第一次月考测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

单元八年级数学 第一次月考测试卷 题号 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是 A.a:b:c=5:12:13 B.∠A+∠B=90° C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.a=3,b=4,c=5 2.下列各数中为无理数的是 号 B.-√3 C.-4 D.0 3.如图，这是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 A.勾股定理 B.中垂线定理 C.全等的判定定理 D.三角形内角和定理 周 髀 經 (第3题图) (第4题图)》 (第5题图) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为边作正方形，若AB=5,则正方形ADEC和 正方形BCFG的面积和为 () A.25 B.36 C.49 D.64 5.嘉嘉画了一个如图所示的四边形，若AB=2,BC=CD=1,连接AC,∠ABC=∠ACD=90°，则AD 的长为 A.5 B.6 C.7 D.2√2 ·17· 6.下列说法中正确的是 A.64的立方根是±4 B.-27没有立方根 C.立方根等于本身的数是0和1 D.-27=-3 7.下列各数：3.141592，-3,0.16，√107，-π，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次 加1)，号，5,0.23,8是无理数的有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.实数a,b在数轴上的位置如图所示，且a>b,则化简 e 06 √a-|a+b的结果为 () (第8题图) A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 9.古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香.”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露4 B 出水面12cm,忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面.仔细观察，发现荷花偏离原位 置48cm(如图)，则水的深度BC为 A.60 cm B.72 cm (第9题图) C.90 cm D.96 cm 10.用[x]表示不超过的最大整数，例如：[2]=2，[3.2]=3，[2.9]=2，则[√1]-[√2]+[3]- [√4]+[W5]-[√6]+…+[√2023]-[√2024]的值为 A.-21 B.21 C.-22 D.22 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.在△ABC中，a=3,b=7,c2=58,则△ABC是 12.已知实数a,b,满足√a+2+(b-3)2=0,则a°= 13.如图，在数轴上A,B两点对应的实数分别是-5和1，点A,点C到1一B -501 点B的距离相等，则点C对应的实数是 (第13题图) 14.已知x-2+2-x=0,则的值为 ·18· 15.如图，有一个高为8，底面直径为2的圆柱.在圆柱下底面的点A处有一只蚂 蚁，它想吃到上底面与点A相对的，点B处的食物，它从点A爬到点B,然后 A 再沿另一面爬回A点，蚂蚁爬行的最短路程是 (第15题图) 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（本小题10分) 计算： (1)4+-8+11-√31： (2)(-1)2025+9×(7-π)°. 17.(本小题8分) 已知3a-7和a+3是某正数m的两个平方根，b+4的立方根为2，c是√11的整数部分 (1)求m的值； (2)求a+3b+c的平方根. ·19 18.（本小题8分) 如图，在△ABC中，CB=3,CE=2.4,BE=1.8 (1)试判断CE与AB是否垂直？并通过计算进行说明； (2)若△ABC的面积为3，求AC的长 密 (第18题图) 19.（本小题8分) 封 已知：a,b,c满足1a-3√21+√b-5+(c-7)2=0. (1)求a,b,c的值； (2)请判断以α，b,c为边构成的△ABC的形状，并说明理由 线 ·20· 20.(本小题8分) 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截 出三个面积分别为4dm2,8dm2和18dm2的正方形木板A,B,C. ① ② A 4 dm C B 18 dm 8 dm 密 图1 图2 (第20题图) (1)木板①中截出的正方形木板B的边长为 dm(结果保留根号)； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为9dm2的正方形木 板，请你判断能否截出，并说明理由， 封 线 .21· 21.（本小题8分) 根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一 个无理数，根据这个定理得到一个结论：若x+y√m=0,其中x,y为有理数，√m是无理数，则x =0,y=0. 证明：：x+y√m=0,x为有理数， .y√m是有理数 y为有理数，m是无理数， ∴.y=0. ∴.x+0m=0. ∴.x=0. (1)若x+2y=√2(1-2)，其中x,y为有理数，则x=,y=; (2)若x+y√m=a+b√m,其中x,y,a,b为有理数，√m是无理数，求证：x=a,y=b; (3)已知√17的整数部分为a,小数部分为b.x,y为有理数，a,b,x,y满足17y+√17y+ √17(y-217x)=2a17+b√17，求x,y的值 ·22. 22.（本小题12分) 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结 合的纽带 D 01234 图1 图2 (第22题图) (1)应用场景1一在数轴上画出表示无理数的点. 如图1，在数轴上分别找出表示1和4的点D,A,过点A作直线1垂直于OA,在l上取点 B,使AB=2,以数轴上表示1的点D为圆心，DB的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点C (点C在，点D的右侧)表示的数是 (2)应用场景2—一解决实际问题， 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将它往前推6m(即水平距离CD= 6m)至C处时，踏板离地的垂直高度CF=4m,秋千的绳索始终拉直，求绳索AC的长. ·23· 23.（本小题13分) 【概念呈现】 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角 三角形，则把这条对角线叫作这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫作“等腰直角四边 形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直 角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫作这个四边形的“真等腰直角线”。 把这个四边形叫作“真等腰直角四边形”. 密 图1 图2 (第23题图) (1)【概念理解】如图1，若AD=1,AD=DB=DC,BC=2,则四边形ABCD (填“是” 或“不是”)真等腰直角四边形； 封 (2)【性质应用】如图1，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是 这个四边形的真等腰直角线，当AD=4,AB=3时，求BC的长： (3)【深度理解】如图2，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°， ∠ADE=90°，BD>AD>AB,对角线BD,AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明 AC与BE的数量关系； 图 ·24·参芳答案 第一单元测试卷 1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.A8.D9.B10.C 11.3212.10013.1514.5215.7 16.解：AB=1.5,BC=2,∠B=90°，AC=√1.52+2=2.5， ∠ACD=90°，CD=2.5,.AD2=AC2+CD2=12.5.,.正方 形ADEF的面积为12.5. 17.解：连接AC,∠B=90°， △ABC为直角三角形，.：AB=4 BC=3,根据勾股定理得：AC=BC /AB2+CB2=5,又.·CD=12 AD=13,.CD2+AC2=169,AD (第17题答图) =169,.CD2+AC2=AD..△ACD为直角三角形，∠ACD= 90AR BG+AGCD =36. 18.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由勾股定理，得x2+82= (16-x)2,解得x=6,答：旗杆在离底部6米的位置断裂. 19.解：：甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮 船向南偏西45°方向航行，∴.A01B0.:甲轮船以20海里/时 的速度向南偏东45°方向航行，∴.0B=20×2=40(海里)， :AB=50海里，在Rt△A0B中，A0=√AB2-OB=√502-40 =30,“.乙轮船平均每小时航行30÷2=15（海里）. 20.解：(1)DA⊥AB,∠BAC=90°.AB=80m,BC=100m, .AC=√BC-AB=√100-80=60(m).AD=135m,点 C,D均在点A的正北方向，即点A,C,D在同一条直线上， ..CD=135-60=75(m). (2)DE⊥EC,.∠DEC=90°，CD=75m,CE=45m,.DE =√CD2-CE=√752-452=60(m). 21.解：(1)14-x: (2).AD L BC,.ADP =AC2 CD2 AD2 AB2 -BD2,..132 (14-x)2=152-x2,解得x=9. (3)由(2)得AD=√AB2-BD=√152-92=12，.SA8c= 28C·A0=7×14×12=84. 22.解：如图1，作PE⊥AD,AP=DP,∴AE=ED=12(cm), 由勾股定理得，PE=√AP-AE=l6(cm), .点B到P的垂直距离为16+10=26(cm): D 欢迎光临 图1 图2 (第21题答图) 如图2，连接AC作PM⊥AC于M,作BWN⊥AC于N. 由题意知，缩短后的挂绳长度为20+20-4=36(cm), :长方形挂牌为ABCD,点P、D、C三点在同一直线上， ∴.∠ADP=∠ADC=90°，由勾股定理得，AC=√AD+CD2= ·89 26(cm), 设PD=x(cm),则AP=36-x(cm),由勾股定理得，Ap2-PD2 =AD2,即(36-x)2-x2=242,解得，x=10(cm),PC=PD+ CD=20(cm）,San=74CxPW=7 -PCxAD,即7×26× PpW=分×20×24，解得，PW-智cm)Sc=宁4C×N =分B×BC,即子×26×BN=方×10×24，解得，BN= 咒m点B到P的重直距离为智+-智(cm)点 B的病度下降了9-26-号(cm） 23.解：(1)假(2)：AB=BC,AC>AB.∴a=c,b>c,:△ABC是 类勾股三角形，ac+a2=,c2+a2=b2.△ABC是等腰 直角三角形，∠A=45°； (3)证明：在线段AB上取一点D,使 AD=CD,连CD,过C作CE⊥AB交 AB于E,.AD=CD,.∠ACD=∠A, A .∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A, D E B (第23题答图》 ∠B=2∠A..∠CDB=∠B..CD= CB=a,..AD=CD=a,.BC=a,AB c..'.DB=AB-AD =c- 1 a.CE LAB,DE BE=2 (e-a).:.AE =AD+DE=a+ (c-a）=(a+c,在△A0E中，cE=AC-AE=B2 [宁(c+a,在t△BCE中，E=Bc-BE=d [宁e-a-[宁a+o小=d-[分c-o,整理得 b2=ac+a2,∴.△ABC是“类勾股三角形”. 第二单元测试卷 1.D2.A3.C4.C5.C6.A7.B8.B9.C10.A 11.>12.√513.214.±0.0191015.9 16.解：(1)原式=23×(3√25×3-√4×3-√9×3)=25× (155-25-35)=25×105=20×3=60; (2)原式=1-3+(-√5+2)+√5=1-3-5+2+5=0. 17.解：3是2x+1的算术平方根，2x+1=9,.x=4,-2是 -3x+y+5的立方根，.-3x+y+5=-8,.-12+y+5= -8,.y=-1,∴.x-y=4-(-1)=4+1=5,5的平方根是 ±5，∴.x-y的平方根是±5. 18.解：(1)-2+2；(2)因为(2c+4)2+√d-4=0,所以2c+4= 0,d-4=0,解得c=-2,d=4.∴.√2c+3d-√3d-2c-√8= √/2×(-2)+3×4-√3×4-2×(-2)-√8=8-√16-√8 =-4. 19.解：(1)由题意得原来正方形区域的边长为400=20(cm); (2)由(1)得这根铁丝长为20×4=80(cm),由修改后的长方 形的长、宽之比为53，设长方形的长为5x,宽为3x,由其面积 为300cm2,所以5x·3x=300,即x2=20,解得x=2V5(cm) (负值舍)，∴.长方形的周长为2×（5x+3x)=16x=325 (cm),(3):4<25<5,∴64<325<80..铁丝够用. 20.解：(1)依题意，得该长方形闲置区域ABCD的周长为：2×(8 3+98)=2×(8√3+72)=163+142（米）. (2)(85×98)-(6-1)2=85×72-(7-26)=586 4dm2,8dm2和18dm2,.正方形木板A,B,C的边长分别 -7(平方米).10×(586-7)=5806-70≈1350.71（元）. 为：2dm22dm、3,2dm,.长方形木板的长为(2√2+32) 21.解：(1)：<√5<√6，即3<√5<4，√5的整数部分 dm.宽为(2+22)dm,由图可得：S阴影都分=(22+3√2)(2+ 是3，小数部分为√5-3；(2)2<5<3，√5的整数部分是 2√2)-4-8-18=(10√2-10)dm2.(3)能截出：理由：9= 2,小数部分是5-2，即a=5-2,3<√13<4，.√13的整 3(m),2×3=6(dm),∴.两个正方形木板放在一起的宽为 数部分是3，小数部分是√3-3，即b=3,.a+b-5=5-2 3dm,长为6dm,由(2)得长方形的宽为：(2+2√2)dm,长为 +3-5=1,.a+b-5的算术平方根为T=1;(3):1<5< 22+32=5√2(dm).2+22>4,52>6,∴.能截出. 2,.10<9+5<11,x是整数，且0<y<1,.x=10,y=9+ 21.(1)解：x+2y=2(1-2),.x+2+2(y-1)=0.x,y 5-10=5-1,x-y的相反数为y-x=5-1-10=3 为有理数，x+2=0,y-1=0,∴.x=-2,y=1,故答案为： -11. -2,1;(2)证明：x+y√m=a+b√m,x-a+(y-b)m =0,:x,y,a,b为有理数，x-a,y-b都是有理数，∴.x-a 2.解：(1)04=1,04=2,0A=3,0A。=10S= 2,$ =0,y-b=0,.x=a,y=b:(3)解：：4<√7<5，√7的整 2,$=3 号=得：0赋=S9(2)而 数部分a=4,小数部分b=√7-4，：17y+7y+7(y- 27x)=2a√7+b7,.17y+√7y+7(y-2√7x) （3)=行国-子号-…品-9+号++… =8√7+√7（√/7-4），.17y-34x+217y=17+ +8-+子++…+- 4厅为有理数 17,解得x=之y=2 4-4 23.解：(1)（答案不唯一）52+5(2)√n+I-n= 22.解：(1)由图1可知，AD=3,AB=2,BD=√AD+AB= (n+I-历)(n+1+历=n+1-n 1 C./n 3,.CD=√3，点C(点C在点D的右侧)表示的数是 /n+1+√n √n+I+n√n+I+ 1+3,故答案为：1+√3；(2)设秋千绳索AC的长度为x -√n-T:h-n)(h+n-①：n(n-1) m,则AB=AC=xm,由题意得：(x-3)2+62=x2,解得：x=7. √n+/n-1 √n+√n-1 5.则绳索AC的长为7.5m. 23.解：(1)AD=1,AD=DB=DC,.DB=DC=1,AD=1,BC 后+后因为+打>，所以++后 =2,.BD2+CD2=2,BC=(2)2=2.BD2+CD2=BC2, 石+n后所以vn打-后<后-n .△BDC是等腰直角三角形，：△ABD是等腰三角形，∴.四边 形ABCD是真等腰直角四边形.故答案为：是.(2)：对角线BD 第一次月考测试卷 是这个四边形的真等腰直角线，∴.△ABD是等腰三角形，当AD 1.C2.B3.A4.A5.B6.D7.D8.C9.C10.C =BD=4时，在Rt△BDC中，BD=DC=4,由勾股定理得：BC 11.直角三角形12.-813.2+514.1或2或315.20 =42+4=42,当BD=AB=3时，在Rt△BDC中，BD=DC 16.解：(1)原式=2-2+(-1+3)=2-2-1+5=-1+5； =3,由勾股定理得：BC=√32+32=32.综上：BC=42或 (2)原式=-1+3×1=-1+3=2. 3√2.(3)由题意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形， 17.解：(1)3a-7和a+3是某正数m的平方根，.3a-7+(a+ .BD=CD,AD=DE,∠BDC=∠ADE=90°.∴.∠ADC= 3)=0,.a=1,.a+3=1+3=4,m=42=16; ∠EDB,∴.△ADC≌△EDB(SAS),∴.AC=BE. (2):b+4的立方根是2，.b+4=2,.b=4;:c是√T的 第三单元测试卷 整数部分，3<√<4，.c=3,.±√a+3b+c= 1.C2.C3.B4.A5.A6.C7.D8.A9.D10.B ±/个+3×4+3=±4，a+3b+c的平方根是±4. 11.(20,24)12.(4,1)13.(-2,1)14.-115.(0,4) 18.解：(1)CE⊥AB,理由如下，CE2+BE=2.42+1.82=9,BC2 16.解：(1)：A(-1,0),AC=3,点C在x轴 =9,∴.CE2+BE2=BC2,∴.△BCE是直角三角形，∠BEC=90°， 上，.1xc-（-1)1=3,解得：c=2或 .CE⊥AB: 4,故点C的坐标为：（-4,0)或(2,0)； (2)Sac=74B,CE=之AB2.4=3AB=2.5A北= (2)△BC如图所示，则S=4C· C AB BE =0.7,..AC=AE2 +CE=2.5. =7×3×4=6 (第16题答图) 19.解：(1)1a-321+√b-5+(c-7)2=0,.a-32=0,b 17.解：(1)由图可知，公园、游乐场和学校的坐标分别为(3，-1)， -5=0,c-万=0，.a=32,b=5,c=7 (3,2),(1,3)； (2)△ABC是直角三角形.理由如下：a2=(32)2=18,b2= (2)小强一路上依次经过的地方是：邮电局，宠物店，姥姥家， 52=25,c2=(7)2=7,a2+2=18+7=25,.a2+2=b2, 消防站，汽车站，学校，糖果店. ∴.△ABC是直角三角形，∠B=90°. 18.解：(1)点P(4a-6,2-a)在x轴上，2-a=0,.a=2, 20.解：(1)木板B为正方形，且面积为8m2..木板B的边长 ∴.4a-6=2,∴.P(2,0);(2)Q(6,8),且PQ∥y轴，.4a-6 为：W8=2√2(dm).(2)正方形木板A,B,C的面积分别为： =6,∴.a=3,.2-a=-1,.P(6,-1). ·90·