2.2.2基本不等式（常数“1”代换法）微专题难点训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2.2基本不等式（常数“1”代换法） 难点训练微专题 (学生版) 突破通法： 常数代换法求最值的步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）. （2）把确定的定值（常数）变形为1. （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和为定值或积为定值的形式. （4）利用基本不等式求解最值. 微专题训练 一、单选题 1．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 2．已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 5．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 8．已知，且，则最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 10．已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12．已知，，且，则的最小值是 . 13．已知且，则的最小值为 ． 14．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 16．已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2基本不等式（常数“1”代换法） 难点训练微专题 (解析版） 突破通法： 常数代换法求最值的步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）. （2）把确定的定值（常数）变形为1. （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和为定值或积为定值的形式. （4）利用基本不等式求解最值. 微专题训练 一、单选题 1．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 2．已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式和常值代换法，对各选项逐一判断即得. 【详解】由，，可得. 对于A，，（当且仅当时取等号），故A错误； 对于B，，（当且仅当时取等号），故B错误； 对于C，因，由B已得；， 则，（当且仅当时取等号），故C错误； 对于D，因， 由C项已得：，则，故，即得， （当且仅当时取等号），故D正确. 故选：D． 3．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 4．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为 故选：B 5．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 6．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入得，由构造，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 因为，所以， 于是， 又， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 7．若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】解法一，利用代换法和均值不等式即可求解； 解法二，由权方和不等式：已知均为正实数，则，当且仅当时等号成立．来求解即可； 解法三，利用等式消元化为函数来求值域即可. 【详解】解法一：因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 解法二：由权方和不等式可得：， 当且仅当时，取得最小值2. 解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则， 即． 故当时，取得最小值为2. 故选：B. 8．已知，且，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知将变形为，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】，又，可得， 且， 当且仅当，时等号成立． 即最小值为. 故选：B． 二、多选题 9．已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 10．已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由，可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾， 故的最小值大于2，故C错误； 对于D，，故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 11．若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 三、填空题 12．已知，，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 13．已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 14．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15．已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 16．已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等式条件，对代数式进行换元，再根据基本不等式中的配凑法，证明不等式成立即可. （2）根据参数的范围，构造等式，再根据基本不等式中“1”的运用，求出最小值即可. （3）根据参数的范围，解出关于x的不等式，根据基本不等式，求出代数式的最小值，求出结果. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $