第1章 因式分解 十字相乘法与分组分解法课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版·数学八年级上册 授课老师：王老师 十字相乘法与分组分解法 第1章 因式分解 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1 整式乘法 因式分解 一个多项式 几个整式的积 1.多项式的因式分解和乘法运算的关系是？ 2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 互逆的变形过程 ①提公因式法： ②公式法： pa + pb + pc = p(a + b + c) 1. a2 － b2 = (a + b)(a － b) 2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2 复习导入 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1.计算： (1) (x+2)(x+3) = ___________； (2) (x+1)(x－4) =___________； (3) (x+4 )(x－2)=___________； 2. 根据题 1 和等式的性质填空： (1) x2+5x+6= ______________ ； (2) x2－3x－4=______________； (3) x2+2x－8=_______________； x2+5x+6 x2－3x－4 x2+2x－8 (x+2 )(x+3) (x+1)(x－4) (x+4)(x－2) 新知探究 仔细观察等式两边，你有什么发现？ 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 多项式 常数项 一次项的 系数 分解因式 x2+5x+6 6 5 (x+2)(x+3) x2－3x－4 －4 －3 (x+1)(x－4) x2+2x－8 －8 2 (x+4)(x－2) x2 + (p + q)x + pq = 规律 (x + p) (x + q). 2×3 2+3 1×(－4) 1+(－4) 4×(－2) 4+(－2) 可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 多项式 x²+5x+6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： x²+5x+6 ③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数. ＝(x+2)(x+3) ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 1 1 2 3 1×3+1×2＝5 适用于任意二次多项式 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 上述步骤用于分解二次多项式ax²+bx+c的具体过程： 这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法. ① 画一个十字交叉线，使得左边两个数 d，e 的乘积等于二次项系数 a， ② 右边两个数 m，n 的乘积等于常数项 c， ③ 交叉数的乘积之和 dn+em等于一次项系数b， d e m n de=a ax²+bx+c =(dx+m)(ex+n) mn=c dn+em=b 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例1 把多项式x2－5x+6因式分解. 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为－2，－3，它们的乘积等于常数项6，交叉数的乘积之和为 1×(－3)+1×(－2)＝－5， 它是一次项的系数，因此 x²－5x+6＝(x－2)(x－3) 1 1 －2 －3 典例精析 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例2 把多项式 10x²+23x+12 因式分解. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，5，右上角和右下角分别写3，4， 2 5 3 4 10x²+23x+12＝(2x+3)(5x+4) 左边两个数的乘积等于二次项系数10， 右边两个数的乘积等于常数项12， 交叉数的乘积之和为2×4+5×3＝23， 它是一次项的系数， 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1. 把下列多项式因式分解： (1) x2－4x－5； 解：如图，左边两个数为1，1，它们的乘积等于二次项系数1，右边两个数为1，－5，它们的乘积等于常数项－5，交叉数的乘积之和为 1×1+1×(－5)＝－4，它是一次项的系数，因此 x2－4x－5＝(x+1)(x－5) 1 1 1 －5 练习 【选自教材P15 练习】 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 (2) 6x2+7x+2. 解：如图，在十字交叉线的左上角和左下角分别写2，3，右上角和右下角分别写1，2， 2 3 1 2 6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2). 左边两个数的乘积等于二次项系数6， 右边两个数的乘积等于常数项2， 交叉数的乘积之和为2×2+3×1＝7， 它是一次项的系数， 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例3 把多项式 x3－x²－x+1 因式分解. 分析 x3－x²－x+1既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法. 但若将其恰当分组，如分为x3－x²与－x+1两组，则可继续进行因式分解. 解：x3－x²－x+1=(x3－x²)－(x－1) =x²(x－1)－(x－1) =(x－1)(x²－1) =(x－1)(x+1)(x－1) =(x+1)(x－1)². 利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 分组后再用公式法 把下列多项式因式分解： (1) x²－y²－3x－3y； 解：原式=(x²－y²)－(3x+3y) =(x－y)(x+y)－3(x+y) =(x+y)(x－y－3) (2) x²－10x+25－y². 原式=(x²－10x+25)－y² =(x－5)²－y² =(x－5+y)(x－5－y). 练习 【选自教材P15 练习】 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1.下列因式分解正确的是( ) A. x3－4x=x(x2－4) B. x2－x－2 = (x + 1)(x－2) C. x2+2x－1=(x－1)2 D. x2－2x+1=x(x－2)+1 2.把多项式 x2+mx－5 因式分解成 (x+5)(x－n)，则 m 的值为( ). A. m=4 B. m=3 C. m=6 D. m=5 B A 随堂练习 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 3.因式分解：(1) 2x2+6xy+4y2； (2) －3a2+18a－24； (3) 2x2－x－10. 解：(1) 原式=2(x2+3xy+2y2) =2(x+y)(x+2y). (2) 原式=－3(a2－6a+8) =－3(a－2)(a－4). (3) 原式=(x+2)(2x－5) 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 4. 分解因式：3ax+4by+4ay+3bx. 解：原式=(3ax+3bx)+(4by+4ay) =3x(a+b)+4y(a+b) =(a+b)(3x+4y) 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 十字相乘法与分组分解法 十字相乘法公式 x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) ax²+bx+c＝(dx+m)(ex+n) 一分：先分组； 二提：公因式； 三套：公式； 四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 分组分解法步骤 课堂小结 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 完成练习册本课时的习题. 课后作业 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 感谢聆听 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》多知道一点：十字相乘法与分组分解法课件核心内容 一、教学目标 理解并掌握十字相乘法和分组分解法：能熟练运用这两种方法分解因式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择合适的方法进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 十字相乘法和分组分解法的步骤与技巧。 能准确识别适用于这两种方法的多项式。 难点： 十字相乘法中交叉数的选择与验证。 分组分解法中分组的合理性与后续分解的连贯性。 三、教学过程设计 1. 复习导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“我们已经学习了哪些因式分解的方法？”引导学生回顾提公因式法和公式法。 展示多项式 x 2 +5x+6 ，提问：“能否用已学方法分解？”引出十字相乘法。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解十字相乘法与分组分解法、掌握其应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：十字相乘法 公式解析： 对于二次三项式 ax 2 +bx+c ，若存在 d⋅e=a ， m⋅n=c ，且 dn+em=b ，则可分解为 (dx+m)(ex+n) 。 示例： x 2 +5x+6=(x+2)(x+3) ，其中 2×3=6 ， 2+3=5 。 步骤总结： 拆：将二次项系数 a 拆为两个因数 d 和 e 。 分：将常数项 c 拆为两个因数 m 和 n 。 验：验证交叉数的乘积之和 dn+em 是否等于一次项系数 b 。 套：套用公式 (dx+m)(ex+n) 。 口诀记忆： “常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。” 环节二：分组分解法 方法解析： 对于四项或更多项的多项式，通过合理分组后提取公因式或套用公式进行分解。 示例： x 3 −x 2 −x+1 分组： (x 3 −x 2 )−(x−1) 提取公因式： x 2 (x−1)−(x−1) 套用公式： (x−1)(x 2 −1)=(x−1)(x+1)(x−1) 。 步骤总结： 分：根据多项式的特点合理分组。 提：每组内提取公因式。 套：对剩余部分套用公式或继续分解。 查：检查是否分解彻底。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： x 2 −4x−5 （答案： (x+1)(x−5) ）。 因式分解： 6x 2 +7x+2 （答案： (2x+1)(3x+2) ）。 进阶题： 因式分解： x 3 −2x 2 −x+2 （答案： (x−1)(x+1)(x−2) ）。 因式分解： x 2 −y 2 −3x−3y （答案： (x+y)(x−y−3) ）。 拓展题： 已知 a+b=5 ， ab=6 ，求 a 2 +b 2 的值（答案： (a+b) 2 −2ab=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如十字相乘法的步骤），蓝色贴纸写疑问（如分组分解法的分组技巧），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的因式分解）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 十字相乘法与分组分解法 1. 十字相乘法：ax² + bx + c = (dx + m)(ex + n) 步骤：拆→分→验→套 2. 分组分解法：一分→二提→三套→四查 3. 口诀：常数如是正，拆成同号随中间；常数如是负，拆成异号大随中。 五、作业设计 基础作业： 因式分解： x 2 +3x−10 。 2x 2 −5x+3 。 拓展作业： 因式分解： x 4 −8x 2 y 2 +16y 4 。 已知 x+y=4 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 的值。 创新作业： 设计一个用十字相乘法或分组分解法解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 $