第16讲 幂的运算讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

第16讲 幂的运算 【人教版2024】 【知识点1 同底数幂的乘法】 运算法则：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数） 拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = （a+b)m+n（m，n为正整数）. 同底数幂的乘法技巧 ①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算； ②逆用法则： am+n =am×an 【典题练习】 【例1】计算： (1)； (2)． 【练1.1】已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 【练1.2】计算： (1)； (2)． 【知识点2 幂的乘方】 运算法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数 拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数. ((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数. 【典题练习】 【例2】已知，则“”内填（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【练2.1】（   ） A． B． C． D． 【练2.2】若为正整数，，求的值． 【知识点3 积的乘方】 运算法则 积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。 拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。 【典题练习】 【例3】计算：． 【练3.1】计算：． 【练3.2】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【能力闯关】 【基础关】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．36 3．已知，那么a、b、c之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 4.若，为正整数，则 ． 5．若，，则的值为 ． 6.计算： (1)； (2)． 7.计算： (1)； (2)； (3) (4) 【能力关】 8.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9.已知，，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．20 10.请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 11.计算： (1)若，求的值； (2)已知．求m的值． 12.如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 幂的运算 【人教版2024】 【知识点1 同底数幂的乘法】 运算法则：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数） 拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = （a+b)m+n（m，n为正整数）. 同底数幂的乘法技巧 ①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算； ②逆用法则： am+n =am×an 【典题练习】 【例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘， 对于（1），根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可； 对于（2），先整理，再根据同底数幂相乘法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【练1.1】已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的法则的逆向运用是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，将化简为，再代入计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：C． 【练1.2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）首先将转化为与其相等的，然后利用单项式乘以单项式的运算法则求解即可； （2）根据题意把相同底数确定为或，然后利用同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：方法一：把相同底数确定为． ； 方法二：把相同底数确定为． ． 【知识点2 幂的乘方】 运算法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数 拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数. ((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数. 【典题练习】 【例2】已知，则“”内填（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键． 根据幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解： ， ，解得：“”内填． 故选：D． 【练2.1】（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据幂的乘法法则，同底数幂相乘时，底数不变，指数相加．每个因式均为，共有个这样的因式相乘，因此总指数为累加次，即．因此，原式可化简为． 【分析】解：A． ：错误，指数应为而非，且系数应为1而非． B． ：错误，指数应为相加而非相减． C． ：正确，符合幂的乘法法则． D． ：错误，混淆了指数与系数的运算． 故选：C 【练2.2】若为正整数，，求的值． 【答案】50 【分析】本题考查了幂的乘方和幂的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先由幂的乘方运算法则将化为，再由幂的乘方逆运算将其化为，再代入求值即可． 【详解】解： ． 【知识点3 积的乘方】 运算法则 积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。 拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。 【典题练习】 【例3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 【练3.1】计算：． 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查积的乘方，单项式乘单项式．熟练掌握积的乘方，单项式乘单项式的运算法则，是解题的关键． 【练3.2】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用乘方的定义得出 ，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： , 故选：A． 【能力闯关】 【基础关】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．若，，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式的逆应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 3．已知，那么a、b、c之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据得，可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 4.若，为正整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，积的乘方，将所运算的式子变形为，最后结合积的乘方的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方展开，然后整体代入计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算，然后合并同类项； （2）利用同底数幂的乘法和积的乘方运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 7.计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的四则运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方运算法则， （1）先计算同底数幂的乘法及幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可； （4）利用幂的乘方运算法则计算，再利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【能力关】 8.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，根据题意可得，再结合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵a，b是正整数，且满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9.已知，，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂乘法和幂的乘方．逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：D 10.请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 11.计算： (1)若，求的值； (2)已知．求m的值． 【答案】(1)81 (2)2 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）易得，利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方，再利用同底数幂的乘法法则进行计算，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 12.如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $