16.3 乘法公式 同步练习　 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

16.3.1 平方差公式 【基础堂清】 知识点1　用面积法证明平方差公式 1.如图1,从边长为a的大正方形中挖去一个边长为b的小正方形,小明将图1中的阴影部分拼成了一个如图2所示的长方形,这一过程可以验证的公式为　 　.  知识点2　平方差公式 2.(中考真题改编)计算:(a+1)(a-1)= ( ) A.a2+1　　　　　　 B.a2-1 C.a2　　　　　　 D.a2+a-1 3.下列各式不能用平方差公式计算的是 ( ) A.(a+2b)(a-2b)　　　　　　 B.(a-b)(-a-b) C.(a-b)(b-a)　　　　　　 D.(b-2a)(2a+b) 4.课堂上,老师让同学们计算(2m+n)(2m-n)-m(4n-1).下面是小方的解题过程.请你作为小老师对其进行评价,判断其是否正确.如果有错误,请写出正确的解题过程. (2m+n)(2m-n)-m(4n-1) =2m2-n2-4m2-m =-2m2-n2-m. 【能力日清】 5.两个连续奇数的平方差是 ( ) A.6的倍数　　　　　　B.8的倍数 C.12的倍数　　　　　　D.16的倍数 6.简便运算: (1)1×. (2)2 0242-2 023×2 025. 7.我们规定:若实数a与b的平方差等于80,则称实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”. (1)若P(a,b)为“双曲点”,则a,b应满足的等量关系为　 　.  (2)在点A(8,4),B(-12,8),C(21,19),D(40,4)中,是“双曲点”的有　 　(填字母).  (3)若N(x+5y,5y-x)是“双曲点”,求xy的值. 【素养提升】 8.在学完平方差公式后,小滨出示了一串呈“数字链”的计算题:(2+1)(22+1)·(24+1)(28+1). 小梅根据算式的特点,结合平方差公式,发现:只要在算式最前面添上一个“引线”——数字1,就可用平方差公式,像点鞭炮一样依次“点燃”整个“数字链”. (1)请根据小梅的思路,求出这个算式的值. (2)计算:+(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)·(316+1). 参考答案 1.a2-b2=(a+b)(a-b) 2.B　3.C 4.解:错误,正确的解题过程如下: (2m+n)(2m-n)-m(4n-1)=4m2-n2-4mn+m. 5.B 6.解:(1)原式=1+×1-=12-2=. (2)原式=2 0242-(2 024-1)×(2 024+1) =2 0242-2 0242+1=1. 7.解:(1)a2-b2=80. (2)B,C. (3)∵N(x+5y,5y-x)是“双曲点”, ∴(x+5y)2-(5y-x)2=80, ∴20xy=80, ∴xy=4. 8.解:(1)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1. (2)原式=+(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) =+(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) …… =+(332-1) =×332. 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2 课时2 添括号 【基础堂清】 知识点1　添括号法则 1.在(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a+(　)][a-(　)]中,小括号内依次应填入 ( ) A.3c-2b,3c-2b　　　 B.3c+2b,3c+2b C.2b-3c,2b-3c 　　　　　　 D.2b-3c,2b+3c 2.不改变式子a2-(2a+b+c)的值,把它括号前的符号变为相反的符号,应为 ( ) A.a2+(-2a+b+c) B.a2+(-2a-b-c) C.a2+(-2a)+b+c D.a2-(-2a-b-c) 知识点2　添括号与乘法公式的综合应用 3.在运用乘法公式计算(3a-2b-c)2时,下列变形正确的是 ( ) A.[(3a-2b)+c]2 B.[3a+(2b-c)]2 C.[3a-(2b+c)]2 D.[3a+(-2b+c)]2 4.填空:(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(　 　)][x-(　 　)]=x2-(　 　)2.  【能力日清】 5.运用乘法公式计算. (1)(a-2b-3c)2. (2)(3a+b-c)(3a-b-c). (3)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2. 6.已知y+2x=1,求(y+1)2-(y2-4x)的值. 7.试利用两数和的平方公式推出(a+b+c)2的结果,并画出图形,用图形的面积可以说明这一结论的含义. 【素养提升】 8.若x+y=6,且(x+2)(y+2)=24. (1)求xy的值. (2)求x2+y2的值. (3)求x4+y4的值. 参考答案 1.A　2.B　3.C 4.2y-3　2y-3　2y-3 5.解:(1)原式=(a-2b)2-2×(a-2b)×3c+9c2 =a2+4b2-4ab-6ac+12bc+9c2 =a2+4b2+9c2-4ab-6ac+12bc. (2)原式=(3a-c)2-b2=9a2-6ac+c2-b2. (3)原式=[(x-z)+2y][(x-z)-2y]-(x2+y2+z2+2xy-2xz-2yz) =(x-z)2-4y2-x2-y2-z2-2xy+2xz+2yz =-5y2-2xy+2yz. 6.解:原式=y2+2y+1-y2+4x =2y+4x+1=2(y+2x)+1. 当y+2x=1时,原式=2×1+1=3. 7.解:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 图形如图所示. 8.解:(1)∵(x+2)(y+2)=24, ∴xy+2x+2y+4=24, 即xy+2(x+y)=20. ∵x+y=6, ∴xy=20-2×6=8. (2)∵x+y=6,xy=8, ∴x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×8=20. (3)∵x2+y2=20,xy=8, ∴x4+y4=(x2+y2)2-2(xy)2=202-2×82=272. 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2 课时1 完全平方公式 【基础堂清】 知识点1　完全平方公式的几何意义 1.如图1,这是一个长为2x,宽为2y的长方形纸片(x>y),沿长方形纸片的两条对称轴剪开,得到四块形状和大小都相同的小长方形,拼成如图2所示的一个正方形,则中间空白部分的面积是 ( ) A.xy　　　　　　 B.(x+y)2 C.(x-y)2　　　　　　 D.x2-y2 知识点2　运用完全平方公式计算 2.计算(a+2b)2的结果是 ( ) A.a2+4b2　　　　　　 B.a2+2ab+2b2 C.a2+4ab+2b2　　　　　　 D.a2+4ab+4b2 3.若(x+3)2=x2+mx+n,则m=　 　,n=　 　.  4.已知(m-n)2=48,(m+n)2=4 000,则m2+n2的值为　 　,mn的值为　 　.  【能力日清】 5.(中考真题)化简:(x-2y)2-x(x-4y). 6.已知a-b=2,ab=3,求(a+b)2的值. 7.简便运算:(1)2012. (2)9.82. 【素养提升】 8.将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形后,可以解决很多的数学问题. 如:若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值. 解题思路:由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab, 可设9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5, ∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. (1)请仿照上面的方法求解下面问题: ①若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)2的值; ②若x满足(9+x)(2+x)=4,求(9+x)2+(2+x)2的值. (2)应用上面的解题思路解决问题:如图,C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,AB=6,两正方形的面积和S1+S2=18,求图中阴影部分的面积. 参考答案 1.C　2.D 3.6　9 4.2 024　988 5.解:原式=x2-4xy+4y2-x2+4xy=4y2. 6.解:∵a-b=2,ab=3, ∴(a+b)2=(a-b)2+4ab =22+4×3=4+12=16. 7.解:(1)原式=(200+1)2 =40 000+400+1 =40 401. (2)原式=(10-0.2)2 =100-4+0.04 =96.04. 8.解:(1)①设5-x=a,x-2=b, 则(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3, ∴(5-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5. ②设9+x=a,2+x=b, 则(9+x)(2+x)=ab=4,a-b=(9+x)-(2+x)=7, ∴(9+x)2+(2+x)2=a2+b2=(a-b)2+2ab=72+2×4=57. (2)设AC=a,BC=CF=b. ∵AB=6,两正方形的面积和S1+S2=18, ∴a+b=6,a2+b2=18. ∵a2+b2=(a+b)2-2ab, ∴18=36-2ab,∴ab=9, ∴S阴影部分=ab=. 学科网（北京）股份有限公司 $