2.2基本不等式中的证明问题 微专题难点训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2.4基本不等式中的证明问题 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 利用基本不等式证明题目的一般步骤： 1判断“正数”条件:确认待证式中涉及的变量是否为正数. 2.构造“和”或“积”:根据待证结论，将式子变形为“和的形式”或“积的形式”. 3.验证等号条件:最后说明等号成立的具体 情况，证明才完整. 微专题训练 一、单选题 1．若且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（   ） A．的最大值是2 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．的最小值是 5．已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 6．已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（   ）. A． B． C． D． 8．已知，，，则以下不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 10．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 11．(多选) 下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．设都是正实数，则是的 条件. 13．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 14．已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 四、解答题 15．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 16．设正数，满足．证明： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4基本不等式中的证明问题 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 利用基本不等式证明题目的一般步骤： 1判断“正数”条件:确认待证式中涉及的变量是否为正数. 2.构造“和”或“积”:根据待证结论，将式子变形为“和的形式”或“积的形式”. 3.验证等号条件:最后说明等号成立的具体 情况，证明才完整. 微专题训练 一、单选题 1．若且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，但，故A错误； 对于B，由于且，则，故，故B错误； 对于C，若，此时 ，不满足，故C错误； 对于D， 由于，故，因此，由于，故，D正确， 故选：D. 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，令，，满足，此时， 所以由“”不能推出“”； 反之，当时，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以由“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，令，显然有，但，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，，显然有，但，C不是； 对于D，当，则，即， 反过来，令，不等式成立，而， D是. 故选：D 4．存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（   ） A．的最大值是2 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】B 【分析】首先分析出的正负，再根据条件，利用基本不等式转化为关于的不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，， 则， 所以，则，且， 所以，即，所以的最小值为2. 故选：B 5．已知，则与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】作差可得，利用基本不等式即可证明. 【详解】 . 因为， 所以. 因为， 所以，即. 故选：B. 6．已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式依次判断选项即可. 【详解】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 7．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用即可得到答案.. 【详解】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线， 由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选：D 8．已知，，，则以下不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式即可判断ACD，由，整理后利用不等式的性质即可判断B. 【详解】对于A，， 当且仅当且，即时取等号，故A正确； 对于B，由D选项证得，则有： ， 当且仅当时取等号，所以，即，故B正确 （也可利用三元基本不等式，，相加得证）； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为，，，所以， 所以，当且仅当时取等号，故D错误． 故选：D． 二、多选题 9．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质可逐项判断. 【详解】对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正， 例如：，故A错误； 对于B，，，则，即，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，所以，故D正确； 故选：BD. 10．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式证明求解判断各选项. 【详解】， 对A，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，A正确； 对B，，当且仅当时取等号，因此最小值是36，B错； 对C，由三元均值不等式知C正确； 对D， ，当且仅当时取等号， 所以，D正确， 故选：ACD. 11．(多选) 下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，和基本不等式，逐个判断选项正误. 【详解】令，满足，但故A错误， ∵，∴，故B正确， 令，满足，但 ，故C错误， ，当且仅当，即时，等号成立，故D 正确． 故选：BD． 三、填空题 12．设都是正实数，则是的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】充分性用基本不等式证明，必要性用特殊值排除. 【详解】由基本不等式可知：， 三式相加得：，即， 又因为，所以，取等条件为，所以是充分条件； 取，可知不等式成立，此时，所以必要性不成立. 故答案为：充分不必要 13．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 14．已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，，，再利用不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 所以， 同理可得，， 所以， 即，即. 故答案为：. 四、解答题 15．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由对称性知，当时两式相等，借助基本不等式的变形可得. （2）由对称性知，当时等号成立，借助基本不等式的变形可证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 16．设正数，满足．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）把双变量问题转化成单变量问题，再利用二次函数的单调性进行证明； （2）将不等式左边的两项中的，分别用来表示，再通过化简与通分得到含有的式子，再利用求出即可证明． 【详解】（1）因为，，且， 所以，所以， 而， 因为，在上单调递增， 所以，即成立． （2） ， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，，， 所以， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $