（1）＝ ＝＝＝， 因为，所以，所以， 即函数的值域为. （2）由，， 得， 所以 ＝. 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在上为增函数； （2）因为，化简可得，根据根据已知条件可以得出及在上为增函数，可得对任意的恒成立，令，只需满足即可,利用二次函数的单调性，即可求出结果． 【详解】（1）任取，，且，则，. ， ， 在上为增函数. （2），即， ， ， ∴(已知), ∴，. 又在上为增函数， 对任意的恒成立. 令，只需满足即可 当，即时，在上递增，因此， 由得，此时； 当，即时，，由得，此时. 综上，实数a的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解. 【详解】（1）由结合正弦定理可得 因为，则 所以． 则有故． （2）由得 因，所以 由余弦定理得 所以，解得 所以 ． 19．(1) (2)和 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【详解】（1）由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. （2）因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $