5.2认识函数 同步课堂讲义2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

5.2认识函数 讲解目录 【知识点1】函数值 1 【知识点2】函数自变量的取值范围 2 【知识点3】函数关系式 2 【知识点4】函数的概念 3 【知识点5】函数的图象 4 【题型1】实际问题情境中的函数图象 5 【题型2】函数的定义 7 【题型3】从函数图象中获取信息 9 【题型4】用解析法表示函数 10 【题型5】用列表法表示函数 11 【题型6】求自变量的值或函数值 13 【题型7】用图象法表示函数 15 【题型8】由图象识别函数 17 【题型9】求自变量的取值范围 18 知识讲解 【知识点1】函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1.（2024秋•界首市月考）当x=-1时，函数的值是（　　） A．1 B．-1 C． D． 2.（2023秋•皇姑区校级期中）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保持匀速行驶．下表记录了4个时间点对应的观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离． t/min 0 6 12 18 y/m 200 80 40 160 根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间t是（　　） A．8 B．10 C．14 D．16 【知识点2】函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1.（2025春•霍州市月考）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≠-2 D．x≤-2 2.（2025春•麻城市期末）在函数中，自变量a的取值范围是（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 【知识点3】函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数． 1.（2025春•莱阳市期末）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋黄伯思设计．《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式如图所示，一共有七张长方形桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．若设桌面的宽为x,七张桌子总面积为S，则S与x的关系可表示为（　　） A．S=20x2 B．S=12x2 C．S=7x2 D．S=4x2+3 2.（2024秋•固镇县期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为a,b,则a与b的关系是（　　） A．a=b B．a=2b C．a=4b D．a=5b 3.（2025春•海阳市期末）变量y随x变化的关系式如图所示，当x从-3变化到5时，y的值增加了（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【知识点4】函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1.（2025春•麻城市期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•泉州期中）如图，分别给出了变量y与x之间的相应关系，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025春•长沙期中）下列关系式中y不是x的函数的是（　　） A．y2=x B．y=x C．y=x2 D．y=-x 【知识点5】函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 1.（2025•方城县四模）如图，两个透明的正方体器皿，其中小正方体的器皿棱长是大正方体棱长的，将小正方体器皿放置大正方体器皿的底部，现先向小正方体器皿内匀速注水，注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，直到液面刚好没过小正方体器皿．设注水时间为x,两个器皿内水面之差为y（y≥0），则y与x之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•大荔县期末）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（　　） A． B． C． D． 题型专练 【题型1】实际问题情境中的函数图象 【典型例题】一辆汽车的速度（km/h）与时间（min）之间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） ​ A. 速度是自变量，时间是因变量 B. 汽车在3min时，行驶的路程为30km C. 汽车在3～8min时停止运动 D. 汽车最快的速度是30km/h 【举一反三1】如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s/km与行驶时间t/h之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（　　） ①汽车在行驶途中停留了0.5小时； ②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h； ③汽车共行驶了240km； ④汽车出发4h离出发地40km． A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【举一反三2】甲.乙.丙.丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 　     　． 【举一反三3】某车间的甲.乙两名工人分别同时生产同种零件，他们生产的零件数量y（个）与生产时间（h）之间的关系如图所示． （1）根据图象填空： ①甲.乙中，　 　先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，　 　因机器故障停止生产　 　h； ②当t＝　      　时，甲.乙生产的零件个数相等． （2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内他每小时生产零件的个数． 【举一反三4】如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图回答问题： （1）图象表示了那两个变量的关系？ （2）9时，10时30分时所走的路程分别是多少？ （3）他休息了多长时间？ （4）他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？ 【题型2】函数的定义 【典型例题】下列式子中，y不是x的函数的是（　　） A. y＝x2 B. y＝x﹣2 C. y＝（x≥1） D. y＝±（x≥0） 【举一反三1】下列两个变量之间不具备函数关系的是（　　） A. 某地一天的温度T与时间t B. 正数b和它的平方根a C. 某班学生的身高y与学生的学号x D. 圆的面积s和半径r 【举一反三2】下列关系式中，y不是x的函数的是（　　） A. |y|＝x B. y＝﹣0.5x C. y＝x2 D. y＝ 【举一反三3】如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中， ①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是　    　． 【举一反三4】德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）请说明点D的实际意义． 【题型3】从函数图象中获取信息 【典型例题】如图是护士统计一位甲型H1N1流感疑似病人的体温变化图，这位病人在16时的体温约是（　　） A. 37.8℃ B. 38℃ C. 38.7℃ D. 39.1℃ 【举一反三1】某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表示小明离开家的路程y（米）和所用时间x（分）之间的函数关系，则下列说法中错误的是（　　） A. 小明在公园休息了5分钟 B. 小明乘出租车用了17分 C. 小明跑步的速度为180米/分 D. 出租车的平均速度是900米/分 【举一反三2】如图是甲.乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　） A. 乙前4s行驶的路程为48m B. 在0至8s内甲的速度每秒增加4m/s C. 两车到第3s时的路程相等 D. 在4至8s内甲的速度都大于乙的速度 【举一反三3】园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积Sm2与工作时间th的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（　　） A. 100m2 B. 50m2 C. 80m2 D. 40m2 【举一反三4】小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的行程s（km）与所花时间t（min）之间的关系．则小亮步行的速度和乘公交车的速度分别是（　　） A. 100m/min，266m/min B. 62.5m/min，500m/min C. 62.5m/min，437.5m/min D. 100m/min，500m/min 【题型4】用解析法表示函数 【典型例题】把一个长为5，宽为3的长方形的宽增加x（0≤x＜5），长不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为（　　） A. y＝5x+15 B. y＝x﹣15 C. y＝5x D. y＝3x+15 【举一反三1】为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记本，则他剩余的钱y（元）与购买的笔记本的数量x（本）之间的函数关系是（　　） A. y＝12x B. y＝12x+400 C. y＝12x﹣400 D. y＝400﹣12x 【举一反三2】汽车油箱中有汽油20L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤200时，y与x的函数表达式为（　　） A. y＝0.1x B. y＝ C. y＝﹣0.1x+20 D. y＝20﹣x 【举一反三3】如图，在△ABC中，已知BC＝8，BC边上的高线AD＝5，动点C′由点C沿CB向点B移动（不与点B重合），设CC′的长为x，△ABC′的面积为S，则S与x之间的函数关系式为（　　） A. S＝ B. S＝5x C. S＝ D. S＝20- 【举一反三4】已知汽车油箱内有油50L，每行驶100km耗油10L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数关系式是（　　） A. Q＝50﹣ B. Q＝50+ C. Q＝50﹣ D. Q＝50+ 【举一反三5】宋代词人蒋捷曾在《一剪梅•舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量xkg之间的函数关系式是 　     　． 【举一反三6】在如图所示的计算程序中，输入一个有理数x，便可输出一个相应的有理数y，则y与x之间的函数关系式是 　           　． 【举一反三7】如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式是 　         　． ​ 【题型5】用列表法表示函数 【典型例题】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度ycm与所挂重物的质量xkg有下面的关系： 那么弹簧总长ycm与所挂重物xkg之间的关系式为（　　） A. y＝0.5x+12 B. y＝x+10.5 C. y＝0.5x+10 D. y＝x+12 【举一反三1】在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度100℃），王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 王红发现，烧了110 s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（　　） A. 加热10 s，油的温度是30℃ B. 在一定范围内，每加热10s，油的温度升高20℃ C. 估计这种食用油的沸点温度约是230℃ D. 加热50 s，油的温度是100℃ 【举一反三2】某商场在某一阶段，一商品的销售量与销售价之间存在如表所示的关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当x＝126时，y的值约为（　　） A. 56 B. 54 C. 46 D. 43 【举一反三3】某校数学兴趣小组的同学利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度hcm与小车下滑时间ts之间的关系如下： 由表格信息可判断下列说法错误的是（　　） A. 支撑物高度为40 cm时，小车下滑时间为2.13s B. 若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40 cm至50 cm之间 C. 若支撑物高度为90 cm，则小车下滑时间可以是小于1.35s的任意值 D. 支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小 【举一反三4】果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如表的关系： 如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是 　  　米． 【举一反三5】某种苹果的销售数量与售价之间的关系如表所示，若购买xkg售价为y元，则y与x的关系式为 　        　． 【举一反三6】下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度x（厘米）与下降高度y（厘米）的关系： 根据表格中两个变量之间的关系，则当x＝100时，y＝　     　． 【题型6】求自变量的值或函数值 【典型例题】变量x与y之间的关系式是y＝35x+20，当自变量x＝2时，则y的值是（　　） A. 90 B. 65 C. 70 D. 75 【举一反三1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣3时，输出的y值相等，则a等于（　　） A. ﹣9 B. ﹣3 C. 9 D. 3 【举一反三2】已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是（　　） A. y1＝2x+1和y2＝3x+2 B. y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C. y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D. y1＝﹣x+1和y2＝2x+3 【举一反三3】在地球某地，地表以下岩层的温度y（℃）与所处深度x（km）之间的关系可以近似地用表达式y＝35x+20来表示（如图），当x的值为2时，相应的y值是 　    　． 【举一反三4】对于函数y＝，当y＝0时，x＝　    　． 【举一反三5】当自变量x取何值时，函数y＝x+1与y＝5x+17的值相等？这个函数值是多少？ 【举一反三6】如图，是一个“函数求值机”，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为﹣1时，输出的y值为 　   　； （2）求k2，b的值； （3）当输出的y值为时，输入的x值为 　     　． 【题型7】用图象法表示函数 【典型例题】如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　） A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C.报亭到小亮家的距离是400米 D.小亮打羽毛球的时间是37分钟 【举一反三1】艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个上山顶的过程中变量y与x之间函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A. B. C. D. 【题型8】由图象识别函数 【典型例题】如图各图象中，y不是x函数的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. ​​​​ 【举一反三2】下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】下列各曲线中，表示y是x的函数的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【题型9】求自变量的取值范围 【典型例题】函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x≠3 C. x≠2 D. x≤3 【举一反三1】函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x≥﹣3 C. x≠2 D. x≥2 【举一反三2】函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A. x＞4 B. x≠4 C. x≥4 D. x≤4 【举一反三3】在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　       　． 【举一反三4】在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　           　． 【举一反三5】求下列函数中自变量的取值范围 y＝2x﹣1； 【举一反三6】直接写出下列函数中自变量的取值范围： （1）y＝x2﹣2x+1； （2）y＝（x+3）0； 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2认识函数 讲解目录 【知识点1】函数值 1 【知识点2】函数自变量的取值范围 2 【知识点3】函数关系式 3 【知识点4】函数的概念 5 【知识点5】函数的图象 6 【题型1】实际问题情境中的函数图象 8 【题型2】函数的定义 12 【题型3】从函数图象中获取信息 14 【题型4】用解析法表示函数 17 【题型5】用列表法表示函数 19 【题型6】求自变量的值或函数值 22 【题型7】用图象法表示函数 25 【题型8】由图象识别函数 28 【题型9】求自变量的取值范围 30 知识讲解 【知识点1】函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1.（2024秋•界首市月考）当x=-1时，函数的值是（　　） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，把x=-1代入函数关系式即可求得y的值． 【解答】解：把x=-1代入函数中， ． 故选：D． 2.（2023秋•皇姑区校级期中）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保持匀速行驶．下表记录了4个时间点对应的观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离． t/min 0 6 12 18 y/m 200 80 40 160 根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间t是（　　） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由表格数据列得函数关系式，然后令y=0时，求得对应的t的值即可． 【解答】解：由表格数据可得，观光船形式6min时，行驶路程为200-80=120（m）， 则其速度为120÷6=20（m/min）， 那么y关于t的函数关系式为：y=200-20t, 令y=0，即200-20t=0， 解得：t=10， 即观光船到达码头的时间t是10， 故选：B． 【知识点2】函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1.（2025春•霍州市月考）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≠-2 D．x≤-2 【答案】A 【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：2-x≠0， 解得：x≠2， 故选：A． 2.（2025春•麻城市期末）在函数中，自变量a的取值范围是（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 【答案】C 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：a-5≥0， 解得：a≥5， 故选：C． 【知识点3】函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数． 1.（2025春•莱阳市期末）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋黄伯思设计．《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式如图所示，一共有七张长方形桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．若设桌面的宽为x,七张桌子总面积为S，则S与x的关系可表示为（　　） A．S=20x2 B．S=12x2 C．S=7x2 D．S=4x2+3 【答案】A 【分析】设每张桌面的宽为x,则“回文”中的大长方形的宽为4x,观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为5x,再根据面积公式列出对应的函数关系式即可． 【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为5x, ∴S=4x•5x=20x2， 故选：A． 2.（2024秋•固镇县期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为a,b,则a与b的关系是（　　） A．a=b B．a=2b C．a=4b D．a=5b 【答案】C 【分析】首先设“”的质量是c,根据两个天秤可得两个等式c=2b,a+b=2c+b,等量代换可得a与b的关系． 【解答】解：根据题意，设“”的质量是c, 根据第一个天秤平衡可得：c=2b, 根据第二个天秤平衡可得：a+b=2c+b, 把c=2b代入a+b=2c+b, 得到：a+b=2×2b+b, 整理得：a=4b. 所以a与b的关系是a=4b. 故选：C． 3.（2025春•海阳市期末）变量y随x变化的关系式如图所示，当x从-3变化到5时，y的值增加了（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】把x=-3、x=5分别代入函数关系式y=2x+3中求出y的值，然后相减即可． 【解答】解：当x=-3时，y=2x+3=2×（-3）+3=-3， 当x=5时，y=2x+3=2×5+3=13， 13-（-3）=13+3=16， 故选：D． 【知识点4】函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1.（2025春•麻城市期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念逐一判断即可． 【解答】解：B、C、D三个选项中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故三个选项中的图象都能表示y是x的函数，不符合题意； A选项中，当x为正数时，对于x的每一个值，y都有两个值与之对应，故该选项中的图象不能表示y是x的函数，符合题意， 故选：A． 2.（2025春•泉州期中）如图，分别给出了变量y与x之间的相应关系，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在某个变化过程中，有两个变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，这就是函数，利用函数的唯一性，有唯一的一个值来跟自变量对应． 【解答】解：给一个x值，有唯一的y值来跟x对应才行． 选项A．C．D中给定一个x值，y都是唯一，所以y是x的函数， 选项B中，给定一个x值，y不唯一，所以y不是x的函数， 故选：B． 3.（2025春•长沙期中）下列关系式中y不是x的函数的是（　　） A．y2=x B．y=x C．y=x2 D．y=-x 【答案】A 【分析】根据函数的定义，在一个变化的过程中，有两个变量y与x,若x每取一个值，y都有唯一的一个值与它相对应，则y是x的函数，逐项进行判断即可． 【解答】解：选项B、C、D中，每一个x值都有一个y值与它对应， ∴选项B、C、D中y是x的函数， 选项A中，给x一个正值，y有两个值与之对应， ∴选项A中y不是x的函数， 故选：A． 【知识点5】函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 1.（2025•方城县四模）如图，两个透明的正方体器皿，其中小正方体的器皿棱长是大正方体棱长的，将小正方体器皿放置大正方体器皿的底部，现先向小正方体器皿内匀速注水，注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，直到液面刚好没过小正方体器皿．设注水时间为x,两个器皿内水面之差为y（y≥0），则y与x之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以得到各段内的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的． 【解答】解：向小正方体器皿内匀速注水，注满后，两个器皿内水面之差为y最大， 注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，两个器皿内水面之差y随着x的增加而缓慢减少，直到为0， 设小正方体的器皿棱长为a,则大正方体棱长为2a, 小正方体的体积为a3， 则大正方体中直到液面刚好没过小正方体器皿时的体积为（2a）2•a=4a3， ∴小正方体器皿注满水后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水的时间是向小正方体器皿注水时间的4-1=3倍， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 2.（2025春•大荔县期末）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段． 【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短， 故选：A． 题型专练 【题型1】实际问题情境中的函数图象 【典型例题】一辆汽车的速度（km/h）与时间（min）之间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） ​ A. 速度是自变量，时间是因变量 B. 汽车在3min时，行驶的路程为30km C. 汽车在3～8min时停止运动 D. 汽车最快的速度是30km/h 【答案】D 【解析】速度是因变量，时间是自变量，故选项A不符合题意； 汽车在3min时，行驶的速度为30km/h，故选项B不符合题意； 汽车在3～8分钟，匀速运动，故选项C不符合题意； 汽车最快速度是30千米/时，故选项D符合题意； 故选：D． 【举一反三1】如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s/km与行驶时间t/h之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（　　） ①汽车在行驶途中停留了0.5小时； ②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h； ③汽车共行驶了240km； ④汽车出发4h离出发地40km． A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】①汽车在行驶途中停留了2﹣1.5＝0.5h， 故①正确； ②平均速度：120×2÷4.5＝千米/小时， 故②错误； ③汽车共行驶了120×2＝240km， 故③正确； ④汽车自出发后3h到4.5h速度为：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小时， ∴汽车出发4h离出发地距离为120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米， 故④正确． ∴正确的是①③④， 故选：C． 【举一反三2】甲.乙.丙.丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是 　     　． 【答案】甲 【解析】∵10分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多， ∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度， ∵步行3千米时，乙比丙用的时间少， ∴乙的平均速度＞丙的平均速度， ∴走得最快的是甲， 故答案为：甲． 【举一反三3】某车间的甲.乙两名工人分别同时生产同种零件，他们生产的零件数量y（个）与生产时间（h）之间的关系如图所示． （1）根据图象填空： ①甲.乙中，　 　先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，　 　因机器故障停止生产　 　h； ②当t＝　      　时，甲.乙生产的零件个数相等． （2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内他每小时生产零件的个数． 【答案】解：（1）①由图象可得：甲.乙中，甲先完成40个零件的生产任务； 在生产过程中，甲因机器故障停止生产2小时； ②当t＝3或5.5时，甲.乙两产的零件个数相等． 故答案为：①甲，甲，2；②3或5.5； （2）甲在4﹣7时的生产速度最快， ∵＝10， ∴甲在4﹣7时的生产速度最快，他在这段时间内每小时生产零件10个． 【举一反三4】如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图回答问题： （1）图象表示了那两个变量的关系？ （2）9时，10时30分时所走的路程分别是多少？ （3）他休息了多长时间？ （4）他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？ 【答案】解：（1）表示了时间与路程的关系，时间是自变量，路程是因变量； （2）看图可知，9时，10时30分时所走的路程分别是4km，9km； （3）根据图象可得，路程没有变化，但时间在增长，故表示该旅行者在休息：10.5﹣10＝0.5（小时）， 0.5小时＝30分钟； （4）根据求平均速度的公式可求得＝4（千米/时）． 答：他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是4千米/时． 【题型2】函数的定义 【典型例题】下列式子中，y不是x的函数的是（　　） A. y＝x2 B. y＝x﹣2 C. y＝（x≥1） D. y＝±（x≥0） 【答案】D 【解析】A.y＝x2，y是x的函数，故此选项不合题意； B.y＝x﹣2，y是x的函数，故此选项不合题意； C.y＝，y是x的函数，故此选项不合题意； D.y＝±，y不是x的函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【举一反三1】下列两个变量之间不具备函数关系的是（　　） A. 某地一天的温度T与时间t B. 正数b和它的平方根a C. 某班学生的身高y与学生的学号x D. 圆的面积s和半径r 【答案】B 【解析】A选项，对任意时间t，都存在唯一的T与之对应，具备函数关系，故该选项不符合题意； B选项，对于正数b，存在两个平方根与之对应，不具备函数关系，故该选项符合题意； C选项，对任意学号x，都存在唯一的y与之对应，具备函数关系，故该选项不符合题意； D选项，对任意r，都存在唯一的s与之对应，具备函数关系，故该选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】下列关系式中，y不是x的函数的是（　　） A. |y|＝x B. y＝﹣0.5x C. y＝x2 D. y＝ 【答案】A 【解析】A.|y|＝x，y不是x的函数，故A符合题意； B.y＝﹣0.5x，y是x的函数，故B不符合题意； C.y＝x2，y是x的函数，故C不符合题意； D.y＝，y是x的函数，故D不符合题意； 故选：A． 【举一反三3】如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中， ①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是　    　． 【答案】①④ 【解析】根据圆柱的体积公式的实际应用， 油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v， 对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确； 对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误； 对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误； 对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确． 故①④正确． 故答案为：①④． 【举一反三4】德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）请说明点D的实际意义． 【答案】解 （1）根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， ∴y是关于x的函数； （2）点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%； 【题型3】从函数图象中获取信息 【典型例题】如图是护士统计一位甲型H1N1流感疑似病人的体温变化图，这位病人在16时的体温约是（　　） A. 37.8℃ B. 38℃ C. 38.7℃ D. 39.1℃ 【答案】C 【解析】根据函数图象可知，15时到18时体温在38.5℃﹣39.2℃之间，故16时的体温应该在这个范围内． 故选：C． 【举一反三1】某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表示小明离开家的路程y（米）和所用时间x（分）之间的函数关系，则下列说法中错误的是（　　） A. 小明在公园休息了5分钟 B. 小明乘出租车用了17分 C. 小明跑步的速度为180米/分 D. 出租车的平均速度是900米/分 【答案】B 【解析】A.在公园停留的时间为15﹣10＝5分钟，也就是在公园休息了5分钟，此选项正确，不合题意； B.小明乘出租车的时间是17﹣15＝2分钟，此选项错误，符合题意； C.小明1800米用了10分钟，跑步的速度为180米/分，此选项正确，不合题意； D.出租车1800米用了2分钟，速度为900米/分，此选项正确，不合题意． 故选：B． 【举一反三2】如图是甲.乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　） A. 乙前4s行驶的路程为48m B. 在0至8s内甲的速度每秒增加4m/s C. 两车到第3s时的路程相等 D. 在4至8s内甲的速度都大于乙的速度 【答案】C 【解析】由图象可得， 乙前4s行驶的路程为12×4＝48m，故选项A正确，不符合题意； 在0至8s内甲的速度每秒增加32÷8＝4m/s，故选项B正确，不符合题意； 两车到第3s时的速度相等，但是甲的路程小于乙的路程，故选项C错误，符合题意； 在4至8s内甲的速度都大于乙的速度，故选项D正确，符合题意； 故选：C． 【举一反三3】园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积Sm2与工作时间th的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（　　） A. 100m2 B. 50m2 C. 80m2 D. 40m2 【答案】B 【解析】根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60＝100（m2）． 每小时绿化面积为100÷2＝50（m2）． 故选：B． 【举一反三4】小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的行程s（km）与所花时间t（min）之间的关系．则小亮步行的速度和乘公交车的速度分别是（　　） A. 100m/min，266m/min B. 62.5m/min，500m/min C. 62.5m/min，437.5m/min D. 100m/min，500m/min 【答案】D 【解析】由图象可知：他步行10min走了1000m，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min； 公交车30﹣16min走了8﹣1km，故公交车的速度为7000÷14＝500m/min． 故选：D． 【题型4】用解析法表示函数 【典型例题】把一个长为5，宽为3的长方形的宽增加x（0≤x＜5），长不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为（　　） A. y＝5x+15 B. y＝x﹣15 C. y＝5x D. y＝3x+15 【答案】A 【解析】变化后长方形的宽为（x+3），长为5， ∴面积y＝5（x+3）＝5x+15． 故选：A． 【举一反三1】为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记本，则他剩余的钱y（元）与购买的笔记本的数量x（本）之间的函数关系是（　　） A. y＝12x B. y＝12x+400 C. y＝12x﹣400 D. y＝400﹣12x 【答案】D 【解析】由剩余的钱数＝带的钱数400﹣购买笔记本用去的钱数可得， y＝400﹣12x， 故选：D． 【举一反三2】汽车油箱中有汽油20L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤200时，y与x的函数表达式为（　　） A. y＝0.1x B. y＝ C. y＝﹣0.1x+20 D. y＝20﹣x 【答案】C 【解析】由题意可知：y＝﹣0.1x+20（0≤x≤200）， 故选：C． 【举一反三3】如图，在△ABC中，已知BC＝8，BC边上的高线AD＝5，动点C′由点C沿CB向点B移动（不与点B重合），设CC′的长为x，△ABC′的面积为S，则S与x之间的函数关系式为（　　） A. S＝ B. S＝5x C. S＝ D. S＝20- 【答案】D 【解析】设CC′的长为x，可得BC′的长为（8﹣x）， 所以S与x之间的函数关系式为S＝×5×（8﹣x）＝20﹣． 故选：D． 【举一反三4】已知汽车油箱内有油50L，每行驶100km耗油10L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数关系式是（　　） A. Q＝50﹣ B. Q＝50+ C. Q＝50﹣ D. Q＝50+ 【答案】C 【解析】Q＝50﹣×10＝50﹣， 故选：C． 【举一反三5】宋代词人蒋捷曾在《一剪梅•舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量xkg之间的函数关系式是 　     　． 【答案】y＝16x 【解析】由题意得，购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量xkg之间的函数关系式是y＝16x， 故答案为：y＝16x． 【举一反三6】在如图所示的计算程序中，输入一个有理数x，便可输出一个相应的有理数y，则y与x之间的函数关系式是 　           　． 【答案】y＝﹣2x﹣4 【解析】由题意得，y与x之间的函数关系式是y＝﹣2x﹣4， 故答案为：y＝﹣2x﹣4． 【举一反三7】如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式是 　         　． ​ 【答案】y＝﹣3x+2 【解析】根据图示可知，y与x之间的函数关系为：y＝﹣3x+2， 故答案为：y＝﹣3x+2． 【题型5】用列表法表示函数 【典型例题】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度ycm与所挂重物的质量xkg有下面的关系： 那么弹簧总长ycm与所挂重物xkg之间的关系式为（　　） A. y＝0.5x+12 B. y＝x+10.5 C. y＝0.5x+10 D. y＝x+12 【答案】A 【解析】由题意得：y＝12+0.5x， 故选：A． 【举一反三1】在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度100℃），王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 王红发现，烧了110 s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（　　） A. 加热10 s，油的温度是30℃ B. 在一定范围内，每加热10s，油的温度升高20℃ C. 估计这种食用油的沸点温度约是230℃ D. 加热50 s，油的温度是100℃ 【答案】D 【解析】从表格可知：t＝0时，y＝10，即没有加热时，油的温度为10℃； 加热10 s，油的温度是30℃，故选项A不合题意； 每增加10秒，温度上升20℃，故选项B不合题意； 110秒时，温度230℃，故选项C不合题意； 则50秒时，油温度110℃，故选项D符合题意； 故选：D． 【举一反三2】某商场在某一阶段，一商品的销售量与销售价之间存在如表所示的关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当x＝126时，y的值约为（　　） A. 56 B. 54 C. 46 D. 43 【答案】B 【解析】∵日销量随涨价的改变而改变， ∴涨价（元）是自变量，销量是因变量． 从表中可：销量与涨价之间的关系为： 销量＝90﹣（售价﹣原价）÷10×10， 售价为126元时，销量＝90﹣（126﹣90）÷10×10＝54件． 故选：B． 【举一反三3】某校数学兴趣小组的同学利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度hcm与小车下滑时间ts之间的关系如下： 由表格信息可判断下列说法错误的是（　　） A. 支撑物高度为40 cm时，小车下滑时间为2.13s B. 若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40 cm至50 cm之间 C. 若支撑物高度为90 cm，则小车下滑时间可以是小于1.35s的任意值 D. 支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小 【答案】C 【解析】A.由表格可知，当h＝40 cm时，t＝2.13s，故该说法正确，不符合题意； B.通过观察表格可得，小车下滑时间为2s，支撑高度在40 cm至50 cm之间，故该说法正确，不符合题意； C.若支撑物高度为90 cm，则小车下滑时间可以是小于1.35s的值，并非任意值，此选项符合题意； D.支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故该说法正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三4】果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如表的关系： 如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是 　  　米． 【答案】20 【解析】∵当t＝0.5时，h＝5×0.52，当t＝0.6时，h＝5×0.62，当t＝0.7时，h＝5×0.72，当t＝0.8时，h＝5×0.82，当t＝0.9时，h＝5×0.92，当t＝1时，h＝5×12， ∴h（米）与t（秒）之间的函数关系式为：h＝5t2， ∴当t＝2时，h＝5×22＝20． ∴果子开始落下时离地面的高度大约是20米． 故答案为：20． 【举一反三5】某种苹果的销售数量与售价之间的关系如表所示，若购买xkg售价为y元，则y与x的关系式为 　        　． 【答案】y＝8x 【解析】易得1千克苹果的售价是8元，那么xkg的苹果的售价：y＝8x． 故答案为：y＝8x． 【举一反三6】下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度x（厘米）与下降高度y（厘米）的关系： 根据表格中两个变量之间的关系，则当x＝100时，y＝　     　． 【答案】200 【解析】由题意得，弹跳高度x是下降高度y的， 即x＝y， ∴当x＝100时， y＝200． 故答案为：200． 【题型6】求自变量的值或函数值 【典型例题】变量x与y之间的关系式是y＝35x+20，当自变量x＝2时，则y的值是（　　） A. 90 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】A 【解析】把x＝2代入y＝35x+20中得： y＝35×20+20 ＝70+20 ＝90， 故选：A． 【举一反三1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣3时，输出的y值相等，则a等于（　　） A. ﹣9 B. ﹣3 C. 9 D. 3 【答案】B 【解析】当x＝﹣3时，y＝9+a， 当x＝3时，y＝， 根据题意得9+a＝， 解得a＝﹣3， 故选：B． 【举一反三2】已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是（　　） A. y1＝2x+1和y2＝3x+2 B. y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C. y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D. y1＝﹣x+1和y2＝2x+3 【答案】C 【解析】A.2x+1+3x+2＝1，解得x=- ，不合题意； B.﹣x+3+2x﹣1＝1，解得x＝﹣1，不合题意； C.﹣x﹣1+3x﹣2＝1，解得x＝2，符合题意； D.﹣x+1+2x+3＝1，解得x＝﹣3，不合题意； 故选：C． 【举一反三3】在地球某地，地表以下岩层的温度y（℃）与所处深度x（km）之间的关系可以近似地用表达式y＝35x+20来表示（如图），当x的值为2时，相应的y值是 　    　． 【答案】90 【解析】当x＝2时，y＝35×2+20＝90． 故答案为：90． 【举一反三4】对于函数y＝，当y＝0时，x＝　    　． 【答案】2 【解析】当y＝0时，， 解得：x＝2， 经检验：x＝2是方程的解， 故答案为：2． 【举一反三5】当自变量x取何值时，函数y＝x+1与y＝5x+17的值相等？这个函数值是多少？ 【答案】解 由题意得， 解得， 当x＝﹣时，函数y＝x+1与y＝5x+17的值相等， 这个函数值是﹣15． 【举一反三6】如图，是一个“函数求值机”，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为﹣1时，输出的y值为 　   　； （2）求k2，b的值； （3）当输出的y值为时，输入的x值为 　     　． 【答案】解 （1）根据表格可知，当x＝2时，y＝6， ∴6＝2k1， 解得k1＝3， ∴y＝3x（x≥﹣1）， ∴当x＝﹣1时，y＝3×（﹣1）＝﹣3， 故答案为：﹣3． （2）依题意，当x＜﹣1时，y＝k2x+b， 由表格可得，当x＝﹣6时，y＝﹣8；当x＝﹣2时，y＝﹣4， ∴， 解得， ∴y＝x﹣2（x＜﹣1）， （3）当x≥﹣1时，-， 解得（舍去）； 当x＜﹣1时，， 解得， 故答案为：． 【题型7】用图象法表示函数 【典型例题】如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　） A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C.报亭到小亮家的距离是400米 D.小亮打羽毛球的时间是37分钟 【答案】D 【解析】A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意； B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意； C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意； D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意； 故选：D． 【举一反三1】艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个上山顶的过程中变量y与x之间函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得， 刚开始，艳艳与君君是坐缆车上山，变化趋势比较快， 休息一段时间，步行登山至缙云山山顶，变化趋势比较平缓， 故选：B． 【举一反三2】如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确， 此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 【举一反三3】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶”不符，不符合题意； C．此函数图象中，S1、S2同时到达终点，不符合题意； D．S1一直增加；S2有三个阶段，1、增加；2、睡了一觉，不变；3、当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，增加；但乌龟还是先到达终点，即S1在S2的上方．符合题意． 故选：D． 【题型8】由图象识别函数 【典型例题】如图各图象中，y不是x函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， 选项A、B、D中的图象，y是x函数，故A、B、D不符合题意； 选项C中的图象，y不是x函数，故C符合题意． 故选：C． 【举一反三1】下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. ​​​​ 【答案】D 【解析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， 因此不能表示y是x的函数的是选项D中的曲线，故D符合题意； 表示y是x的函数的是选项A.B.C中的曲线，故A.B.C不符合题意． 故选：D． 【举一反三2】下列图象中，表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应， 所以B.C.D错误． 故选：A． 【举一反三3】下列各曲线中，表示y是x的函数的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】第一个.第二个.第三个都表示y是x的函数，共3个， 故选：C． 【题型9】求自变量的取值范围 【典型例题】函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x≠3 C. x≠2 D. x≤3 【答案】B 【解析】由题意得：6﹣2x≠0， 解得：x≠3， 故选：B． 【举一反三1】函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x≥﹣3 C. x≠2 D. x≥2 【答案】C 【解析】由题意得x﹣2≠0， ∴x≠2． 故选：C． 【举一反三2】函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A. x＞4 B. x≠4 C. x≥4 D. x≤4 【答案】B 【解析】根据函数y＝含有分母， 可列不等式为x﹣4≠0， 解得x≠4， 故选：B． 【举一反三3】在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　       　． 【答案】x≠﹣ 【解析】根据题意得：﹣5x﹣7≠0， 解得：x≠﹣． 故答案为：x≠﹣． 【举一反三4】在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　           　． 【答案】x≠2 【解析】由题意得x﹣2≠0， 解得x≠2． 故答案为：x≠2． 【举一反三5】求下列函数中自变量的取值范围 y＝2x﹣1； 【答案】解 y＝2x﹣1中，自变量的取值范围是全体实数； 【举一反三6】直接写出下列函数中自变量的取值范围： （1）y＝x2﹣2x+1； （2）y＝（x+3）0； 【答案】解 （1）y＝x2﹣2x+1，自变量的取值范围是：x为全体实数； （2）y＝（x+3）0，自变量的取值范围是：x≠﹣3； 学科网（北京）股份有限公司 $