选择性必修第二册模块综合模拟测评卷-2024-2025学年高二下学期数学苏教版

模块综合模拟测评卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知(1+)(1-x)6的展开式中含x3的项的系数为-8,则a=(　　) A.-2 B.-3 C.-1 D.2 2.饕餮(tāo tiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到方格纸上,如图所示,设每个小方格的边长为1,有一质点P从点A出发跳动五次到达点B,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为(　　) A. B. C. D. 3.根据一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的散点图分析存在线性相关关系,求得其线性回归方程=0.85x-85.7,则在样本点(165,57)处的随机误差为(　　) A.54.55 B.2.45 C.3.45 D.111.55 4.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是(　　) A. B. C. D. 5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC -A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若=x+y+z,则x+y+z=(　　) A.1 B. C. D. 6.在甲、乙两名运动员的某次射击比赛中,规定先射中十环者胜.甲运动员先射击,射中十环的概率为0.4;若甲没有射中十环,乙运动员进行射击,射中十环的概率为0.6;若乙也没有射中十环,则甲运动员再次射击,射中十环的概率为0.5;若甲再次没有射中十环,乙运动员进行射击,射中十环的概率为0.8,射击4次以后,射击枪出现故障,比赛停止.在这次射击比赛中,乙胜的概率为(　　) A.0.52 B.0.456 C.0.64 D.0.696 7.若一个三位数的各位数字之和为10,则称这个三位数为“十全十美数”,如208,136都是“十全十美数”,则这样的“十全十美数”共有(　　) A.32个 B.64个 C.54个 D.96个 8.一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数ξ的均值为(　　) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为,游览B,C和D的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,则下列说法正确的是(　　) A.游客至多游览一个景点的概率是 B.P(X=2)= C.P(X=4)= D.E(X)= 10.下列说法正确的是(　　) A.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ<4)=0.84,则P(2<ξ<4)=0.16 B.用模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=ln y,将其变换后得到方程=0.3x+4,则c,k的值分别是e4和0.3 C.已知两个变量具有线性相关关系,其线性回归方程为x,若=2,=1,=3,则=1 D.若样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为16 11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心,F是棱C1D1的中点,若点P为线段BD1上的动点,N为正方形ABCD所在平面内的动点,则下列说法正确的是(　　) A.的最小值为 B.若BP=2PD1,则平面PAC截正方体所得截面的面积为 C.若D1N与AB所成的角为,则点N的轨迹为双曲线的一部分 D.若正方体绕BD1旋转θ角度后与其自身重合,则θ的最小值是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2022浙江)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=　　　　　,E(ξ)=　　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  13.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点B到平面GEF的距离为　　　　.  14.袋子中装有若干个均匀的红球和白球,从中摸出一个红球的概率是,现从袋子中有放回地摸球,每次摸出一个,有2次摸到红球即停止,则恰好摸4次停止的概率P=　　　　;若记4次之内(含4次)摸到红球的次数为ξ,则随机变量ξ的均值E(ξ)=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在探究黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时,得到如下数据:在试验的470株黄烟中,经过药物处理的黄烟有25株发生青花病,60株没有发生青花病;未经过药物处理的有185株发生青花病,200株没有发生青花病.试推断药物处理跟发生青花病是否有关系. 参考数据: P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 16.(15分) 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA'的长为b,且∠A'AB=∠A'AD=120°.求: (1)AC'的长; (2)直线BD'与AC所成角的余弦值. 17.(15分)为落实“坚持五育并举,全面发展素质教育,强化体育锻炼”的精神,某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动.甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛.规定:每局比赛中获胜方记1分,失败方记0分,没有平局.首先获得5分者获胜,比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是. (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率; (2)若甲以3∶1的比分领先,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列与X的均值. 18.(17分)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAD⊥平面ABCD,CD∥AB,BC⊥CD,EA⊥ED,且AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (1)求证:BD⊥平面ADE; (2)求直线BE和平面CDE所成角的正弦值; (3)在线段CE上是否存在一点F,使得平面BDF⊥平面CDE?如果存在点F,请指出点F的位置;如果不存在,请说明理由. 19.(17分)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表: 直径/mm 58 59 60 61 62 63 64 65 66 个数 2 1 1 3 5 6 19 31 16 直径/mm 67 68 69 70 71 72 73 合计 个数 4 4 2 1 2 2 1 100 经计算,样本直径的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值. (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率),P(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.682 6;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≥0.954 5;P(μ-3σ <X≤ μ+3σ)≥0.997 3. 评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级; (2)将直径小于或等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品.从样本中随机抽取2件零件,计算其中次品件数Y的概率分布列和均值E(Y)及方差D(Y). 参考答案 1.A　(1-x)6的展开式的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)r·xr, 因此(1+)(1-x)6展开式中含x3的项的系数为1(-1)3+a(-1)5=-8, 解得a=-2. 故选A. 2.D　质点P从点A出发,跳动五次到达点B,向右跳动两次,向下跳动三次,每次向右或向下跳一个单位长度,包含的基本事件总数为=10, 其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况有1种,即右右下下下, ∴恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为P= 3.B　把x=165代入=0.85x-85.7,得=0.85×165-85.7=54.55, 故随机误差为57-54.55=2.45. 4.C　设事件A为“第一次摸出正品”,事件B为“第二次摸出正品”, 则P(A)=,P(AB)=, 故P(B|A)= 5.C　连接AM,AN,如图. ∵G是MN的中点, )=)=, 根据题意知=x+y+z, 所以x+y+z= 6.B　设事件A为“甲第1次射击,射中十环”,事件B为“乙第1次射击,射中十环”,事件C为“甲第2次射击,射中十环”,事件D为“乙第2次射击,射中十环”,则乙胜包含两种情况: ①共射击2次,其中甲没射中十环,乙中; ②共射击4次,其中前3次两人都没射中十环,第4次乙中. 乙胜的概率为P(B+D)=P(B)+P(D)=P()P(B|)+P()P()P()P(D|)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5×0.8=0.456.故选B. 7.C　分情况讨论: (1)这个三位数中不含0,若这个三位数中有两个重复数字,数字组合为(1,1,8),(2,2,6),(3,3,4),(4,4,2),则“十全十美数”有4×3=12(个),若这个三位数中的三个数字都不重复,数字组合为(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,3,5),则有4个“十全十美数”; (2)这个三位数中含一个0,数字组合为(1,0,9),(2,0,8),(3,0,7),(4,0,6),(5,0,5), 则“十全十美数”有4+2=18(个). 根据分类计数原理得“十全十美数”共有12+4+18=54(个). 故选C. 8.A　由题知f2(x),f5(x),f6(x)为偶函数,f1(x),f3(x),f4(x)为奇函数, 所以随机变量ξ的所有取值为1,2,3,4. P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)= 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 则E(ξ)=1+2+3+4 9.ABD　由题意知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=1-×1-×1-×1-=,P(X=1)=1-3+1-1-2=,所以游客至多游览一个景点的概率为P(X=0)+P(X=1)=,故A正确; P(X=2)=1-2+1-2×1-=,故B正确; P(X=3)=2×1-+1-3=,P(X=4)=3=,故C错误; E(X)=0+1+2+3+4,故D正确.故选ABD. 10.BC　∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ<4)=0.84, ∴P(2<ξ<4)=P(ξ<4)-0.5=0.84-0.5=0.34≠0.16,即A错误; ∵y=cekx,∴ln y=ln(cekx),∴ln y=kx+ln c. =0.3x+4,∴ln y=0.3x+4,从而k=0.3,ln c=4, ∴k=0.3,c=e4,即B正确; x过(),∴3==2,=1,即C正确; ∵样本数据x1,x2,…,x10的方差为2, ∴数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为2×22=8,即D错误.故选BC. 11.BCD　建立如图所示的空间直角坐标系,因为正方体的棱长为1,则E,1,,B(1,1,0),D1(0,0,1),F0,,1,A(1,0,0),C(0,1,0). 对于A,=(-1,-1,1), 设==(-λ,-λ,λ)(0≤λ≤1), 所以P(1-λ,1-λ,λ),=λ-,λ,-λ,=λ-1,λ-,1-λ,所以=λ-(λ-1)+λλ-+(1-λ)-λ=3λ-2-, 所以当λ=时,取最小值-,A不正确; 对于B,若BP=2PD1,则P是线段BD1上靠近D1的三等分点,所以P,取线段AC上靠近C的三等分点G,则G,0,所以=0,,-, 显然与平面CDD1C1的法向量(1,0,0)垂直, 因此PG∥平面CDD1C1, 所以截面PAC与平面CDD1C1的交线与PG平行, 作CM∥PG交D1C1于点M,设M(0,k,1), 则=(0,k-1,1), 由,可得-(k-1)=,解得k=, 则点M与点F重合,因此取D1A1的中点Q,连接QF, 易得QF∥AC,所以截面为四边形ACFQ,它是等腰梯形, AC=,QF=,AQ=CF=, 梯形ACFQ的高h=, 截面面积S=),B正确; 对于C,设N(x,y,0),则=(x,y,-1),=(0,1,0), 若D1N与AB所成的角为, 则有cos<>=||=, 两边平方化简整理有y2-x2=1,C正确; 对于D,=(-1,1,0),=(-1,-1,1), =1-1+0=0,所以,同理,又AC∩AB1=A, 所以是平面ACB1的一个法向量,即BD1⊥平面ACB1, 设垂足为O1,连接AO1,BO1,则∠AO1C=∠B1O1C=∠AO1B1=, BD1是正方体的外接球的直径,因此若正方体绕BD1旋转θ角度后与其自身重合,至少旋转,D正确.故选BCD. 12　P(ξ=2)= ξ的所有可能取值为1,2,3,4,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=, 故E(ξ)=1+2+3+4 13　连接BG,以C为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0),G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,2,0). =(0,-4,2),=(2,4,-2),=(2,-2,0). 设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=1,z=3, ∴平面GEF的一个法向量为n=(1,1,3). 设点B到平面GEF的距离为h,则有h= 14　①恰好摸4次停止的概率P=(1-)2 ②由题意可得ξ的可能取值为0,1,2, 则P(ξ=0)=1-4=;P(ξ=1)=1-3=;P(ξ=2)=2+1-1-2 故随机变量ξ的均值E(ξ)=0+1+2 15.解 由已知条件得2×2列联表如下: 单位:株 是否发生青花病 药物处理 未经药物处理 合计 青花病 25 185 210 无青花病 60 200 260 合计 85 385 470 提出假设H0:经过药物处理跟发生青花病无关系. 根据列联表中的数据,可以求得 χ2=9.788>7.879, 所以有99.5%的把握认为药物处理跟发生青花病是有关系的. 16.解 (1)由题意得, 所以||== (2), 所以||==,||=a,=()·()==-ab-a2+a2-ab=-ab,故cos<>=, 由于异面直线所成角的范围为大于0°小于等于90°,所以直线BD'与AC所成角的余弦值为 17.解 (1)比赛结束时,恰好打了6局,甲获胜的概率为P1=,恰好打了6局,乙获胜的概率为P2=()4,所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P=P1+P2= (2)X的可能取值为2,3,4,5,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=, 所以X的分布列如下 X 2 3 4 5 P E(X)=2+3+4+5 18.(1)证明 由BC⊥CD,BC=CD=2,可得BD=2, 由EA⊥ED,且EA=ED=2,可得AD=2, 因为AB=4,所以在△ADB中,AD2+BD2=8+8=16=AB2,由勾股定理可知BD⊥AD, 又平面EAD⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面ADE. (2)解 如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0,0),B(0,2,0),C(-,0),E(,0,),=(,-2),=(,0,),=(-,0). 设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z),则 取x=1,则n=(1,1,-1). 设直线BE与平面CDE所成的角为α, 得sin α=|cos<,n>|=, 即直线BE与平面CDE所成角的正弦值为 (3)解 设=,λ∈[0,1]=(-,0),=(2,-),=(0,2,0), 所以+(2λ-1,-λ+1,λ). 设平面BDF的法向量m=(a,b,c),则取a=1, 所以m=(1,0,). 因为平面CDE的法向量n=(1,1,-1),且平面BDF⊥平面CDE,所以m·n=0, 所以λ=[0,1],故在线段CE上存在一点F(靠近点C处的三等分点处),使得平面BDF⊥平面CDE. 19.解 (1)μ=65,标准差σ=2.2, P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.76>0.682 6; P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.9<0.954 5; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤71.6)=0.95<0.997 3, ∴设备M的性能等级为丙. (2)将直径小于或等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品,一共有2+1+1+1+2+2+1=10(件). 从样本中随机抽取2件零件,由题得Y的所有取值为0,1,2. P(Y=0)=,P(Y=1)=, P(Y=2)= 所以次品件数Y的概率分布列为 Y 0 1 2 P 均值E(Y)=0+1+2, 方差D(Y)=(0-)2+(1-)2+(2-)2 15 学科网（北京）股份有限公司 $