第十四章 全等三角形 手拉手模型 讲义2025-2026学年人教版八年级数学上册

手拉手模型 板块一 初识手拉手模型(一)双等边三角形 条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60° 结论:△ABD≌△ACE,∠BFC=∠BAC=60° 模型1 异侧双等边 模型2 同侧双等边 典例精讲 【例】如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,BE,CD交于点P,连接AP. (1)求证:BE=CD; (2)求∠BPD 的度数; (3)求证:PA 平分∠DPE. 答案解:(1)∵∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAE=∠DAC, ∵AB=AD,AE=AC, ∴△ABE≌△ADC(SAS),∴BE=CD; (2)由△ABE≌△ADC 得∠ABE=∠ADC,∴∠BPD=∠BAD=60°; (3)过点A 作AM⊥BE 于点M,AN⊥CD 于点N, ∵△ABE≌△ADC,∴BE=CD,S△ABE=S△ABC, ∴AM=AN,∴PA 平分∠DPE. 实 战 演 练 如图,AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,直线BE,CD交于点P,连接AP. (1)求证:BE=CD; (2)求∠BPA 的度数. 解:(1)∵∠BAD=∠EAC=60°,∴∠BAE=∠DAC,又∵AB=AD,AE=AC,∴△ABE≌△ADC(SAS),∴BE=CD; (2)在BE上截取BF=DP,连接AF.∵△ABE≌△ADC, ∴∠ABE=∠ADC,又∵AB=AD,∴△ABF≌△ADP(SAS). ∴AP=AF,∠BAF=∠DAP,∴∠FAP=∠BAD=60°, ∴∠BPA=∠AFP=60°. 板块二 初识手拉手模型(二)双等腰直角三角形 条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° 结论:△ABD≌△ACE,BD⊥CE 模型1 异侧双等腰直角三角形 模型2 同侧双等腰直角三角形 典 例 精 讲 【例】如图， 连接BD,CE 交于点 P. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)判断BD,CE 的关系并证明; (3)连接 PA,求∠APB 的度数. 答案解:(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS); (2)BD=CE 且BD⊥CE,证明如下: ∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∴∠BPC=∠BAC=90°,∴BD⊥CE; (3)过点A 分别作BD,CE 的垂线,垂足分别为 M,N. ∵△ABD≌△ACE,∴S△ADD=S△==, ∵BD=CE,∴AM=AN, ∴PA 平分∠BPE,又∵∠BPE=90°,∴∠APB=45°. 实 战 演 练 如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,点D在CE上,AF⊥CB,垂足为F. (1)求证:BC⊥CE; (2)若BF=2,求CD-DE 的长. 解:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°, ∴∠BAC=∠DAE, ∴△BAC≌△DAE(SAS); ∴∠BCA=∠E, ∵∠CAE=90°,AC=AE, ∴∠ACE=∠E=45°, : (2)过点A 作AG⊥CE 于点G. 易证△FBA≌△GDA,△ACF≌△ACG, ∴CD-DE=CD-CB=(CG+DG)-(CF-BF)=DG+BF=2BF=4. 板块三 初识手拉手模型(三)双等腰三角形 条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 结论:△ABD≌△ACE,∠BAC=∠BFC 模型1 异侧双等腰三角形 模型2 同侧双等腰三角形 典 例 精 讲 【例】如图1, ,直线BD,CE 交于点 P,连接AP. (1)求证:BD=CE; (2)求∠APB 的度数(用α表示); (3)将图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，直接写出 (用α表示). 答案解:(1)∵∠BAC=∠DAE=α, ∴∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC,AD=AE, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE; (2)∵△BAD≌△CAE,∴∠ACP=∠ABP, ∴∠BPC=∠BAC=α, 则 过点A 作AM⊥BD 于点M,AN⊥CE 于点 N, 由△ABD≌△ACE得, ∵BD=CE,∴AM=AN, ∴PA 平分 (3)图略, 实 战 演 练 如图,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC,G,F分别为DC,BE 的中点.若 探究∠AGF 与α的数量关系. 解:易证△DAC≌△BAE,得∠ADG=∠ABF,DC=BE. ∵G,F分别为DC,BE的中点,∴DG=BF. 连接AF,∵AD=AB,∠ADG=∠ABF, ∴△DAG≌△BAF,∴∠DAG=∠BAF,AG=AF, ∴∠GAF=∠DAB=α, 板块四 构造手拉手模型 模型 模型1 构双等边三角形 模型2 构双等腰直角三角形 图形 条件 等边△ABC 等腰直角 方法 作等边△ADE 作等腰直角 结论 △ABD≌△ACE 典例精讲 题型① 构双等边三角形 【例1】如图,在△ABC 中, 求 的度数. 答案解:在DB的延长线上取点E,使DE=AD, 连接AE,可得双等边三角形△ADE与△ABC, 形成手拉手全等,即△ACD≌△ABE(SAS), 题型② 构双等腰直角三角形 【例2】如图，在 中， 求 的度数. 解:过点A 作AE⊥AD,交DB 的延长线于点E, 可得双等腰直角三角形△ADE与△ABC， 形成手拉手全等,即△ACD≌△ABE(SAS), 题型③ 构双等腰三角形 【例3】如图，在 中， 求 的度数. 解:在DB 的延长线上取点E,使AE=AD, 连接AE，可得底角为 的双等腰三角形 与 形成手拉手全等，即 实 战 演 练 1.已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,AD=DE,∠ADE=∠BAC=α. (1)如图1,若α=90°,求∠DCE 的度数. 答案解:过点D 作DF⊥DC 交CA 的延长线于点F, 则构造出共顶点的双等腰直角△ADE和△FDC，形成手拉手全等，即△FDA≌△CDE(SAS),得∠DCE=∠F=45°. (2)如图2,若α=120°,求∠DCE 的度数. 解:在CA 的延长线上取点F,使DF=DC,连接AE. 则构造出共顶点的双等腰△ADE 和△FDC，形成手拉手全等，即△FDA≌△CDE(SAS),得∠DCE=∠F=30°. 2.如图，在 中,AB=AC,∠ADB=∠ABC.求证:DA 平分 证明:在DB延长线上取点E,使AE=AD, 连接AE，可得双等腰△ADE 与△ABC，形成手拉手全等。即 即可得AD平分∠BDC. 3.如图，P为等边 外一点。 求PC 的取值范围. 解：以BP 为边向上作等边 连接CE, 易证 又∵PE=PB=2, 学科网（北京）股份有限公司 $