1.3 公式法课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式与完全平方公式因式分解，通过图形剪拼（正方形剩余部分拼长方形）导入平方差公式，结合复习提公因式法与平方差公式引入完全平方公式，构建从具体到抽象、旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光、思维与语言为核心，图形导入发展几何直观，公式辨析与“一提二套三查”步骤培养推理意识，口诀（如“两数平方减”）强化符号意识。例题含简便计算、代数式求值，助学生掌握分解方法，教师教学更高效。

湘教版·数学八年级上册 授课老师：王老师 1.3 公式法 用平方差公式进行因式分解 第1章 因式分解 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？ a米 b米 b米 a米 (a－b)米 a2－b2=(a+b)(a－b) 复习导入 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. x²－25＝ ＝ . 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： (x＋5)(x－5)＝ ＝ . x²－5² x²－25 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²－25因式分解： x²－5² (x＋5)(x－5) 探索新知 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 (5x)2 － (2y)2 例1 把多项式 25x²－4y² 因式分解. = (5x+2y)(5x－2y). x x y y + ( ) ( － ) x2 － y2 = 解：原式= 5x 2y 5x 5x 2y 2y 2y 分析 由 25x²＝(5x)² 和 4y²＝(2y)² 可知， 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 × 下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 － ( )2的形式. （1）a2 + b2 （2） － a2 － b2 － (a2+b2) y2－x2 （3） － x2 + y2 （4）x2 － 25y2 (x+5y)(x－5y) （5）m2 － 1 (m+1)(m－1) √ √ × √ 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. + ( ) ( － ) x x y y x2 － y2 = 把多项式 (x＋y)²－(x－y)² 因式分解. 解：原式＝ [(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)] ＝2x·2y＝4xy. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 解： x4－y4＝(x2)2－(y2)2 ＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y). 因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解 练习 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例3 把多项式 x5－x3y² 因式分解. 分析 多项式 x5－x3y² 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y²＝x3(x2－y²) ＝x3(x＋y)(x－y). 方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再运用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 因式分解： (1) 5m2a4 － 5m2b4； (2) a2 － 4b2 － a － 2b. ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1) 原式＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2) 原式＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 练习 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝(x2)2－32 ＝(x2＋3)(x2－3) ＝(x2＋3)[ x2－()2 ] ＝(x2＋3)(x＋)(x－). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 用简便方法计算： (1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882. 解：(1) 原式＝(6.1＋3.9)(6.1－3.9) ＝10×2.2＝22. (2) 原式＝(0.12＋0.88)(0.12－0.88) ＝1×(－0.76)＝－0.76. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 随堂练习 1.把下列多项式因式分解： （2）x2－16y2； （1）1－25y2； =(x+4y)(x－4y) =(1+5y)(1－5y) 【选自教材P11 练习 第1题】 （3）(x－y)2－(x+y)2； =[(x－y)+(x+y)][(x－y)－(x+y)] =2x·(－2y) =－4xy 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 （4）x4－81y4； =(x2+9y2)(x2－9y2) =(x2+9y2)(x+3y)(x－3y) （5）x3－xy2； =x(x2－y2) =x(x+y)(x－y) （6）x6－3x4； =x4(x2－3) =x4(x+)(x－) 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 2.用简便方法计算： （1）49.62－50.42； （2）13.32－11.72. 解:原式=(49.6+50.4)(49.6－50.4) =100×(－0.8) =－80 原式=(13.3+11.7)(13.3－11.7) =25×1.6 =40 （3）0.152－0.352. 原式=(0.15+0.35)(0.15－0.35) =0.5×(－0.2) =－0.1 【选自教材P11 练习 第2题】 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 3. 已知4m+n=40，2m－3n=5，求(m+2n)2 － (3m －n)2 的值． 原式=－40×5=－200. 解：原式 = (m+2n+3m－n)(m+2n－3m+n) = (4m+n)(3n－2m) = －(4m+n)(2m－3n). 当4m+n=40，2m－3n=5时， 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 平方差公式分解因式 公式 a2 － b2 = (a + b)(a － b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 课堂小结 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 湘教版·数学八年级上册 授课老师：王老师 1.3 公式法 用完全平方公式进行因式分解 第1章 因式分解 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 19 1. 什么叫因式分解？ 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式 2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ ① 提公因式法 ② 平方差公式 a2 － b2 = (a + b)(a － b) 复习导入 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 请说出完全平方公式. 完全平方公式1： ， 完全平方公式2： . (x＋y)² = x²＋2xy＋y² (x－y)² = x²－2xy＋y² 在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²＋4x＋4 因式分解： x²＋4x＋4 = . (x＋2)² = . (x＋2)² x²＋4x＋4 探索新知 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解. 分析 由于9x2 = (3x)2， 1 = 1²，2·3x·1 = 6x，因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 典例精析 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ 2 x y + y2 ± = (x ± y)² x2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². 分析 (1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 －(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解. (2) x5＋2x3y＋xy2. 分析 (2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； (2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)² ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 － 4m + 4. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1.分解因式： (1) －3a2x2 + 24a2x－48a2； (2) ( a2 + 4 )2－16a2. ＝(a2+4+4a)(a2+4－4a) 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x+16) ＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2+4)2－(4a)2 ＝(a+2)2(a－2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 练习 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 2.利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 － 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 － 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 随堂练习 1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由. 【选自教材P13 练习 第1题】 （1）x2－12xy+36y2； 解：(1)能.可以看作x与6y的差的完全平方. 原式= x2－2 · x · 6y + (6y)2 =(x－6y)2 （2）x2－10xy－25； (2)不能.－25无法看作是一个数的平方。 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 （3）9x2y2－3xy+1； (3)不能.中间项不是3xy与1的积的2倍. （4）－2xy－x2－y2 ； (4)能.先提出一个负号，剩下的部分可以看成是x与y的和的完全平方的。 原式= －(x2+2xy+y2) =－(x+y)2 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 2.把下列多项式因式分解： （1）x2+2x+1； 解：原式=x2+2·x·1+12 =(x+1)2 （2）x2+8x+16； 原式=x2+2·x·4+42 =(x+4)2 （3）x2－10x+25； 原式=x2－2·x·5+52 =(x－5)2 （4）16y2－24y+9； 原式=(4y)2－2·4y·3+32 =(4y－3)2 【选自教材P13 练习 第2题】 （5）x4+2x2+1； 原式=(x2)2+2·x2·1+12 =(x2+1)2 （6）3x4+6x3y+3x2y2. 原式=3x2(x2+2·x·y+y2) =3x2(x+y)2 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 (2) 原式＝20232－2×2023×2022+20222 3. 计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (2)20232－2023×4044＋20222. 解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2 ＝100 ＝(2023－2022)2 ＝1 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 4. (1) 已知a－b＝3，求 a(a－2b)+b2的值； (2) 已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值. 原式＝2×52＝50. 解：(1) 原式＝a2－2ab+b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2) 原式＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2. 当ab＝2，a+b＝5 时， 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 5.已知 x2－4x+y2－10y+29＝0，求 x2y2+2xy+1 的值. ＝112＝121. 解：由题可知 x2－4x+y2－10y+29 因为(x－2)2≥ 0，(y－5)2≥ 0， 所以x－2＝0，y－5＝0， 所以x＝2，y＝5. 所以 x2y2 + 2xy +1＝(xy +1)2 几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0 ＝x2－4x+4+y2－10y+25 ＝(x－2)2+(y－5)2 ＝0， 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 课堂小结 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 感谢聆听 2025-2026学年湘教版数学八年级上册第1章《因式分解》1.3节《公式法》课件核心内容 一、教学目标 理解公式法的概念：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能逆用公式进行因式分解。 掌握两种公式法的应用： 利用平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 分解多项式。 利用完全平方公式 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 分解多项式。 培养逆向思维与综合应用能力：通过观察多项式的结构特征，灵活选择公式进行因式分解。 二、教学重难点 重点： 平方差公式与完全平方公式的结构特征及逆用。 公式法因式分解的步骤与技巧。 难点： 判断多项式是否符合公式特征，尤其是完全平方公式中中间项的符号与系数。 公式法与提公因式法的综合运用（如先提公因式再套用公式）。 三、教学过程设计 1. 情境导入（5分钟） 问题驱动： 提问：“如何将多项式 x 2 −9 因式分解？”引导学生观察其符合平方差公式的特征，引出公式法的概念。 展示图形变换：在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，剩余部分拼成长方形，推导出平方差公式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 。 目标明示： 通过动态思维导图展示本节课目标：理解公式法、掌握平方差与完全平方公式的应用、解决实际问题。 2. 新知建构（20分钟） 环节一：平方差公式的应用 公式解析： 平方差公式： a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) ，其中 a 和 b 可以是单项式或多项式。 示例： (x+2) 2 −1=(x+2+1)(x+2−1)=(x+3)(x+1) 。 步骤总结： 判：判断多项式是否为平方差形式（系数为平方数，指数为偶数，减号在中间）。 定：确定公式中的 a 和 b ，若为多项式需用括号括起。 套：套用平方差公式进行因式分解。 环节二：完全平方公式的应用 公式解析： 完全平方公式： a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 ，其中首末两项为平方项且符号相同，中间项为两数积的2倍。 示例： x 2 −14x+49=(x−7) 2 。 步骤总结： 查三项：多项式需为二次三项式。 验平方：首末两项是否为平方项且符号相同。 检积项：中间项是否为两数积的2倍，符号可正可负。 套公式：套用完全平方公式进行因式分解。 环节三：公式法与提公因式法的综合运用 示例： 因式分解 3ax 2 +6axy+3ay 2 ： 先提公因式 3a ： 3a(x 2 +2xy+y 2 ) 。 再套用完全平方公式： 3a(x+y) 2 。 方法总结： 若多项式各项有公因式，需先提取公因式，再运用公式法。 3. 应用迁移（15分钟） 分层练习： 基础题： 因式分解： 16x 2 −y 4 （答案： (4x+y 2 )(4x−y 2 ) ）。 判断下列多项式是否能用完全平方公式分解： x 2 −10xy−25 （答案：不能，中间项符号错误）。 进阶题： 因式分解： a 4 −8a 2 b 2 +16b 4 （答案： (a 2 −4b 2 ) 2 =[(a+2b)(a−2b)] 2 ）。 简便计算： 1002 2 −2×1002×998+998 2 （答案： (1002−998) 2 =16 ）。 拓展题： 已知 x+y=5 ， xy=6 ，求 x 2 +y 2 的值（答案： (x+y) 2 −2xy=25−12=13 ）。 4. 课堂收束（5分钟） 多维总结： 学生用“三色便利贴”总结：红色贴纸写新知（如平方差公式的结构特征），蓝色贴纸写疑问（如完全平方公式中中间项的符号判断），绿色贴纸写应用场景（如简便计算中的公式法应用）。 教师用“知识雷达图”动态收集反馈，对高频问题设计课后微课资源链接。 四、板书设计 公式法因式分解 1. 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b) 步骤：判→定→套 2. 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 特点：三项式、平方项同号、积项为2倍 3. 综合运用：先提公因式，再套公式 五、作业设计 基础作业： 因式分解： 25m 2 −4n 2 。 x 4 −18x 2 +81 。 拓展作业： 已知 x−y=3 ， x 2 +y 2 =25 ，求 xy 的值。 因式分解： (a 2 +b 2 ) 2 −4a 2 b 2 。 创新作业： 设计一个用公式法因式分解解决的实际问题（如面积计算、利润优化等），并制作信息图。 $