2.2切线长定理 同步课堂讲义2024-2025学年浙教版九年级数学下册

本讲义聚焦初中数学“切线长定理”及其延伸内容，以切线长定义为起点，层层递进至切割线定理，再通过三大典型题型——周长问题、求解计算与几何证明，构建完整的知识支架体系，帮助学生从直观感知走向逻辑推理。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出数学眼光中的几何直观与空间观念，如在【题型1】中引导学生观察动点切线构造的对称性，发现周长恒定规律；强化数学思维中的推理能力，在【题型3】证明题中要求学生基于切线长定理进行多步演绎，形成严谨逻辑链；体现数学语言的应用意识，如【举一反三5】第（2）问用角度关系表达圆外切图形的内在结构。课中便于教师分层讲解，课后可作为学生自主复习与查漏补缺的重要资源，尤其适合用于课堂练习与作业拓展。

2.2切线长定理 讲解目录 【知识点1】切线长定理 1 【知识点2】切割线定理 1 【题型1】应用切线长定理解决周长问题 2 【题型2】应用切线长定理求解 3 【题型3】应用切线长定理证明 5 知识讲解 【知识点1】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【知识点2】切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线                ∴PT的平方=PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线        ∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD． 题型专练 【题型1】应用切线长定理解决周长问题 【典型例题】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（　 　） A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm 【举一反三1】如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PDE的周长为（　 　） A.10 B.12 C.16 D.20 【举一反三2】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的另一条切线分别相交于D、C两点，已知PA＝7，则△PCD的周长＝　   　． 【举一反三3】已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长． 【举一反三4】如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝8cm，求：△PEF的周长． 【题型2】应用切线长定理求解 【典型例题】如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　） A. B. C.5 D.5 【举一反三1】如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（　　） A.70° B.90° C.60° D.45° 【举一反三2】如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　） A.5 B.10 C.7.5 D.4 【举一反三3】如图，过⊙O外一点A引切线AB、AC，B、C为切点，若∠BAC＝60°，BC＝8cm，则⊙O的直径是　　cm． 【举一反三4】为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是 　　cm． 【举一反三5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 【题型3】应用切线长定理证明 【典型例题】如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.只有①② C.只有①②④ D.只有③④ 【举一反三1】如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（　　） A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70° 【举一反三2】切线长定理： 从圆　 　一点可以引圆的　 　条切线，它们的切线长　  　．这一点和圆心的连线　  　这两条切线的　   　角． 即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA　 　PB，PO平分∠　   　． 【举一反三3】直线PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，且∠APB＝120°，⊙O的半径为4cm，则切线长PA为　　cm． 【举一反三4】证明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【举一反三5】求证：圆外切四边形的对边之和相等． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2切线长定理 讲解目录 【知识点1】切线长定理 1 【知识点2】切割线定理 1 【题型1】应用切线长定理解决周长问题 2 【题型2】应用切线长定理求解 5 【题型3】应用切线长定理证明 9 知识讲解 【知识点1】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【知识点2】切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线                ∴PT的平方=PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线        ∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD． 题型专练 【题型1】应用切线长定理解决周长问题 【典型例题】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（　 　） A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm 【答案】C 【解析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA＝EC，FC＝FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于PA+PB． ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PB＝PA＝10cm， ∵EA与EC为⊙的切线， ∴EA＝EC， 同理得到FC＝FB， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF ＝PE+EA+FB+PF ＝PA+PB ＝10+10 ＝20（cm）． 故选：C． 【举一反三1】如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP＝10，则△PDE的周长为（　 　） A.10 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【解析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，从而求解． ∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点， ∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥AP． 在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8， ∴△PDE的周长为2AP＝16． 故选：C． 【举一反三2】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的另一条切线分别相交于D、C两点，已知PA＝7，则△PCD的周长＝　   　． 【答案】14cm 【解析】设CD与⊙O相切于E，根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝7cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到DA＝DE，CE＝CB，然后三角形周长的定义得到△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DE+CE+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB． 设CD与⊙O相切于E， ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PB＝PA＝7cm， ∵DA与DE为⊙的切线， ∴DA＝DE， 同理得到CE＝CB， ∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DE+CE+PC ＝PD+DA+CB+PC ＝PA+PB ＝7+7 ＝14（cm）． 故答案为14cm． 【举一反三3】已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴OA⊥AD，OB⊥BC， ∵OA，OB是半径， ∴AF、BP都是⊙O的切线， 又∵PF是⊙O的切线， ∴FE＝FA，PE＝PB， ∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6． 【举一反三4】如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝8cm，求：△PEF的周长． 【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点， ∴PA＝PB，EA＝EQ，FB＝FQ， ∵PA＝8cm， ∴△PEF的周长为：PE+EF+PF＝PA+PB＝8+8＝16（cm）． 【题型2】应用切线长定理求解 【典型例题】如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　） A. B. C.5 D.5 【答案】C 【解析】根据切线长定理求得PA=PB，从而判断得△PAB为等边三角形即可求解. 解：∵PA，PB为⊙O的两条切线， ∴PA＝PB， ∵∠APB＝60°， ∴△PAB为等边三角形， ∴AB＝PA＝5， 故选：C． 【举一反三1】如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（　　） A.70° B.90° C.60° D.45° 【答案】B 【解析】由于AD、DC、CB都是⊙O的切线，根据切线长定理知：∠ADO＝∠CDO，∠DCO＝∠BCO；而AD∥BC，则2∠ODC和2∠OCD互补，由此可求得∠DOC的度数． ∵DA、CD、CB都与⊙O相切， ∴∠ADO＝∠ODC，∠OCD＝∠OCB； ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°； ∴∠ODC+∠OCD＝（∠ADC+∠BCD）＝×180°＝90°，即∠DOC＝90°； 故选：B． 【举一反三2】如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　） A.5 B.10 C.7.5 D.4 【答案】A 【解析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AF的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝5，可求出AF的长． 设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9﹣x，CE＝CF＝CA﹣AF＝6﹣x， 则有9﹣x+6﹣x＝5，解得x＝5，即AF的长为5． 故选：A． 【举一反三3】如图，过⊙O外一点A引切线AB、AC，B、C为切点，若∠BAC＝60°，BC＝8cm，则⊙O的直径是　　cm． 【答案】 【解析】连接OB、OA，设OA与BC相交于点D．首先由切线长定理求得∠BAO的度数，即可得出∠BOA的度数；进而可在Rt△OBD中，根据BD的长以及∠BOA的度数，求出OB的长，即可求得⊙O的直径． 如图，连接OB、OA，则∠OBA＝90°． ∵AB、AC分别切⊙O于B、C， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝30°． ∴OA垂直平分BC． 在Rt△OBD中，BD＝BC＝4cm，∠BOD＝60°， ∴OB＝BD÷sin60°＝． 故⊙O的直径是cm． 故答案为： 【举一反三4】为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是 　　cm． 【答案】5 【解析】如图，连接OP、OA、ON，由切线长定理得：AP＝AN，∠OPA＝∠ONA＝90°，从而判断出△AOP≌△AON（SAS），则∠OAP＝∠OAN，通过角度计算即可得∠OAP＝60°，利用锐角三角函数即可解出半径长． 如图，连接OP、OA、ON，则AP＝AN，∠OPA＝∠ONA＝90°， 在△AOP和△AON中， ， ∴△AOP≌△AON（SAS）， ∴∠OAP＝∠OAN＝， 在Rt△ABC中，∠BAC＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴∠PAN＝180°﹣60°＝120°， ∴∠OAP＝∠OAN＝60°， 在Rt△OAP中，，即， ∴OP＝5， ∴铁环的半径为5cm． 故答案为5． 【举一反三5】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 【答案】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD， ∵△PCD的周长为10， ∴PC+CD+PD＝10， ∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10， ∴PA＝5； （2）①∵∠P＝40°， ∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°， ∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°， ∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴∠ACO＝∠DCO＝∠ACD，∠BDO＝∠EDO＝∠BDE， ∴∠OCD+∠ODC＝×220°＝110°， ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°； ②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED ＝180°﹣﹣ ＝180°﹣90°+∠ACD﹣90°+∠BDE ＝×220° ＝110°． 【题型3】应用切线长定理证明 【典型例题】如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.只有①② C.只有①②④ D.只有③④ 【答案】C 【解析】根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理，相似三角形的性质即可作出判断． ∵BA，BE是圆的切线． ∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线． ∴OB⊥AE ∵AD是圆的直径． ∴DE⊥AE ∴DE∥OF 故①正确； ∵CD＝CE，AB＝BE ∴AB+CD＝BC 故②正确； ∵OD＝OF ∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP 若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF 而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了． 故③不正确； 连接OC．可以证明△OAB∽△CDO ∴ 即：OA•OD＝AB•CD ∴AD2＝4AB•DC 故④正确． 故正确的是：①②④． 故选：C． 【举一反三1】如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（　　） A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70° 【答案】C 【解析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误． ∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°， ∴∠OBP＝∠OAP， ∴C是错误的． 故选：C． 【举一反三2】切线长定理： 从圆　 　一点可以引圆的　 　条切线，它们的切线长　  　．这一点和圆心的连线　  　这两条切线的　   　角． 即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA　 　PB，PO平分∠　   　． 【答案】外；两；相等；平分；夹；=；AOB 【解析】切线长定理是：从圆外一点作圆的两条切线，切点到圆外这点的距离相等，且平分两切线的夹角． 切线长定理： 从圆 外一点可以引圆的 两条切线，它们的切线长 相等．这一点和圆心的连线 平分这两条切线的 夹角． 即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA＝PB，PO平分∠AOB． 故答案为：外；两；相等；平分；夹；=；AOB. 【举一反三3】直线PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，且∠APB＝120°，⊙O的半径为4cm，则切线长PA为　　cm． 【答案】 【解析】连接OP，由切线长定理易求得∠APO＝60°； 连接OA，在Rt△OAP中，根据⊙O的半径及∠APO的度数即可求得PA的长． 如图，连接OP． ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴∠APO＝∠APB＝60°． 连接OA，则∠OAP＝90°． Rt△OAP中，OA＝4cm，∠APO＝60°， ∴PA＝OA÷tan60°＝． 故答案为：． 【举一反三4】证明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【答案】已知：PA，PB是⊙O的切线， 求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO． 证明：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 在Rt△OPA和Rt△OPB中 ， ∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO． 【举一反三5】求证：圆外切四边形的对边之和相等． 【答案】如图，已知：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，G、H、E、F分别是切点； 求证：AD+BC＝AB+CD； 证明：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形 ∴AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG ∴AH+DH+BF+CF＝AE+BE+CG+DG 即：AD+BC＝AB+CD． 学科网（北京）股份有限公司 $