第06讲 等式性质与不等式性质（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第06讲 等式性质与不等式性质 【人教A版】 模块一 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课后作业）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 模块二 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（20-21高二下·陕西西安·期中）设，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【变式3.3】（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式4.1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【变式4.3】（24-25高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【题型5 利用作差法比较代数式大小的应用】 【例5】（24-25高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式5.1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【变式5.2】（2025·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油. (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）； (2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明. 【变式5.3】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 模块三 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6.1】（24-25高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6.2】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6.3】（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（24-25高一下·安徽·阶段练习）（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【变式7.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式7.2】（2025高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【变式7.3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 【例8】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围． 【变式8.3】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 11．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 三、填空题 12．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 16．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 17．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质 【人教A版】 模块一 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解题思路】根据已知写出不等式即可. 【解答过程】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【解题思路】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【解答过程】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课后作业）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 【答案】答案见解析 【解题思路】由题意列不等式组即可． 【解答过程】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个， 由题意得. 模块二 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【解答过程】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D. 【变式2.1】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质及作差法判断各项的正误. 【解答过程】A：，左右两端同乘以2，得，错； B：，左右两端同减去1，得，错； C：， 由于，所以，所以，对； D：取，满足，但无意义，错. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误. 【解答过程】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用作差法可得出的大小关系． 【解答过程】因为， 所以． 故选：C. 【变式3.1】（20-21高二下·陕西西安·期中）设，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可. 【解答过程】，， ，， . 又，故. 则. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【解答过程】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 【变式3.3】（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【解答过程】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解题思路】应用作商法比较的大小关系即可. 【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【变式4.1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式4.2】（24-25高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解题思路】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解答过程】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式4.3】（24-25高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为：. 【题型5 利用作差法比较代数式大小的应用】 【例5】（24-25高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解题思路】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【解答过程】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 【变式5.1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【答案】C 【解题思路】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据BCD设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断BCD. 【解答过程】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，， 解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，， 增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则，而， 于是，即，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则， 若，则；若，则；若，则， 因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误. 故选：C. 【变式5.2】（2025·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油. (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）； (2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明. 【答案】(1)方案一元升；方案二元升 (2)方案二比较经济划算，证明见解析. 【解题思路】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果. 【解答过程】（1）第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油， 所以平均价格为元升； 第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； （2）由题意可得，第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； 第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； 且，所以选择第二种加油方案比较经济划算. 【变式5.3】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 模块三 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断. 【解答过程】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】利用反例判断A选项，BCD均可以通过不等式的性质以及作差法进行判断. 【解答过程】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，若，则有，则，故D正确； 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质逐项判断可得答案. 【解答过程】A.当时，，选项A错误. B.若，满足，但，选项B错误. C.由得，由得，故，选项C正确. D. 若，则，选项D错误. 故选：C. 【变式6.3】（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【解答过程】对于A：由，可知，所以，故A正确； 对于B：由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C：由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D：取，则故D错误； 故选：D. 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（24-25高一下·安徽·阶段练习）（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解题思路】（1）根据作差法证明即可； （2）由于，故，再结合（1）的结论易证. 【解答过程】证明：（1）因为，，所以，。 所以， 故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 【变式7.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解题思路】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【解答过程】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【变式7.2】（2025高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解题思路】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【解答过程】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 【变式7.3】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【解答过程】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 【例8】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【解答过程】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得 ，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B. 【变式8.2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围． 【答案】详见解析. 【解题思路】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解. 【解答过程】因为，， 所以， 即的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 易知， 而 则， 所以的取值范围是． 【变式8.3】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围； （2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解. 【解答过程】（1）因为所以又因为，所以； 因为所以，又因为，所以; （2）令， 则，解得， 又因为，,所以， 所以. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【解答过程】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【解题思路】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【解答过程】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知及不等式性质判断大小关系即可. 【解答过程】因为，所以且，所以． 故选：D. 4．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，得到，求得，得到，即可求解. 【解答过程】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断. 【解答过程】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【解答过程】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 7．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图可得，应用不等式性质及特殊值法逐一分析选项，即可得答案. 【解答过程】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A. 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【答案】A 【解题思路】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【解答过程】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【解答过程】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD. 10．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】ABC 【解题思路】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【解答过程】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【解题思路】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【解答过程】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞ 【解题思路】利用作差法求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【解答过程】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【解答过程】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】作差法比较即可 【解答过程】（1）， 则. （2）， 则. 16．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 【答案】（1）；（2）证明见详解 【解题思路】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可； （2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证. 【解答过程】（1）， . （2）假设，， ，，， ， 两式相加得，，这与矛盾，所以假设错误. 所以和中至少有一个大于. 17．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【解题思路】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【解答过程】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $