7.1第1课时分类计数原理与分步计数原理同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

7.1　两个基本计数原理 第1课时　分类计数原理与分步计数原理 一、基础达标 1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有(　　) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 2.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是(　　) A.15 B.12 C.5 D.4 3.有不同的语文书9本、不同的数学书7本、不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　　) A.21种 B.315种 C.153种 D.143种 4.算盘是中国古代的一项重要发明,迄今已有2 600多年的历史.现有一算盘,取其两档(如图1),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图2算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为(　　) 图1 图2 A.6 B.8 C.10 D.15 5.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.“将2封信随意投入4个邮箱,求不同的投法有多少种”是一个分步计数问题 B.“在1,2,…,200中,求能够被5整除的数的个数”是一个分类加法计数问题 C.某一数学问题有两种解法,有4名同学只会第一种解法,有3名同学只会第二种解法,从这些同学中任选1人解答这个问题,不同的选法有12种 D.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有36个 6.为了进一步做好社区老人体检工作,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长,则有　　　　　种不同的选法.  7.如图所示的电路图,从A到B共有　　　　　条不同的线路可通电.  8.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”,求上述四位数中“渐降数”的个数. 9.5名学生报名参加数学、生物、计算机三项比赛,求: (1)若每人限报一项,不同的报名方法有多少种; (2)若5名学生都参加了三项比赛,且最后的冠军从这5名学生中产生(不存在并列的情况),则冠军的归属情况有多少种可能. 二、能力提升 10.踢球时甲、乙、丙三人互相传递,由甲开始传球,经过3次传递后,球又被传回到甲,则不同的传递方式共有(　　) A.6种 B.8种 C.2种 D.4种 11.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有(　　) A.8种 B.9种 C.10种 D.11种 12.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(　　) A.24种 B.36种 C.42种 D.60种 13.(多选题)已知有4位同学报名参加三个不同的社团,则下列说法正确的是(　　) A.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有34种 B.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有43种 C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有24种 D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有33种 14.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有　　　　　条.  15.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个. 16.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象(如图),结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数(图中白圈为阳数,黑点为阴数).现利用阴数和阳数构成一个四位数,规则如下:(从左往右数)第一位数是阳数,第二位数是阴数,第三位数和第四位数一阴一阳和为7,则这样的四位数有　　　　　个.  三、拓展探究 17.如图,一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线,则从数字“1”移到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 18.(多选题)我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号:“——”和“”,其中“——”在二进制中记作“1”,“”在二进制中记作“0”,其转化原理与“逢二进一”的法则相通,如符号“”对应的二进制数011(2)转化为十进制数的计算为011(2)=0×22+1×21+1×20=3.若从两类符号中任取2个符号排列,则组成的十进制数可以为(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 参考答案 1.C　完成该任务可分为4类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第1个入口进入时,有3种行车路线;同理,从第2个、第3个、第4个入口进入时,都分别有3种行车路线,由分类计数原理,可得共有3+3+3+3=12种不同的行车路线.故选C. 2.A　当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.根据分类计数原理,共有6+5+4=15个不同的有序自然数对. 3.D　由题意,选一本语文书和一本数学书有9×7=63种不同的选法,选一本数学书和一本英语书有7×5=35种不同的选法,选一本语文书和一本英语书有9×5=45种不同的选法,根据分类计数原理,共有63+35+45=143种不同的选法.故选D. 4.B　拨动两枚算珠可分为以下三类:(1)在个位上拨动两枚,可表示2个不同整数.(2)同理在十位上拨动两枚,可表示2个不同整数.(3)在个位、十位上分别拨动一枚,由分步计数原理易得,可表示2×2=4个不同整数.所以,根据分类计数原理,一共可表示2+2+4=8个不同整数.故选B. 5.ABD　2封信需分2步随意投入4个邮箱,只有当2步都完成才算完成,是一个分步计数问题,故A正确;能够被5整除的数可分成末位数字是0和5两类,是一个分类计数问题,故B正确;由分类计数原理,共有4+3=7种选法,故C错误;∵a,b互不相等且a+bi为虚数,∴b只能从{1,2,3,4,5,6}中选一个,有6种选法,a从剩余的6个中选一个,也有6种选法,∴根据分步计数原理,知虚数有6×6=36(个).故D正确. 6.30　首先从6人中选1人担任组长,共有6种不同的选法;然后从剩余5人中选1人担任副组长,共有5种不同的选法.根据分步计数原理,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6×5=30种不同的选法. 7.8　分3类:第1类,经过支路①有3种方法;第2类,经过支路②有1种方法;第3类,经过支路③有2×2=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8. 8.解 分3类: 第1类,千位数字为3时,要使四位数为“渐降数”,则四位数只能为3 210,共1个; 第2类,千位数字为4时,“渐降数”有4 321,4 320,4 310,4 210,共4个; 第3类,千位数字为5时,“渐降数”有5 432,5 431,5 430,5 421,5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210,共10个. 由分类计数原理,得共有1+4+10=15个“渐降数”. 9.解 (1)每名学生都可以报三项中的一项,故每名学生有3种报名的方法,5名学生报名的方法有3×3×3×3×3=243(种). (2)由于冠军只有一名,且从5名学生中产生, 所以每项比赛的冠军归属有5种可能, 故最后冠军归属的可能情况有5×5×5=125(种). 10.C　经过3次传到甲,必定经过2次传到乙或丙,且经过2次传到乙或丙的方式种数相等,经过2次传到乙有“甲—丙—乙”1种方式,经过2次传到丙有“甲—乙—丙”1种方式,所以经过3次传到甲共有2种传递方式.故选C. 11.B　设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的方法.由分类计数原理,得监考方法共有3+3+3=9(种). 12.D　把3个项目分配到4个体育馆,所有方案共有4×4×4=64(种),其中,3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方案,故满足条件的分配方案有64-4=60(种). 13.AC　对于A选项,第1个同学有3种报法,第2个同学有3种报法,后面的2个同学也有3种报法,根据分步计数原理共有34种结果,A正确,B错误;对于C选项,每个社团限报一个人,则第1个社团有4种选择,第2个社团有3种选择,第3个社团有2种选择,根据分步计数原理共有4×3×2=24种结果,C正确,D错误.故选AC. 14.18　第1步取A的值,有5种取法.第2步取B的值,有4种取法,其中A=1,B=2时的直线方程与A=2,B=4时的直线方程是相同的;A=2,B=1时的直线方程与A=4,B=2时的直线方程是相同的,故最多有5×4-2=18条不同的直线. 15.40　满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个).所以满足条件的三角形共有8+32=40(个). 16.120　据题意,阳数为:1,3,5,7,9,阴数为:2,4,6,8.第一位数的选择有5种,第二位数的选择有4种,第三位数和第四位数可以的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共有6种选择,根据分步计数原理,这样的四位数共有5×4×6=120个.故答案为120. 17.B　由题意,得从数字“1”移到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为以下6条:1,2,4,5,7;1,2,4,6,7;1,2,3,5,7;1,3,4,5,7;1,3,4,6,7;1,3,5,6,7. 18.AB　根据题意,从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类:由两个“——”组成,二进制数为11(2),转化为十进制数,为1×21+1×20=3;第二类:由两个“”组成,二进制数为00(2),转化为十进制数,为0×21+0×20=0;第三类:由一个“——”和一个“”组成,二进制数为10(2)或01(2),转化为十进制数,为1×21+0×20=2或0×21+1×20=1.所以从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选AB. 6 学科网（北京）股份有限公司 $