7.3第1课时组合、组合数公式同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

7.3　组合 第1课时　组合、组合数公式 一、基础达标 1.下列问题中,组合问题的个数是(　　) ①从全班50人中选出5人组成班委会; ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员; ③从1,2,3,…,9中任取出两个数求积; ④从1,2,3,…,9中任取出两个数求差或商. A.1 B.2 C.3 D.4 2.某新农村社区共包括n个自然村,假设这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在同一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为28,则n=(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 3.(多选题)下列四个命题中,真命题为(　　) A. B. C. D. 4.已知x∈N,则方程的解是　　　　　.  5.若,则n的取值集合是　　　　　.  6.(2023新高考Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).  7.(1)已知(m≠1),计算:; (2)求证:. 8.如图,某区有7条南北向街道、5条东西向街道. (1)图中有多少个矩形? (2)从A点走向B点最短的走法有多少种? 二、能力提升 9.已知,则n等于(　　) A.14 B.12 C.13 D.15 10.由可得的结果是(　　) A.46或20 B.20 C.36 D.46 11.(多选题)已知正整数m,n满足不等式n>m>1,则下列结论正确的是(　　) A. B. C.=n D.+m 12.甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行,每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方,且两组去的地方不同.已知甲不想去云南丽江,乙只想去广西桂林,其余4人这4个地方都想去,则符合他们心意的分组旅行的方案种数为(　　) A.24 B.30 C.18 D.36 13.近年来,中小学校车安全问题引起社会的广泛关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为(　　) A. B. C. D. 14.若x=4,则x的值为　　　　　.  15.不等式-n<5的解集为　　　　　.  16.解方程: (1). (2). 17.求证:+2. 三、拓展探究 18.规定,其中x∈R,m是正整数,且=1,这是组合数(n,m∈N*,且m≤n)的一种推广. (1)求的值. (2)设x>0,当x为何值时,取得最小值? (3)组合数的两个性质①,②是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由. 参考答案 1.B　对于①,从50人中选出5人组成班委会,不考虑顺序,是组合问题.②为排列问题.对于③,从1,2,3,…,9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律,而减法和除法不满足,故④为排列问题.所以组合问题的个数是2.故选B. 2.B　由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建=28,因此n=8. 3.ABC　,A为真命题;=56+28=84=,B为真命题;,C为真命题;,D为假命题.故选ABC. 4.1或2　因为,x∈N,所以由组合数的性质得x=2x-1或5-x=2x-1,解得x=1或x=2,故答案为1或2. 5.{6,7,8,9}　因为,所以所以解得因为n∈N*,所以n=6,7,8,9.所以n的取值集合为{6,7,8,9},故答案为{6,7,8,9}. 6.64　(1)当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有=16(种). (2)当从8门课中选修3门, ①若选修体育类1门,艺术类选修2门,则不同的选课方案共有=24(种). ②若选修体育类2门,艺术类选修1门,则不同的选课方案共有=24(种). 综上所述,不同的选课方案共有16+24+24=64(种). 7.解 (1)因为(m≠1),则m+3m-2=6,解得m=2,经验证符合题意,所以=126. (2)因为,所以成立. 8.解 (1)在7条南北向街道中任选2条、5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有=210(个). (2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法包括10段,其中6段是走东西方向的,剩下4段即走南北方向的,共有=210种走法. 9.A　由题意得,即,所以7+8=n+1,n=14.故选A. 10.A　因为所以7≤x≤9,且x∈N*,所以x=7,8,9.当x=7时,=46;当x=8时,=20;当x=9时,=46.故A对. 11.ACD　选项A,等号左边=,等号右边=,等号左边=等号右边,A正确.选项B,等号左边=,等号右边=,B错误.选项C,等号左边=,等号右边=n,等号左边=等号右边,C正确.选项D,等号左边=+m,等号右边=,等号左边=等号右边,D正确.故选ACD. 12.A　若甲和乙都去广西桂林,则有=12种方案;若甲不去广西桂林,则有=12种方案.故符合他们心意的分组旅行的方案种数为12+12=24.故选A. 13.D　首先每所学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台.将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,将9个挡板插入到这39个空中,故不同的方案种数为. 14.4　由题设,x2+x(x-1)(x-2)=,x≥3,整理得x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,可得x=2或x=4,又x≥3,故x=4.故答案为4. 15.{2,3,4}　由-n<5,得-n<5,所以n2-3n-10<0,解得-2<n<5.由题设条件知n≥2,且n∈N*,所以n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}. 16.解 (1)∵,∴可化为,化简为1-,即m2-23m+42=0, ∴m=21或m=2. 又∵m∈N*,m≤5,∴m=2. (2)由组合数的性质可得,所以由,可得,进而可得⇒x(x-1)=30,解得x=6或x=-5,由于所以x≥3,故只取x=6,x=-5舍去. 17.证明 由组合数的性质可知, 右边=()+()==左边,所以原等式成立. 18.解 (1)=1 365. (2)因为[2()2-3·+1],当,即x=时,取得最小值,最小值为-. (3)性质①不能推广,例如有意义,无意义. 性质②能推广,它的推广形式为(x∈R,m是正整数). 证明如下:当m=1时,=x+1=; 当m≥2时, = =+1] =. 7 学科网（北京）股份有限公司 $