5.1常量与变量 同步课堂讲义2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

5.1常量与变量 讲解目录 【知识点1】常量与变量 1 【题型1】常量与变量 2 【题型2】根据表格写出两个变量之间的关系式 2 【题型3】用图象表示变量间的关系 3 【题型4】用关系式表示变量间的关系 6 知识讲解 【知识点1】常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 1.（2025•贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 2.（2025春•舞阳县期末）一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（　　） A．t是常量 B．12是变量 C．t是变量 D．n是常量 题型专练 【题型1】常量与变量 【典型例题】把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（　　） A.20是变量 B.a是变量 C.b是变量 D.20是常量 【举一反三1】某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（　　） A.数100和n，t都是常量 B.数100和n都是变量 C.n和t都是变量 D.数100和t都是变量 【举一反三2】一支冰激凌的价格是5元，买a支冰激凌共支付b元，则5和a分别是（　　） A.常量，常量 B.变量，变量 C.常量，变量 D.变量，常量 【举一反三3】某市居民用电价格是0.58元/（千瓦•时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦•时，其中常量是 　  　，变量是 　  　． 【举一反三4】写出下列问题中的关系式，并指出其中的常量和变量． （1）设打字收费标准是每千字4元，试用字数x（单位：千字）表示打字费y（单位：元）； （2）一个盛满30t水的水箱，每小时流出0.5t水，试用流水时间t（单位：h）表示水箱里的剩余水量Q（单位：t）． 【题型2】根据表格写出两个变量之间的关系式 【典型例题】滕州某布店新进了一批花布，卖出的数量x（米）与售价y（元）的关系如表： 那么y与x的关系式是（　　） A.y＝8x+0.3 B.y＝（8+0.3）x C.y＝8+0.3x D.y＝8+0.3+x 【举一反三1】表格列出了一项实验的统计数，表示皮球从高度d落下时弹跳高度b与下落高度d之间的关系，则d与b之间的关系式是（　　）（单位cm） A.d＝b B.b＝2d C.b＝d+25° D.d＝2b 【举一反三2】老张购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如表： 根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 　           　． 【举一反三3】声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如表： 请直接写出y与x的关系式：　           　． 【举一反三4】父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答； （1）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； （2）你能计算出距离地面16千米的高空温度是多少吗？ 【题型3】用图象表示变量间的关系 【典型例题】小明站在离家不远的公共汽车站等车．能最好地刻画等车这段时间离家距离与时间的关系图象是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑﹣2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法： 其中，错误的说法是（　　） A.起跑后1小时内，甲在乙的前面 B.第1小时两人都跑了21千米 C.甲比乙先到达终点 D.两人都跑了42.195千米 【举一反三2】重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A. B. C. D. 【题型4】用关系式表示变量间的关系 【典型例题】网购一种图书，每册定价40元，另加书价的4%作为快递费，若购书x册，则付款y（元）与x（册）之间的关系式为（　　） A.y＝40x+4%x B.y＝40.04x C.y＝40（1+4%）x D.y＝39.96x 【举一反三1】某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A.y＝24x B.y＝24x+2 C.y＝24x+20 D.y＝24x+22 【举一反三2】为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记本，则他剩余的钱y（元）与购买的笔记本的数量x（本）之间的关系是（　　） A.y＝12x B.y＝12x+400 C.y＝12x﹣400 D.y＝400﹣12x 【举一反三3】某公司制作毕业纪念册按照每册8元销售，则总销售额y（元）与销售纪念册的册数x（册）之间的关系式为 　      ． 【举一反三4】某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？ 【举一反三5】一辆汽车油箱内有油50升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化． （1）写出y与x的关系式 　     　． （2）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1常量与变量 讲解目录 【知识点1】常量与变量 1 【题型1】常量与变量 2 【题型2】根据表格写出两个变量之间的关系式 3 【题型3】用图象表示变量间的关系 5 【题型4】用关系式表示变量间的关系 8 知识讲解 【知识点1】常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 1.（2025•贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【解答】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快， 故选：B． 2.（2025春•舞阳县期末）一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（　　） A．t是常量 B．12是变量 C．t是变量 D．n是常量 【答案】C 【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【解答】解：一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，12是常量，t,n是变量， 故选项C符合题意． 故选：C． 题型专练 【题型1】常量与变量 【典型例题】把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（　　） A.20是变量 B.a是变量 C.b是变量 D.20是常量 【答案】A 【解析】把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入b本．则a和b分别是变量，20是常量． 故选：A． 【举一反三1】某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（　　） A.数100和n，t都是常量 B.数100和n都是变量 C.n和t都是变量 D.数100和t都是变量 【答案】C 【解析】n，其中n、t为变量，100为常量． 故选：C． 【举一反三2】一支冰激凌的价格是5元，买a支冰激凌共支付b元，则5和a分别是（　　） A.常量，常量 B.变量，变量 C.常量，变量 D.变量，常量 【答案】C 【解析】5是常量，a是变量． 故选：C． 【举一反三3】某市居民用电价格是0.58元/（千瓦•时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦•时，其中常量是 　  　，变量是 　  　． 【答案】0.58；x，y 【解析】由题意，可知：常量是0.58，变量是x，y． 故答案为：0.58；x，y． 【举一反三4】写出下列问题中的关系式，并指出其中的常量和变量． （1）设打字收费标准是每千字4元，试用字数x（单位：千字）表示打字费y（单位：元）； （2）一个盛满30t水的水箱，每小时流出0.5t水，试用流水时间t（单位：h）表示水箱里的剩余水量Q（单位：t）． 【答案】解：（1）由题意得，y＝4x， 其中4是常量，x与y都是变量， 答：关系式为y＝4x，其中4是常量，x与y都是变量； （2）由题意得， Q＝30﹣0.5t， 其中常量有30，0.5；变量为放水时间t，与剩余水量Q． 【题型2】根据表格写出两个变量之间的关系式 【典型例题】滕州某布店新进了一批花布，卖出的数量x（米）与售价y（元）的关系如表： 那么y与x的关系式是（　　） A.y＝8x+0.3 B.y＝（8+0.3）x C.y＝8+0.3x D.y＝8+0.3+x 【答案】B 【解析】∵16+0.6＝2（8+0.3）；24+0.9＝3（8+0.3）；32+1.2＝4（8+0.3），..． ∴y＝（8+0.3）x； 故选：B． 【举一反三1】表格列出了一项实验的统计数，表示皮球从高度d落下时弹跳高度b与下落高度d之间的关系，则d与b之间的关系式是（　　）（单位cm） A.d＝b B.b＝2d C.b＝d+25° D.d＝2b 【答案】D 【解析】由表格中的数据可知，d＝2b． 故选：D． 【举一反三2】老张购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如表： 根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 　           　． 【答案】y＝1.2x+0.1 【解析】根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为：y＝1.2x+0.1． 故答案为：y＝1.2x+0.1． 【举一反三3】声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如表： 请直接写出y与x的关系式：　           　． 【答案】y＝0.6x+331 【解析】由表格可知，气温升高1℃，音速增加0.6m/s，则y＝0.6x+331． 故答案为：y＝0.6x+331． 【举一反三4】父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答； （1）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； （2）你能计算出距离地面16千米的高空温度是多少吗？ 【答案】解：（1）由表格数据可得，高度每增加1千米，温度就下降6℃， 则t＝20﹣6h（h≥0）； （2）当h＝16时，t＝20﹣6×16＝﹣76， 即距离地面16千米的高空温度是﹣76℃． 【题型3】用图象表示变量间的关系 【典型例题】小明站在离家不远的公共汽车站等车．能最好地刻画等车这段时间离家距离与时间的关系图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵小明站在离家不远的公共汽车站等车， ∴这段时间离家距离不随时间的变化而变化， 故选：B． 【举一反三1】3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑﹣2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法： 其中，错误的说法是（　　） A.起跑后1小时内，甲在乙的前面 B.第1小时两人都跑了21千米 C.甲比乙先到达终点 D.两人都跑了42.195千米 【答案】C 【解析】根据图象得： 起跑后1小时内，甲在乙的前面；故选项A正确，不符合题意； 在跑了1小时时，甲追上乙，此时都跑了21千米，故选项B正确，不符合题意； 乙比甲先到达终点，故选项C错误，符合题意； 两人都跑了42.195千米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据他先前进了1000米，得图象是一段上升的直线， 休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线， 沿原路返回500米，得图象是一段下降的直线， 最后再前进了1000米，得图象是一段上升的直线． 综合得图象是C． 故选：C． 【举一反三3】某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选：C． 【题型4】用关系式表示变量间的关系 【典型例题】网购一种图书，每册定价40元，另加书价的4%作为快递费，若购书x册，则付款y（元）与x（册）之间的关系式为（　　） A.y＝40x+4%x B.y＝40.04x C.y＝40（1+4%）x D.y＝39.96x 【答案】C 【解析】付款y（元）与x（册）之间的关系式为y＝40x+40×4%x＝40（1+4%）x， 故选：C． 【举一反三1】某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A.y＝24x B.y＝24x+2 C.y＝24x+20 D.y＝24x+22 【答案】C 【解析】由题意得：打8折优惠的钱数为（30x﹣100）元， ∴应付款y与商品件数x的关系式为： y＝100+0.8（30x﹣100）， y＝100+24x﹣80， y＝24x+20， 故选：C． 【举一反三2】为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记本，则他剩余的钱y（元）与购买的笔记本的数量x（本）之间的关系是（　　） A.y＝12x B.y＝12x+400 C.y＝12x﹣400 D.y＝400﹣12x 【答案】D 【解析】由剩余的钱数＝带的钱数400﹣购买笔记本用去的钱数可得， y＝400﹣12x， 故选：D． 【举一反三3】某公司制作毕业纪念册按照每册8元销售，则总销售额y（元）与销售纪念册的册数x（册）之间的关系式为 　      ． 【答案】y＝8x 【解析】y＝8x． 故答案为：y＝8x． 【举一反三4】某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？ 【答案】解：（1）根据题意得，y＝1.2×10+（x﹣10）×1.8＝1.8x﹣6， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：y＝1.8x﹣6． （2）当y＝39时，1.8x﹣6＝39， 解得，x＝25， 答：小明家里用水25吨． 【举一反三5】一辆汽车油箱内有油50升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化． （1）写出y与x的关系式 　     　． （2）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？ 【答案】解：（1）由题意可得：y＝50﹣0.08x； 故答案为：y＝50﹣0.08x； （2）当x＝350时，y＝50﹣0.08×350＝22（升）， 当y＝8时可得8＝50﹣0.08x，解得x＝525． 这辆汽车行驶350千米时剩油22升，汽车剩油8升时，行驶了525千米． 学科网（北京）股份有限公司 $