2.2 用配方法求解一元二次方程 课后作业 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.2用配方法求解一元二次方程 课后练习题 考试时间:40分钟 满分100分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．关于x的一元二次方程（x﹣m）2＝9的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 2．已知x、y是实数，，若3x﹣y的值是（　　） A． B．﹣7 C．﹣1 D． 3．用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，配方后的方程可以是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7 4．方程（x﹣1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣4，x2＝5 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x＝1 5．用配方法解方程x2+8x+3＝0时，若将方程变形为（x+p）2＝q，则q﹣p＝（　　） A．9 B．17 C．13 D．5 6．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么这个方程可以是（　　） A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝0 7．关于x的一元二次方程a（x﹣h）2＝k（a≠0）的两根分别为﹣1，3，则关于x的一元二次方程a（2x﹣h+1）2＝k的两根分别为（　　） A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 8．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+1＝c﹣4可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（　　） A．c≥4 B．c＞4 C．c≥0 D．c＞0 9．已知方程x2﹣4x+1＝，“”中的数字印刷不清楚．若可以将其配方成（x﹣m）2＝5的形式，则印刷不清楚的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 10．关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2024能取的最大值是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．方程x2﹣9＝0的解为：　 　 ． 12．若b2﹣4b+4＝0，则ab＝　 　 ． 13．将方程x2﹣6x﹣10＝0化成（x﹣m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m＝　 　 ． 14．△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　 　 三角形． 15．代数式m2+2m+3的最小值为　 　 ；代数式的最大值为　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．用配方法解方程： （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）5x2﹣2＝﹣x． 17．先阅读材料内容，再解决问题： ①若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． ②已知x为实数，求x2+6x+11的最小值． 解：∵x2+6x+11＝（x+3）2+2， 而（x+3）2≥0， ∴x2+6x+11有最小值2． （1）若x2+4xy+5y2﹣2y+1＝0，求x﹣2y的值； （2）设x，y为实数，求x2+y2﹣2x+4y+8的最小值． 18．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　 　 时，x2+6x﹣15有最小值是　 　 ； （2）试说明：不论x取什么数，多项式x2﹣3x+3的值总是正数； （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，且c＝4，求△ABC的周长． 19．我们已经知道，对于形如a2+2ab+b2的二次三项式，可以写成（a+b）2的形式．但对于二次三项式x2+2x﹣3，就不能直接写成完全平方的形式了．对此，我们可以这样解决：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． （1）如果x2+kx+16是完全平方式，则k＝　 　 ． （2）二次三项式x2+8x+17，配方后可变形为　 　 ，该式子的值　 　 0（填“＞”“＜”或“＝”） （3）如图（1）（2），正方形的边长为2a+7，面积为S1，长方形的长和宽分别为4a+2和4，面积为S2，试比较S1和S2的大小． 20．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题，解决下列问题： （1）a+b＝5，ab＝1，则a2+b2的值为 　 　 ； （2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积； （3）若（10﹣x）（x﹣6）＝1，求（10﹣x）2+（x﹣6）2的值． （4）当x＝ 　 　 时，x2﹣8x+15有最小值 　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30.0分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C A B C A D D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x＝±3． 12．2． 13．3． 14．等腰． 15．2；3． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．解：（1）方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ，． 17．解：（1）原方程整理可得（x+2y）2+（y﹣1）2＝0， ∴x+2y＝0，y﹣1＝0， ∴x＝﹣2，y＝1， ∴x﹣2y＝﹣4； （2）∵x2+y2﹣2x+4y+8＝（x﹣1）2+（y+2）2+3， 而（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0， ∴x2+y2﹣2x+4y+8有最小值3． 18．解：（1）x2+6x﹣15 ＝x2+6x+9﹣24 ＝（x+3）2﹣24， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣15有最小值是﹣24， 故答案为：﹣3；﹣24； （2）x2﹣3x+3＝x2﹣3x（x）2， ∵（x）2≥0， ∴（x）20， ∴多项式x2﹣3x+3的值总是正数； （3）a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0， 则a2﹣2a+1+b2﹣8b+16＝0， ∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0， ∴a＝1，b＝4， ∵c＝4， ∴△ABC的周长为：1+4+4＝9． 19．解：（1）由条件可知（x±4）＝x2±8x+16； 故k＝±8； 故答案为：±8； （2）x2+8x+17＝（x+4）2+1； ∴x2+8x+17＝（x+4）2+1≥0； 故答案为：（x+4）2+1；＞； （3）； S2＝4（4a+2）＝16a+8； ； ； ∵（2a+3）2≥0， 故S1﹣S2＞0， 故S1＞S2． 20．解：（1）∵a+b＝5，ab＝1， ∴（a+b）2＝25， a2+b2+2ab＝25， a2+b2+2＝25， a2+b2＝23， 故答案为：23； （2）设10﹣x＝a，x﹣6＝b， ∴a+b＝10﹣x+x﹣6＝4， （10﹣x）（x﹣6）＝ab＝1， ∴（10﹣x）2+（x﹣6）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝42﹣2×1 ＝16﹣2 ＝14； （3）由题意可知：∠ACF＝90°， ∴CF2+AC2＝AF2， ∵S正方形BCGF+S正方形ACDE＝20， ∴CF2+AC2＝20， ∵BC+AC＝AB＝6， ∴CF+AC＝6， ∴（CF+AC）2＝36， CF2+AC2+2CF•AC＝36， 20+2CF•AC＝36， 2CF•AC＝16， CF•AC＝8， ∴S△AFC4． （4）由题意得，x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1． ∴当x＝4时，x2﹣8x+15有最小值﹣1． 故答案为：4；﹣1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $